ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 2, с. 131-135
= МАТЕМАТИКА =
УДК 517.518+517.54
ИЗОМОРФИЗМЫ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВ НА ГРУППАХ КАРНО И МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ
© 2015 г. С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев
Представлено академиком РАН Ю.Г. Решетняком 01.02.2015 г. Поступило 26.03.2015 г.
Изучаются метрические свойства измеримых отображений на группе Карно, индуцирующих по правилу замены переменной изоморфизмы пространств Соболева. Доказано, что такое отображение можно переопределить на множестве меры нуль так, что оно будет либо квазиконформным, когда показатель суммируемости совпадает с хаусдорфовой размерностью группы, либо квазиизометрическим в противном случае.
DOI: 10.7868/S0869565215260084
Настоящую работу можно рассматривать как естественное продолжение исследований, начатых в [1—5] и посвященных решению следующей задачи: какие метрические и аналитические свойства имеет измеримое отображение ф, индуцирующее
изоморфизм ф* по правилу ф*(/) = f ° ф, f е L1. В упомянутых работах получены различные доказательства того, что изоморфность оператора ф* влечет в зависимости от соотношения между показателями гладкости, суммируемости и размерностью пространства свойство отображения быть квазиконформным или квазиизометрическим в метрике области определения, адекватной геометрии функционального пространства.
Здесь мы описываем решение аналогичной задачи для измеримых отображений областей группы Карно, индуцирующих изоморфизмы горизонтальных классов Соболева. В работе [6] приведены детальная история данного вопроса, подробная библиография и частичное решение задачи.
1. Группа Карно G — это связная односвязная стратифицированная нильпотентная группа Ли. Это означает, что алгебра Ли g группы G допускает разложение в прямую сумму векторных подпространств: g = V1 © ... © Vm, такую, что [V1, V] = = V + 1 дляj = 1, 2, ..., m — 1, а [V1, Vm] = {0}. Положим nx = dim V. Далее используем обозначение n = n1. Пусть X1, ..., Xn — векторные поля, составляющие ортонормированный базис горизонтального подпространства V1.
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Новосибирский государственный университет E-mail: vodopis@math.nsc.ru
Абсолютно непрерывная кусочно гладкая кривая у: [а, Ь] ^ С, касательный вектор у (?) которой принадлежит V для п.в. ? е [а, Ь], называется горизонтальной кривой. Длина горизонтальной кривой у: [а, Ь] ^ С выражается интегралом
l(Y)= |Y(01 dt (здесь |у (t)|
— длина касательного
вектора).
Метрика Карно—Каратеодори х, у) на группе С — это точная нижняя грань длин всех горизонтальных кривых, соединяющих точки х и у. Размерность Хаусдорфа группы С равна V = п1 + 2п2 +
+ 3п3 + ... + тпт.
2. Классы Соболева на группе Карно. Пусть Б — открытое множество на группе Карно С. Пространство Соболева Ь1р (Б) состоит из локально интегрируемых функций/ Б ^ К, имеющих обобщенные производные X,е Ьр(П),
I = 1, 2, ..., п. Полунорма в Ь1р (Б) определяется как величина
l\(D)|| = \\V/Lp(D)|| = I ||V/x)pdx
где V^f(x) = (X1 f(x), ..., Xnf(x)) — обобщенный субградиент функции f в точке x е D, а |Vf x)| =
= V(Xi/(x))2 + ... + (Xn/(x))2.
Отображение ф: D ^ G принадлежит классу Соболева W ioc (D) тогда и только тогда, когда его можно изменить на множестве нулевой меры так, что
ъ
a
D
1) для всякого ге С функция [ф]г: Б Э х ^ ^ ^(ф(х), г) принадлежит классу 1ос(Б);
2) отображение ф: Б ^ С абсолютно непрерывно на почти всех интегральных линиях горизонтальных векторных полей X,,/ = 1, 2, ..., п (ф е е АСДБ));
3) производная Хф(х) = ^т 8 -1 (ф(х)-1ф(ехр 1Х))
I ^ о '
существует п.в. в открытом множестве Б, принадлежит К1(ф(х)) и, кроме того, Хф| е 1ос(Б) для всех /.
