МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2013
УДК 532.59
© 2013 г. О. А. ДРУЖИНИН, Ю. И. ТРОИЦКАЯ
ИЗЛУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН ТУРБУЛЕНТНЫМ ФОНТАНОМ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Проводится численное моделирование фонтана в жидкости со стратификацией плотности методом крупных вихрей. Фонтан формируется при проникновении турбулентной вертикальной струи сквозь пикноклин. Струйное течение инициировано постановкой граничного условия в виде направленного вертикально вверх потока жидкости нейтральной плавучести с осесимметрич-ным гауссовым профилем средней скорости и заданным уровнем флуктуаций. Покано, что при числе Фруда Бг, превышающем критическое значение, фонтан совершает автоколебания, сопровождающиеся генерацией внутренних волн в пикноклине. Преобладает осесимметричная мода автоколебаний, когда верхушка фонтана периодически обрушается, генерируя пакеты внутренних волн, распространяющихся к периферии области счета. Характерная частота внутренних волн совпадает с частотой колебаний верхушки фонтана и монотонно уменьшается с ростом Бг. Зависимость амплитуды колебаний верхушки фонтана от Бг в численном моделировании хорошо согласуется с предсказанием теоретической модели Ландау для моды неустойчивости в режиме мягкого самовозбуждения.
Ключевые слова: стратификация, затопленная плавучая струя, пикноклин, турбулентность, автоколебания, внутренние волны.
Фонтаном называют струю тяжелой жидкости, имеющую начальный импульс, направленный вверх, и распространяющуюся в легкой жидкости. Струя тормозится под действием силы плавучести (силы тяжести) и достигает максимальной высоты (точки поворота), а затем жидкость движется вниз от точки поворота, формируя противоток, и радиально растекается на уровне своей плавучести. Динамика фонтанов привлекает интерес благодаря многочисленным практическим приложениям в гидродинамике и геофизике [1].
Течение, подобное фонтану, может формироваться в жидкости со стратификацией, близкой к двухслойной, когда легкая жидкость вносится в нижний слой жидкости на некотором расстоянии от скачка плотности (пикноклина). Тогда даже при отсутствии начального импульса под действием силы плавучести жидкость ускоряется и приобретает положительный вертикальный импульс. В случае турбулентного фонтана вовлечение окружающей жидкости приводит к тому, что при подходе к пикноклину всплывающая жидкость имеет плотность, близкую к плотности жидкости в нижнем слое. Таким образом, формируется струя нейтральной (по отношению к жидкости в нижнем слое) плавучести, имеющая ненулевой вертикальный импульс. Если ее скорость достаточно велика, то струя тяжелой жидкости проникает в область выше пикнокли-на, формируя фонтан. Подобные фонтаны могут возникать, например, при всплыва-нии струй сбросовых вод в океане в окрестности подводных коллекторов при наличии сезонного термоклина [2—4].
Другой важный пример таких фонтанов — струи, состоящие из газовых пузырьков и выходящие из разломов земной коры на дне океана. Можно ожидать существования подобного явления вблизи подводных источников пресной воды.
Динамика фонтанов изучалась в лабораторных физических экспериментах и в численном моделировании [5—7]. Результаты этих исследований показывают, что дина-
мика струи определяется числами Фруда Бг и Рейнольдса Яе, основанными на осевой скорости и диаметре струи, скачке плавучести и кинематической вязкости жидкости. При малых Бг и Яе фонтан представляет собой стационарное течение, которое с ростом этих параметров теряет устойчивость. В зависимости от Бг и Яе возможно самовозбуждение различных неустойчивых мод колебаний фонтана.
Колебания фонтанов способны излучать внутренние волны, если частота колебаний ниже частоты плавучести. В свою очередь, можно ожидать проявления этих внутренних волн на поверхности воды, что делает возможной дистанционную диагностику подводных плавучих струй. Экспериментальные указания на возможность поверхностных проявлений внутренних волн, связанных с подводным коллектором сточных вод, приведены в [3]. Внутренние волны, вызванные взаимодействием плавучей струи с пикноклином, обнаружены в лабораторном эксперименте [8], в котором выполнялось условие масштабного моделирования по числу Бг для типичной прибрежной сбросовой системы. Результаты указали на то, что при воздействии всплывающих струй возможна генерация внутренних волн в пикноклине. Результаты лабораторных экспериментов и теоретического анализа в [9] показали, что всплывающая струя при взаимодействии с пикноклином совершает квазипериодические колебания в вертикальной плоскости, эффективно генерирующие внутренние волны. Установлено, что источником внутренних волн является осесимметричная, глобальная мода колебаний струи. Заметим, что аналогичная ситуация может возникнуть в случае выхода затопленного фонтана на свободную поверхность. Например, лабораторные эксперименты [10, 11] показывают, что возможна генерация поверхностных волн плоским затопленным фонтаном.
Прямое численное моделирование фонтана, образующегося при проникновении ламинарной струи тяжелой жидкости сквозь пикноклин, показало, что при числе Бг, превышающем некоторое критическое значение, течение становится неустойчивым, и фонтан совершает автоколебания, сопровождающиеся генерацией внутренних волн в пикноклине [12]. Основной пик в частотном спектре внутренних волн совпадает с частотой колебаний верхушки фонтана, которая монотонно уменьшается с ростом Бг. Зависимость амплитуды колебаний верхушки фонтана от Бг в численном моделировании хорошо согласуется с предсказанием теоретической модели конкуренции взаимодействующих мод в режиме мягкого самовозбуждения.
