АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 50-54
^=НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА =
УДК 534.16
ИЗМЕРЕНИЯ СДВИГОВОЙ УПРУГОСТИ и вязкости РЕЗИНОПОДОБНЫХ МАТЕРИАЛОВ
© 2007 г. В. Г. Андреев, Т. А. Бурлакова
Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, кафедра акустики 119992 Москва, Ленинские горы E-mail: andreev@acs366.phys.msu.ru
Поступила в редакцию 22.06.06 г.
Описана методика и приведены результаты измерений сдвигового модуля упругости резиноподоб-ного полимера по деформации плоского упругого слоя. При сдвиговых деформациях, не превышающих 0.5 толщины слоя, сдвиговый модуль постоянен и имеет значение, согласующееся с результатами измерений по вдавливанию жесткого шарика. При деформациях, превышающих 0.5 толщины слоя, зависимость напряжения от деформации становится нелинейной. Коэффициент сдвиговой вязкости определялся по форме сдвиговых волн, возбуждаемых сфокусированным ультразвуком в однородном полимере.
PACS: 43.25.Ba, 43.35.Mr
ВВЕДЕНИЕ
Механические напряжения, возникающие в резиноподобных средах при создании сдвиговой деформации, не зависят от направления сдвига, и поэтому квадратичная нелинейность отсутствует. Кубичная нелинейность упругого отклика, тем самым, становится основной. Это характерно для всех сред с центром инверсии. Как было показано в теоретических работах [1, 2], нелинейное искажение волн конечной амплитуды в средах с кубичной нелинейностью имеет ряд особенностей. Хорошо известно [3], что процесс распространения акустической волны конечной амплитуды в средах с квадратичной нелинейностью сопровождается каскадной генерацией гармоник, в результате чего профиль гармонической волны становится пилообразным. В средах с кубичной нелинейностью гармоническая на входе волна по мере распространения приобретает трапециевидную форму. Подобные эффекты возможны для сдвиговых волн, распространяющихся в твердых телах, однако для наблюдения таких явлений необходимо создавать очень большие сдвиговые смещения, что связано со значительными техническими трудностями. В резиноподобных средах модуль сдвиговой упругости составляет единицы килопаскалей, и скорость сдвиговой волны оказывается несколько метров в секунду, что на три порядка ниже скорости продольной волны. В таких средах вполне реально создание сдвиговых волн с колебательными скоростями, близкими к скорости распространения, и, следовательно, можно ожидать проявления нелиней-
ных эффектов на расстояниях в несколько длин волн от излучателя. В работе [4] сообщалось об экспериментальном наблюдении процесса нелинейного искажения сдвиговой волны конечной амплитуды в гелеобразном образце, изготовленном из желатина и агара. Для изучения и моделирования нелинейных волновых процессов в рези-ноподобной среде необходимо иметь данные о нелинейном сдвиговом модуле среды и затухании сдвиговых волн, обусловленном вязкостью.
Нелинейная упругость мягких биологических тканей может быть использована при медицинской диагностике. Мягкие биологические ткани, так же, как и полимеры, становятся более жесткими по мере их растяжения или сжатия. Такая способность мягких тканей обеспечивает сохранение жизнеспособности органов при экстремальных механических напряжениях. В статье [5] приведены результаты измерений нелинейной упругости биотканей, состоящих из фибриновых, коллагеновых и других белковых волокон. Показано, что при относительных деформациях порядка 0.5 и выше нелинейная упругость становится заметной.
В настоящей работе предложена методика измерения сдвигового модуля упругости резиноподобных материалов в диапазоне деформаций, при которых проявляются нелинейные свойства. Был использован слой полимера, заключенного между двумя пластинами. Сдвиговая деформация создавалась путем смещения одной пластины относительно другой.
5 1
Рис. 1. Экспериментальная установка для измерения сдвигового модуля резиноподобного полимера: 1 -слой пластисола толщиной 5 мм между двух жестких пластин, 2 - блок, 3 - металлический тросик, 4 - пластиковая емкость, 5 - микрометрический индикатор.
ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПРИ СТАТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПЛОСКОГО СЛОЯ
Схема измерений показана на рис. 1. Слой исследуемого резиноподобного полимера толщиной h = 5 мм был заключен между двумя жесткими пластинами с размерами 7.5 х 4 см. В экспериментах был использован полимерный материал пластисол (производитель - компания M-F Manufacturing, США), упругость которого могла варьироваться в процессе полимеризации путем добавления в исходный полимер размягчителя. Пластины были изготовлены из дерева, адгезия пластисола к которому была достаточно хорошей.
Нижняя пластина образца (1), в котором создавались сдвиговые деформации, жестко крепилась к столу. К верхней пластине образца (в центре ее боковой грани) одним из своих концов крепился металлический тросик (5), перекинутый через блок (2). К свободному концу тросика прикреплялась пластиковая емкость (4), которая в ходе эксперимента наполнялась водой. Под действием силы тяжести воды в упругом слое создавалась сдвиговая деформация. Смещение верхней пластины х измерялось с помощью микрометрического индикатора (5), установленного с противоположной стороны пластины.
