АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 6, с. 696-700
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ АКУСТИКИ
УДК 534.121.1
ИЗОЛЯЦИЯ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ УПРУГИМ СЛОЕМ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ВИБРАЦИОННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
© 2014 г. Н. Г. Канев
Акустический институт им. Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника 4 E-mail: nikolay.kanev@mail.ru Поступила в редакцию 29.01.2014 г.
Предложен метод расчета виброизоляции упругого слоя, расположенного между пластиной конечного размера со свободными краями и виброактивным основанием. Упругий слой состоит из дискретного набора пружин. При несинфазном колебании поверхности основания среднее динамическое воздействие на пластину уменьшается, что приводит к росту виброизолирующего эффекта. Ре-зонансы изгибных колебаний пластины, напротив, снижают виброизоляцию на резонансных частотах. Для разных случаев получены оценки параметров системы, при которых виброизолирующий эффект положителен. Проведено сопоставление с простейшей системой "масса—пружина" с одной степенью свободы.
Ключевые слова: виброизоляция, резонанс, изгибные колебания, пластина. DOI: 10.7868/S0320791914050050
Одним из эффективных способов снижения передачи вибраций от одних объектов к другим является применение специальных препятствий — виброизоляторов. Как правило, они размещаются между источником вибрации и защищаемым объектом. В простейшей схеме между виброактивным объектом и основанием располагается набор дискретных виброизоляторов или непрерывный упругий слой [1, 2]. Динамическое воздействие со стороны объекта на основание уменьшается в некоторой области частот. Если, наоборот, основание является источником вибрации, то виброизоляторы в той же степени снижают воздействие на объект. Часто задачу можно считать одномерной и выполнять расчет виброизолирующей эффективности на основании классической теории виброизоляции [3, 4].
В волновом случае, т.е. когда размеры объектов не являются малыми по сравнению с характерными длинами волн (поверхностных, изгибных или иных), одномерная модель виброизоляции неприменима. Например, в случае бесконечных пластин, разделенных упругим слоем, имеет место волноводная изоляция изгибных колебаний [5]. Здесь упругий слой так изменяет волновод-ные свойства пластин, что распространение из-гибных волн становится невозможным в некотором диапазоне частот. Однако если размеры пластин конечны, приходится также учитывать резонансы их изгибных колебаний. В настоящей работе рассмотрена модельная задача об изоляции изгибных колебаний пластины конечного
размера, на которую оказывается неравномерное по ее поверхности динамическое воздействие. Далее сформулируем постановку задачи.
Пусть источником вибрационного воздействия является плоское основание, по которому распространяется поверхностная волна. На основании через упругий слой установлен защищаемый объект — пластина. На практике основанием может считаться поверхность грунта, по которой распространяются поверхностные волны, или перекрытие здания, по которому распространяются изгибные волны. Как правило, защищаемым объектом является механизм или конструкция, установленные на пластине, которые могут оказывать влияние на колебания пластины. Но учет этого влияния требует дополнительного рассмотрения свойств объекта, что усложняет задачу и не относится к проблеме виброизоляции. Поэтому защищаемым объектом будем считать саму пластину. Отметим, что снижение вибраций пластины, расположенной на колеблющемся основании, может быть обеспечено с помощью цепочки механических резонаторов, присоединенных к основанию и размещенных со стороны падающей волны [6, 7].
Введем декартову систему координат ху на поверхности основания, по которой распространяется поверхностная волна с вертикальным смещением
I—х
П(х) = Пое 1 , (1)
где По — амплитуда смещения, X — длина волны. Прямоугольная пластина со сторонами I вдоль оси х и d вдоль оси у присоединена к основанию через М линейных виброизоляторов длиной d (пружин), ориентированных вдоль оси у. Пружины равномерно распределены вдоль оси х, т.е. в точках хт = 1(т - 1)/М, т = 1,2,...,М (рис. 1). В данной постановке пластина совершает изгибные колебания вдоль оси х, поэтому от размера d ее колебания не зависят. Полагаем, что действие со стороны пружин на поверхность основания не изменяет его движения, т.е. основание является неподатливым по отношению к внешним силам.
Уравнение движения пластины, соединенной с пружинами, для смещения м^(х) может быть записано в виде
П(х)
-pw2w(x) + DA 2w(x) = = X km ((xm) - w(xm)) 5(x - XmX
(2)
S „(x) = cos (a nx + 0 n) - sin (a nx + 0 „) +
x x
-a„— a„—
+ cos (0„ )e 1 - sin (0„ )e l при n > 2, sin a „
(4)
= 2arctg-
при „ > 2,
e - cos a„
где a„ — корни уравнения cos a cha = 1. Приведем несколько первых корней: a2 = 4.730, a 3 = 7.853, a 4 = 11.00, a 5 = 14.14. Собственные функции ортогональны, т.е.
1 J^ „(x)£ „■(x)dx
l
1, n = n 0, n Ф n
(5)
Для определения амплитуды моды Ап подставим (3) в уравнение (2), умножим обе его части на (х) и проинтегрируем по х от 0 до I. В результате получаем
X, An'km^n'(xm)^n(xm)
„ m
= X kmn(xm)n(xm).
í / \4 л
.D(£T„) -p-
lAn =
(6)
Выражение (6) представляет собой систему линейных уравнений, которая легко может быть решена при ограничении количества рассматривае-
ЯШМАМ
// ^ l
0 хт
Рис. 1. Пластина на упругом слое.
