МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. А.Д. ПАНОВ
ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ИДЕАЛЬНО УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
На основе определяющих соотношений теории упругости, отражающих геометрически нелинейные эффекты второго порядка, уточнена теория кручения прямолинейных стержней произвольного поперечного сечения. В частности, получена универсальная, не зависящая от свойств материала, формула, определяющая продольную деформацию, возникающую при свободном кручении стержня. Согласно этой формуле, длина стержня из изотропного идеально упругого материала при закручивании, в отличие от традиционных представлений, может как увеличиваться, так и уменьшаться. Причем это изменение длины зависит только от геометрии поперечного сечения.
Задача свободного кручения прямолинейных стержней произвольного поперечного сечения решена Сен-Венаном полуобратным методом в предположении, что эти сечения в процессе кручения поворачиваются и получают депланацию. При этом допущении из определяющих соотношений классической теории упругости и дифференциальных уравнений равновесия следует, что в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения, а продольная деформация, а также деформации в плоскости сечения отсутствуют. На основе теоремы о единственности решений задач теории упругости утверждается, что полученные при этом результаты расчетов являются точными [1]. Однако в [2] показано, что даже при кручении стержней круглого поперечного сечения при малых упругих деформациях, кроме касательных напряжений в поперечных сечениях, неизбежно возникают нормальные напряжения в радиальном, продольном и окружном направлениях и происходит удлинение стержней и уменьшение их диаметра, то есть появляются продольные деформации и деформации в плоскости сечения, пропорциональные квадрату относительного угла закручивания ю2 (эффекты второго порядка). Очевидно, аналогичные напряжения и деформации будут возникать и при упругом кручении стержней произвольного поперечного сечения.
Теоретически изменение длины при свободном кручении традиционно объясняют тензорной нелинейностью определяющих соотношений [3] и для описания этого явления используют различные варианты уравнений нелинейной теории упругости. Однако, в [2] установлено, что этот эффект универсален, то есть он неизбежно проявляется для любого изотропного материала, и для его описания нет необходимости привлекать тензорно нелинейные определяющие соотношения.
Для количественного описания отмеченных выше нелинейных эффектов при решении рассматриваемой задачи используем физически линейные определяющие соотношения теории упругости, полученные в [4], отражающие геометрическую нелинейность при упругом деформировании:
T = ^e0E + 2 |Ш0 (1)
Н0 = е0- е0 + 0.5УиГ • Уи (2)
ео = 0.5(Уи + У иГ) (3)
X = К - (2/3)ц
где Т - тензор напряжений Кошн; Е - единичный тензор; К и ц - модули объемной упругости и сдвига, соответственно; X - постоянная Ламе; е0 - линейный тензор малых деформаций; Н0 - нелинейный тензор малых деформаций [4]; 90 - объемная деформация, равная линейному инварианту тензора Н0; Уи - тензор-градиент вектора перемещений и; Уиг - транспонированный тензор.
Применяя полуобратный метод решения, определим перемещения не в прямоугольной, а в цилиндрической системе координат, что более целесообразно при решении задач кручения. В [2] показано, что при кручении стрежня круглого поперечного сечения общее преобразование цилиндрических координат г, ф, г отсчетной (недефор-мированной) конфигурации, значения которых принимаются за материальные координаты произвольной точки тела, в цилиндрические координаты Я, Ф, Ъ актуальной (конечной) конфигурации при любых по величине деформациях имеет вид:
Ъ = Вг, Я = г + и (г), Ф = ф + В ю г (4)
где и(г) - радиальное перемещение произвольной точки тела, зависящее в осесим-метричной задаче только от координаты г; В - постоянная, определяющая изменение длины.
Преобразование цилиндрических координат при кручении стержня произвольного поперечного сечения с учетом возникающей депланации сечений, возможного изменения его длины и деформирования в поперечных направлениях, по аналогии с (4), можно записать в виде:
Ъ = г + юу(г, ф) + ю2Сг
Я = г + и = г + ю2/х( г, ф) (5)
Ф = ф + юг + ю2/2(г, ф)
где С - постоянная, определяющая продольную деформацию стержня, /1(г, ф) и /2(г, ф) - функции, определяющие деформации в плоскости поперечного сечения. Функцию у(г, ф) называют функцией кручения или функцией депланации [5]. Начало координат совпадает с центром тяжести сечения и ось г - продольная ось стержня.
В соответствие с соотношениями (5), первоначально прямолинейные материальные волокна в поперечных сечениях стержня, совпадающие в недеформированном состоянии с радиальными направлениями, при кручении поворачиваются на угол юг, искривляются из-за депланации сечений и деформируются в радиальном направлении на величину
ег = ди / д г = ю2Э / Х/Э г = ю2 /г (6)
Все продольные волокна стержня деформируются на одинаковую величину
ег = дм>/д г = С ю2 (7)
где ^ - перемещения в продольном направлении. Принято также, что деформации в поперечных направлениях и изменение длины стержня, связанное с его кручением, при малых относительных углах закручивания пропорциональны именно ю2 (эффекты второго порядка).
При сделанных предположениях о деформированном состоянии, определяющие соотношения (1), с учетом трех дифференциальных уравнений равновесия, формулируют двумерную краевую задачу, решение которой однозначно определяет с точностью до слагаемых порядка ю2 напряженно-деформированное состояние закрученного стержня произвольного поперечного сечения. При этом граничные условия задачи определяются отсутствием как касательных, так и нормальных напряжений на боковых поверхностях стержня.