Напомним, что отображение ф: Б ^ С называется абсолютно непрерывным на п.в. интегральных линиях горизонтальных векторных полей X, / = 1, 2, ..., п, если для любой области иШ Б и слоения Гу-, определяемого векторным полем X, (/ = 1, 2, ..., п), отображение ф абсолютно непрерывно на пересечении у п и относительно одномерной меры Хаусдорфа для ^у-почти всех кривых у е Г/. Для такого отображения существуют производные Хф (/ = 1, 2, ..., п) п.в. в Б (см. различные доказательства этого факта в [7—9]).
Обозначим символом Бф аппроксимативный дифференциал отображения ф [10], а символом Бнф: У1 ^ V — горизонтальную часть дифференциала. Якобиан ёе1Бф отображения ф обозначим символом /(х, ф).
Определение1. Гомеоморфизм Ф: Б ^ Б'
класса Ж, 1ос(Б) называется квазиконформ-н ы м, если существует постоянная К такая, что |БФ(х)|у < К|/(х, Ф)| п.в. в Б.
Определение 2. Гомеоморфизм Ф: Б ^ Б'
класса Ж1,1ос (Б) называется квазиизомет-р и е й, если |БФ(х)| < М и 0 < а < |/(х, Ф)| для п.в. х е Б, где постоянные М и а не зависят от х.
О п р е д е л е н и е 3. Два открытых множества Б1 и Б2 называются (1, р)-э квивалентными,
если операторы ограничения г;: Ьр (Б1 и Б2) ^
^ Ьр (Б), г() = , где/е Ьр (Б1 и Б2), являются изоморфизмами.
Свойства (1, р)-эквивалентных областей исследованы в евклидовом пространстве в работе [11], на группе Карно в [12].
3. Емкость в пространстве Ь^ Р (Б). Пусть ¥ с Б — замкнутое множество положительной меры без изолированных точек. Рассмотрим совокупность функций
р ( В) =
= {и е (Ьр(В): и (х) = 0 для почти всех х е Р)}. Заметим, что Ь^, Р (Б) является замкнутым подпространством в Ьр (Б) и нормированным про-
странством с нормой ||u | LV,f(D)|| = ||u|b\ (D)||.
Можно доказать, что LV, F (D) — банахово пространство. Введем обозначение DF = D\F.
Емкостью Cap(K; LV, f (D)) компакта Kc DF в пространстве LV, f (D) называется величина
Cap(K; LV, f(D)) = inf||g- | LV,f(D)||v, где точная нижняя грань берется по всем непрерывным функциям g e LV, f (D) таким, что g > 1 на K.
Для произвольного множества E c DF его внутренняя емкость равна Cap (E; LV, f (D)) =
= sup{Cap(K; LV F(D)): K c E, K — компактно}, а
его внешняя емкость — величине Cap (E; LV, f (D)) =
= inf{Cap(^; LV,f (D)): E c U, Uc DF — открыто}. Множество E измеримо относительно емкости, если Cap (E; LV F(D)) = Cap(E; LV F(D)). Можно
проверить [4], что емкость в пространстве LV, f (D) является емкостью в смысле Шоке [13].
Говорят, что некоторое свойство выполняется квазивсюду, если оно выполняется всюду, за исключением множества, имеющего нулевую емкость.
Определение 4. Функцию f, определенную квазивсюду на DF, будем называть кв аз и -непрерывной, если для всякого б > 0 можно найти открытое множество Us c DF такое, что
Cap (Ue; LV, f (D)) < s и сужение f на дополнение DF\Ue непрерывно.
(Подробнее, применительно к другим пространствам функций, см. в [3, 4, 12]).
4. Оператор композиции и отображения класса ILp . В работе [6] введен основной объект исследования: класс ILp отображений на группе Карно.