Экспериментальная зависимость механического напряжения а от сдвиговой деформации 8 показана на рис. 2 кружками. Характер зависимости типичен для резины и резиноподобных материалов: по мере увеличения деформации упругость образца увеличивалась. В процессе измерений масса нагрузки увеличивалась с шагом 40 г, при этом время между двумя последующими измерениями составляло не менее минуты, поэтому можно было считать, что измерения были выполнены в квазистатическом режиме. Производились измерения как при увеличении нагрузки, так и при последующем пошаговом снятии нагрузки. В результате проведения циклических изменений нагрузки в диапазоне сдвиговых деформаций до 6 мм (1.2 толщины слоя) изменений зависимости
а, кПа ^eff, кПа
8 г
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Деформация, х / h
Рис. 2. Экспериментальная зависимость (кружки) механического напряжения а от относительной сдвиговой деформации слоя полимера толщиной 5 мм. Эффективный сдвиговый модуль (треугольники), вычисленный по измеренной зависимости и его аппроксимация параболой (пунктирная линия). Аппроксимация экспериментальных данных кубической параболой показана штриховой линией.
а(е) обнаружено не было. Это позволило сделать вывод о том, что измерения были выполнены в диапазоне упругих деформаций, при этом не происходило отклеивания пластисола от пластин или каких-либо других необратимых изменений в упругом слое.
При сдвиговых деформациях, не превышающих 0.5 толщины слоя, зависимость напряжения от деформации линейна. Для относительных деформаций 8 = х/к > 0.5 проявляется нелинейный характер зависимости, который хорошо аппроксимируется кубической параболой а = |(е + Ре3), показанной штриховой линией. По измеренной зависимости напряжения от сдвиговой деформации производилось определение эффективного сдвигового модуля
I/ = а = ' + (1)
где 'в - нелинейный сдвиговый модуль. В области относительных деформаций 8 < 0.3 эффективный модуль сдвига практически постоянен и равен '//= (4.1 ± 0.2) кПа (треугольники на рис. 2). Это значение хорошо соответствует результатам измерений сдвигового модуля данного материала по вдавливанию жесткого шарика | = (4.4 ± ± 0.4) кПа. Значение нелинейного сдвигового модуля, определенное по аппроксимации кривой
Частота, Гц 15
10
ц, кПа 4
1.5 Масса, кг
Рис. 3. Зависимость частоты сдвиговых колебаний жесткой пластины от ее массы. Точками обозначены экспериментальные значения, штриховой кривой показан результат теоретического расчета. Модуль сдвига, вычисленный по результатам измерений частоты колебаний, показан кружками. Сплошная линия проведена по методу наименьших квадратов.
Смещение, мкм 1.6 -
1.2
0.8
0.4
8 10 Время, мс
Рис. 4. Экспериментальные профили сдвиговых импульсов (значки), зарегистрированные в однородном образце на расстояниях 3, 5 и 7 мм (цифры у кривых) от оси ультразвукового пучка. Сплошные линии соответствуют результатам расчета для значения сдвиговой вязкости 0.3 Па с.
5
0
це^(е) зависимостью (1), показанной пунктирной линией, составило цв = (0.86 ± 0.02) кПа.
КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОЙ ПЛАСТИНЫ НА УПРУГОМ СЛОЕ
Измерения сдвигового модуля упругости на низких частотах были проведены по измерениям периода колебаний твердой пластины на упругом слое. Рассмотрим жесткую пластину массой т и площадью лежащую на упругом слое толщиной к. При смещении пластины в направлении оси х возникает упругая сила, стремящаяся вернуть пластину в положение равновесия. В результате вдоль оси х возникают колебания пластины, частота которых определяется сдвиговой упругостью материала слоя и погонной плотностью пластины. Уравнение движения частиц в слое имеет вид [6]:
д2 ux д t2
ц
д 2 ux
д z2
(2)
= 0,
m-
д 2 ux д t 2
= - ц Sdx
д z
(3)
Решение уравнения (2) с граничными условиями (3) имеет вид гармонических колебаний, при этом собственная частота колебаний ш0 находится из уравнения:
tg
юо h) = -
ct ) рs
= ц ,
sct ю о'
(4)
где ct = л/ц/ р - скорость сдвиговой волны, ps = m/S -погонная плотность пластины. Если частота колебаний достаточно низкая, то значение тангенса можно заменить его аргументом. В таком приближении выражение для частоты имеет вид:
ю о
_ —о _ - t
0 = Т! ~ Т!
2п 2tcaj hp
(5)
где ux - смещение частицы вдоль оси х, р - плотность среды. Граничные условия: частицы на нижней границе ^ = 0) неподвижны; при z = к частицы совершают движение вместе с жесткой пластиной,
Собственная частота колебаний пластины зависит от ее погонной плотности, поэтому значение частоты можно изменять путем изменения массы пластины, нагружая ее дополнительными грузами. На рис. 3 график теоретической зависимости частоты колебаний от массы пластинки показан штриховой линией. В вычислениях были использованы следующие значения параметров: к = 5 мм, ct = 2 м/с, р = 980 кг/м3, 5 = 30 см2. С ростом массы пластины (или груза на ней) собственная частота колебаний пластины уменьшается как т~1/2. Значения экспериментально измеренных частот к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.