Необходимо отметить, что в перечисленных выше исследованиях рассматривалось относительно небольшое число Яе струи (Яе < 104 в лабораторных экспериментах и Яе< 103 в численных экспериментах). На практике, однако (например, в геофизических приложениях), число Рейнольдса, как правило, достаточно велико (Яе > 105), и течения являются турбулентными.
Цель настоящей работы — численное моделирование динамики фонтана, образующегося при проникновении сквозь пикноклин вертикальной турбулентной струи со значением числа Яе, близким к натурным (Яе ~ 105) с использованием метода крупных вихрей.
1. Основные уравнения и описание численного метода. Рассматривается жидкость с устойчивой стратификацией плотности со скачком плотности (пикноклином), расположенным на некотором горизонте 2 = 20. Профиль плотности задается в виде [12]
ЫЯ) = Ро
+ 0.5 ^ Ро
1 -
По,
На нижней границе при 2 = 0 вертикально вверх втекает струя со средним профилем скорости
2 2
и(х, у, () = и0ехр(-4(х + у ))
(1.1)
Под действием сил плавучести струя тормозится в окрестности пикноклина, прогибает его и проникает в верхний слой менее тяжелой жидкости на некоторую конечную высоту (до точки поворота). Далее, подобно течению в обычном фонтане, жидкость в струе движется вниз от точки поворота, формируя противоток, и затем радиально растекается в плоскости на горизонте нейтральной плавучести. Безразмерные переменные определяются как
, ч (X, Y, Z) ТТ Щ R - R(z)
(x, y, z) - ' 7, Ui =-i-, p =-
Do U о Ap
где u, — компоненты вектора скорости (i = x, y, z ), R — плотность жидкости.
Для интегрирования уравнений динамики жидкости применяется метод крупных вихрей. В этом методе мгновенные поля скорости и плотности представляются в виде суммы крупномасштабных (или фильтрованных) полей и подсеточных флуктуаций. Влияние флуктуаций на динамику крупномасштабных полей (т.е. напряжения Рей-нольдса) учитывается с помощью гипотез замыкания (обзор методов LES представлен в [13]).
Фильтрованные LES-уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска и условие несжимаемости жидкости для крупномасштабных полей в безразмерных переменных имеют вид
U+U. U = ж+±d2Ei Jjj-SiLp (1.2)
dt 1 dxj dxi Re dx) dxj Fr2 '
dUj _ o dx1
где 8iz — символ Кронекера. Уравнение для поля плотности жидкости записывается в виде
dP + U.+ UdPf = J.ÏÎ (13)
dt 1 dxj z dz RePr dxj dxj '
где потоки (напряжения Рейнольдса) Ху и xpj моделируются с помощью процедуры замыкания, обсуждаемой ниже. Исходный профиль безразмерной плотности в (1.3) имеет вид
рref (z) = 1 + 0.5 [1 - tanh 2(z - zo)] (1.4)
где z о = Z о /Do — горизонт залегания пикноклина. В уравнении (1.3) пренебрегается изменением pref (z), обусловленным молекулярной диффузией. Числа Рейнольдса Re и Фруда Fr в (1.2) определяются как
Re = UoDo, Fr = (1.5)
v NoDo
No = i idRof JjL^pY'2
I Po dZ ) ^po Do )
где v — кинематическая вязкость жидкости, N0 — размерная частота плавучести в центре пикноклина. Из (1.2)—(1.4) следует, что безразмерная частота плавучести в центре пикноклина равна Nm = 1/Fr.
В настоящей работе используется модель ЬЕ8-замыкания, основанная на уравнении для кинетической энергии подсеточной турбулентности, k = 1/2тй [14, 15]. Уравнение для k записывается в виде
дк + и дк = _д_
д, 1 дх. дх1
( дкЛ V,—
V дхи
+ V,
ди± ди.
кдх. дх1
где турбулентная вязкость задается как
ди1 к3/2 V, (йрг4 + др
с^ + ^ + (1.6)
дх] I Бг21 йг дг;
V, = С21кт (1.7)
В (1.7) с1 = 0.1, с2 = 0.93 постоянные коэффициенты, и масштаб длины l равен пространственному шагу сетки. Потоки Ху и т,-р выражаются как
т - зТкк
дх1 дх1
(1.8)
т . = —ЦР. (19)
Тр1 Рг, Зх. ( 9)
В настоящей работе числа Рг и Рг( полагаются равными единице.
Уравнения (1.2), (1.3), (1.6) решаются в прямоугольной области с размерами -30 < х < 30, -30 < у < 30 и 0 < г < 30. На боковых вертикальных границах области счета, в плоскости (у, z) при x = ±30, и на верхней горизонтальной границе, в плоскости у) при z = 30 ставятся условия Неймана (нулевого сдвига) для всех переменных. На нижней границе, в плоскости у) при z = 0, для скорости задается условие, соответствующее направленной вертикально вверх струе нейтральной плавучести (относительно окружающей жидкости) с гауссовым профилем (1.1), на который накладываются флуктуации, в виде
иь(х, у, 0 = ехр(-4(х2 + у 2))(8к + и.(х, у,,)) (1.10)
Поле флуктуаций и а представлено в виде суммы независимых фурье-гармоник со случайными фазами и однородным, широким ампли
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.