Определение 5. Пусть D, D — области на группе Карно G. Измеримое отображение ф: D ^ D
принадлежит классу ILp ,p e [1, да], если ф индуцирует оператор композиции пространств Соболева
ф*: Lp(D) п Г (D) ^ Lp(D), ф*(/) = f ° ф,
f e LP ( D )п C°°( D), такой, что:
1) справедливы неравенства K—1|| f |Lp (D')|| < < ||ф*(Я|LP (D)11 < K|| f |LP (D')|| для любой функ-
(1)
ции / е Ьр (Б') п С (Б'), где постоянная К не зависит от функции /;
2) образ ф*(Ь1р (Б') п СШ(Б')) всюду плотен в Ьр (Б).
В работе [6] показано, что второе условие этого определения не зависит от первого.
Для отображений класса /Ьр в [6] установлены следующие свойства.
Предложение 1.1) Область определения отображения ф можно редуцировать до множества Т = ^ Тк, |Б\Т = 0, где {Тк} — возрастающая к
по включению последовательность ограниченных множеств положительной меры, состоящих из точек положительной плотности;
2) отображение ф непрерывно на каждом из Тк;
3) на множестве Тдля отображения ф выполнены N-свойство и М^1-свойство Лузина;
4) отображение ф: Т^ Б' инъективно;
5) образ ф(Т) всюду плотен в Б' и |Б'\ф(Т)| = 0.
Оператор (1) распространяется на Ьр (Б) с сохранением свойств оператора композиции:
Лемма 1 [6, лемма 10]. Пусть измеримое отображение ф: Б ^ Б' принадлежит классу /Ьр . Тогда оператор ф*: Ь1р (Б') п С°(Б') ^ Ьр (Б) продолжается по непрерывности до оператора ф * : Ьр (Б') ^ Ьр (Б) и обладает следующими свойствами:
1) значение оператора ф * : Ьр (Б') ^ Ьр (Б) на классах [ /] е Ьр (Б') можно найти по формуле
ф * ([/]) =
/ ° ф при р <v, где /- произвольной представитель класса [/], / ° ф при р ^, где / - непрерывный представитель класса [/],
квазиизометрией Ф: D ^ Ф(D), для которой области Ф(П) и D (1, р)-эквивалентны.
6. Случай р = v. Основной результат прир = v составляет
Те орема 2. Пусть D, D — области на группе Карно G, где v — хаусдорфоваразмерность группы G. Измеримое отображение ф: D ^ D принадлежит классу IL\ тогда и только тогда, когда ф совпадает п.в. с некоторым квазиконформным отображением Ф: D\{x0} ^ G, для которого области
Ф^Х^}) и D (1, v)-эквивалентны, где x0 е G —
некоторая точка (здесь G — одноточечная ком-пактификация G).
Доказательство достаточности аналогично соответствующей части доказательства теоремы 1 [6]. Необходимость разбивается на ряд приводимых ниже утверждений.
Лемма 2. Существуют некоторое множество Sy с Df нулевой емкости и квазинепрерывное отображение ф0: DF\Sy ^ D'F такие, что ф0 совпадает с ф п.в. на Df. Для отображения ф0 справедлива оценка
cap(ф0(Bj)n DF; LlMF)(D))<
< KvCap(Bj; LV,f(D)) для любого шара
Bj rn df
(2)
(3)
2) К-1||/ | Ьр (Б')|| < ||ф* (/)|Ьр (Б)|| < К1/1Ьр (Б')||;
3) (р * : Ьр (Б') ^ Ьр (Б) — изоморфизм.
5. Случай р Ф V. Полное описание измеримых отображений областей групп Карно, индуцирующих в смысле определения 5 изоморфизмы пространств Соболева Ьр прир Ф V, приведено в [6].
Те о р ем а 1 [6, теорема 1]. Пустьр > 1,р Ф V, и Б, Б' — области на группе Карно С (здесь V — хаусдорфова размерность С). Измеримое отображение ф: Б ^ Б' принадлежит классу /Ьр тогда и только тогда, когда ф совпадает п.в. с некоторой
из некоторой счетной системы, составляющей базу открытых множеств и с БР. Здесь Б'р = Б'\ф(Р).
Из [14, предложение 5] получаем
Предложение 2. 1) Отображение ф0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.