Матрица компонентов симметричного нелинейного тензора малых деформаций Н0, вычисленных по формуле (2) с точностью до слагаемых порядка ю2, с учетом соотношений (5) имеет вид (примеры аналогичных вычислений рассмотрены в [6, 7]):
Но
Hz Hzr HZ4
H H H
rz r n гф
H H H
ф^ ф r ф
Hz = ю2{ C + 0.25 [у2 + (Уф/r )2- r2 - 2 ¥ф]}
H
H
0.5 r , H
zф
H
ф z
0.5 ю[(у ф/r) + r ]
Hr = ю2( fr -0.25 ¥2r)
H
гф
H
фг
0.5ю2 {(f i, ф/г) + f r - 0.5 w r [ г + (¥ /г )]}
Яф = ю2{( / х/г) + /2>ф + 0.25 [ г2-2¥ >ф - (¥,ф / г )2 ]} При этом первый инвариант тензора Н0 равен
11 н0 = 00 = ю2[ с + /1, г + (/ 1/г) + / 2, ф - У,ф]
(8) (9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Из формул (8)-(13) и определяющих соотношений (1) следует, что при кручении стержня произвольного поперечного сечения, кроме касательных напряжений тгф и тгг
пропорциональных ю, неизбежно возникают и все остальные компоненты тензора на-
2
пряжений, величина которых пропорциональна ю .
Из (9) и (1) следует, что касательные напряжения тгф и тгг зависят только от функции кручения у(г, ф), которая определяется известными решениями, полученными по теории кручения Сен-Венана и записанными в цилиндрических координатах:
|ю[(¥,ф/г) + г ]
(14)
(15)
При этом из уравнения статики следует, что функция у(г, ф) является гармонической, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа [5]:
VV(г, ф) = 0
(16)
Крутящий момент М, с учетом формулы (14), связан с функцией кручения у(г, ф) интегральной зависимостью
/ л
(17)
V я
М = Лхгфг^я = цю||( г2 + у ,ф) йЯ = цю 1р + Д¥,ф йЯ
я я ^ я
где Я и ]р - площадь и полярный момент инерции поперечного сечения.
Т
Т
zr
Интеграл по площади в правой части формулы (17) преобразуется по формуле Грина в интеграл по контуру
Цу,фй5 = Цу ,ф гйгйф = -0.5°уй (г2) = - Б (18)
5 5 Ь
С учетом (18) формула (17) принимает традиционный вид
М = цю/ (19)
Jg = /р - Б (20)
где / - геометрическая характеристика жесткости сечения при кручении. Величина Б, определяемая формулой (18) и зависящая от депланации сечения, не может быть отрицательной [5], и поэтому для любого сечения / < /р.
Из формул (1) и (8) следует, что продольные напряжения аг, возникающие при кручении, равны
ог = Х9о + 2цю2{С + 0.25[у2 + (у,ф/г)2- г2-2у,ф]} (21)
Поскольку продольная сила по условию задачи отсутствует, то для этих напряжений должно выполняться интегральное соотношение
N = ЦМЯ = 0 (22)
5
Так как для стержня из линейно упругого изотропного материала при свободном кручении полное изменение объема тела равно нулю, т.е. ||90 й5 = 0, то условие (22) по-
5
сле интегрирования, с учетом (21) и (18), принимает вид
4С5 + Д[¥2г + (у,ф / г )2 ] й5 - /р + 2 Б = 0 (23)
5
Величину Б, определяемую формулой (18), с учетом граничного условия на контуре сечения, можно также записать в виде [5]:
Б = °у(ду/д п) йЬ (24)
ь
где ду/дп - производная по направлению нормали к контуру сечения. Преобразуя интеграл по контуру (24) в интеграл по площади, на основании первой формулы Грина, с учетом (16), формулу для определения Б можно записать в виде [5]:
Б = °у(ду/дп)йЬ = Цу • §гаёуй5 + ЦуУ2у й5 =
Ь 5 5 (25)
= Д[у2 + (у,ф/г )2 ] й5
5
С учетом выражений (7), (25) и (20) из соотношения (23) следует формула, определяющая продольную деформацию стержня произвольного поперечного сечения при свободном кручении
ег = ю2(3/ -2/р)/(45) (26)
£г/(ю с)2 0.1
0
1.2 1.6 1.8 2.0 t
Эллиптическое сечение^
- Прямоугольное сечение
-0.1 -0.2 -0.3
Согласно формуле (26) изменение длины стержня при кручении не зависит от свойств материала, а определяется только геометрией его поперечного сечения, т.е. эта формула является универсальной. Из этой же формулы также следует, что в зависимости от формы поперечного сечения, длина стержня при закручивании может как увеличиваться, так и уменьшаться.
В частности, при кручении стержней круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений депланация отсутствует, т.е. О = 0 и Jg = Jp. При этом из (26) следует, что такие стержни при закручивании удлиняются (эффект Пойнтинга) и их продольная деформация равна
ег = ю2 Jp / (4 S) = ( г2ю2/8)[ 1 + (rx/ r2 )2 ]
(27)
где г1 и г2 - внутренний и внешний радиусы кольцевого поперечного сечения, соответственно. Формула (27) совпадает с результатом, полученным в [2] при решении осе-симметричной зад
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.