мых мод колебаний пластины. Вместе с тем, если все пружины одинаковы, т.е. кт = к для всех т, то при большом количестве пружин М > 1 сумма по т в первом слагаемом (6) в силу свойства ортогональности (5) мала при п ф п. Пренебрегая соответствующими слагаемыми в этой сумме, найдем амплитуду моды из (6):
\п(хт )£ п(хт )
X'
An — '
Р 2
--Ю
1 + X ^n(xm)
(7)
где р — поверхностная плотность пластины, D — ее изгибная жесткость, km — линейная жесткость m-й пружины.
Представим w(x) в виде суммы собственных колебаний пластины со свободными краями [8]:
w(x) = XAnn(x), n = 0,1,2,... (3)
n
%0(x) = 1, ^(x) = V3 (2x -1),
б 1а„
К ап к
Подставляя (7) в (3), находим колебания пластины. Поскольку смещение пластины изменяется вдоль оси х, то для характеристики интенсивности ее колебаний введем величину Ж = mаx м>(х) — мак-
0< х <1
симальное смещение пластины на ее поверхности. Виброизоляцию пластины от основания определим следующим образом:
V = -20 lg
W
П0
(8)
Положительному значению V соответствует уменьшение амплитуды колебаний пластины по отношению к амплитуде колебаний поверхности основания, т.е. положительной эффективности виброизоляции.
Далее проанализируем эффект виброизоляции при различных условиях.
1. Поршневое возбуждение. Пусть длина волны X, распространяющейся по поверхности, велика по сравнению с размером пластины X > I, тогда колебание поверхности под пластиной близко к поршневому п(хт) ~ П0. Коэффициенты возбуждения Ап, п > 1, малы по сравнению с А0, поскольку числитель в правой части (7) в силу ортогональности собственных функций (5) имеет малые значения при п > 1. Таким образом, возбуждается только нулевая мода колебаний пластины, и виброизоляция равна
' (9)
V0 = 20 lg 1 -ш2/®2|,
2 кМ г,
где ю0 =-. В этом предельном случае мы полу-
р1
чаем простейшую систему "масса—пружина" с одной степенью свободы, виброизоляция которой определяется классическим выражением (9).
2. Жесткая пластина. Пусть пластина имеет достаточно большую изгибную жесткость, чтобы
x
m
m
0
m
698
КАНЕВ
АУ, дБ
30
20
10
_|_I_I_I_I_I_I_1_
-10
0123456789 10
N
Рис. 2. Зависимость дополнительной виброизоляции от волнового размера пластины N = ¡/X для жесткой пластины.
можно было пренебречь ее изгибными колебаниями. Если Б ^ да, то из (7) находим
1
Л
М^ 1
2 -Юо
- Ю2/
А = -1 У П(хтШхт)--127
М1 -Ю2/
т '
2
Юо
(10)
Ап = 0 при п > 2. При большом количестве резонаторов суммы по т в (10) можно заменить интегрированием, что дает
1 _ 2пiN
— У П(-0 = По '
- 1
М'
-1 У П(Хт)^1(Хт) = По М
2пiN
( 2пiN
+ 1 + е - 1
2
(11)
V 2%iN
т
где N = ¡/ X — волновой размер пластины, т.е. количество длин поверхностной волны на длине пластины.
Виброизоляция пластины может быть представлена в виде
V = Г0 + Д V, (12)
где Д V зависит только от длины поверхностной волны и может быть названа дополнительной виброизоляцией, поскольку характеризует изменение виброизоляции относительно V0 для простейшей системы.
Неравномерное воздействие на пластину со стороны колеблющейся поверхности приводит, с одной стороны, к уменьшению средней силы, действующей на пластину, и уменьшению амплитуды нулевой моды, с другой стороны, кроме нулевой моды возбуждается первая мода. Зависимость Д V от длины поверхностной волны представлена на рис. 2. При X > I виброизоляция несколько ниже У0, т.е. в длинноволновом случае наблюдается небольшое снижение виброизоли-
рующего эффекта относительно простейшей модели. Если длина волны меньше I, т.е. N > 1, то дополнительная виброизоляция положительна и растет с уменьшением длины волны.
Отметим, что приближение (11) неприменимо для случая, когда на расстоянии между соседними резонаторами, равном ¡/М, укладывается целое количество длин поверхностной волны X. Действительно, в этом случае все пружины возбуждаются поверхностью основания синфазно, и
М Ут П(хт) = По, -1 Ут П(хт)^1(хт) = 0, и дополнительная виброизоляция Д V равна нулю.
3. Изоляция отдельной моды. При равномерном расположении пружин вдоль оси х, т.е. в точках Хт, колебания основания возбуждают все моды изгибных колебаний пластины. Для изоляции некоторой выбранной моды с номером п > 0 достаточно расположить пружины в узлах этой моды, т.е. в точках, для которых 2, п(х) = 0. Поставляя последнее выражение в (6), находим, что Ап = 0. При этом количество пружин не может превышать количество узлов изолируемой моды, т.е. п.
4. Виброизоляция на резонансах изгибных колебаний. Заменим суммирование в знаменателе (7) интегрированием У ^П(хт) = М. Резонансные частоты изгибных колебаний пластины могут быть найдены из (7):
2 2Л , 4\
®п = ©о (1 + ка п),
(13)
где к :
Б
кМ13
Тогда амплитуды мод могут быть
представлены в виде А = Е
2
Юо
2 2 ' Ю„ - Ю
Рп = Т7 У П(Х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.