ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 2, с. 136-140
УДК 517.95
МАТЕМАТИКА
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА НА ВЕСОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С КРАЕМ
© 2015 г. А. В. Колесников, Э. Мильман Milman)
Представлено академиком РАН И.А. Ибрагимовым 03.12.2014 г. Поступило 06.04.2015 г.
Хорошо известно, что с помощью формулы Бохнера—Лихнеровича—Вайценбека можно получать неравенства типа Пуанкаре на римановых многообразиях с мерой, удовлетворяющих обобщенному условию Бакри—Эмери. Для случая многообразий с краем подходящим обобщением является формула Райлли. Систематически используя формулу Райлли в сочетании с различными комбинациями условий на край многообразия и граничных условий для эллиптических уравнений, мы получаем новые неравенства типа Пуанкаре для многообразий с мерой. Получено обобщение неравенства Колесанти, доказанного ранее в евклидовом пространстве. Из него вытекает обобщение неравенств типа Брунна—Минковского для многообразий. Изучено новое уравнение эволюции поверхностей на римановых многообразиях, дающее в евклидовом случае сложение выпуклых тел по Минковско-му. Наш подход охватывает широкий класс выпуклых мер, в том числе меры с тяжелыми хвостами, соответствующие отрицательной аналитической размерности.
DOI: 10.7868/S0869565215260035
Рассмотрим весовое многообразие (многообразие с мерой) (М, g, ц), т.е. гладкое, полное, компактное, связное, ориентированное многообразие (М, g) с краем дМ, наделенное мерой ц = в-^ Уо1М, где Уо1М — риманов объем, V — дважды дифференцируемая функция. Край дМ предполагается гладким многообразием с внешней нормалью V. Через Ь = А — (V V, V) обозначим соответствующий диффузионный оператор, симметричный относительно относительно ц. Символы V и А обозначают соответствующую связность Леви— Чевиты и оператор Лапласа—Бельтрами. Вторая квадратичная форма дМ обозначается символом II. Величины И& = И(Н) и И = И& — ^К, V) называются средняя и обобщенная кривизна соответственно. Символом V2/ обозначается гессиан функции /, а |^2/1| — его норма Гильберта-Шмидта. Под ц|дМ мы подразумеваем меру с плотностью в—К относительно риманова объема на дМ. Вариацией функции / на множестве О относительно меры ц будем называть величину
Var^f) := J
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва Технион — Израильский институт технологии, Хайфа, Израиль E-mail: sascha77@mail.ru
Хорошо известно [1], что неравенства Соболева, а также различные неравенства изоперимет-рического типа на многообразиях можно получить в предположении ограниченности снизу тензора Риччи и ограниченности сверху топологической размерности. В ситуации многообразий с весом в качестве основной характеристики, определяющей спектральные свойства пространства, выступает ^-мерный тензор Бакри—Эмери
1
RiS> n = Ric, + V2V -
N - n
dV® dV,
где RiCg — тензор Риччи многообразия M. Случай N = n отвечает постоянной функции V. Для случая N = да будем использовать обозначение Ric^, т.е.
Ric^ = Ric^„ = Ric, + V2V
есть классический тензор Бакри—Эмери. В качестве достаточного условия для ряда неравенств весьма часто выступает так называемое CD(p, N)-условие (Curvature-Dimension condition):
Ric^ N ^Р,, ре U.
Как правило, в приложениях CD(p, ^-условия требуется, чтобы параметр N (аналитическая размерность) принадлежал [n, да]. Мы рассматриваем
более общий случай: N е [—да, 0] u [n, да] I эквива
1
лентно — е N
1
n_
, ранее за редкими исключе-
ниями (см., например, [2]) не изучавшийся.
п
п
—да
Простейшим и классическим примером применения СЭ(р, N-условия является теорема Браскампа—Либа [3], согласно которой логарифмически вогнутая мера, т.е. вероятностная мера ц = e-Vdx на К" с выпуклым потенциалом V, удовлетворяет неравенству
Уаг,, / <
/ < | а п2ю-1 у/, у/) йц
м
м
м
| «V)2Ф + | < ПдмУ Удм«) йц
дм
дм
- 2
| <Удм^, Удм«) Ф,
(1)
дм
|/dц ■■
Теорема 2. Предположим, что Шс^, м.
Ми — е ( —да, - . Тогда формула (2) влечет все не-N V и]
равенства ниже для произвольной/ е С1(М):
1. Предположим, что \\дМ > 0. Тогда
N N1- 1
Уаг
/ < |< Шсц1 N^1, У/) йц;
м
2. Предположим, что Н > 0,/= 0 на дМф ф. Тогда N
(где ЬP■V = У2V — стандартная гессианова матрица). Как нетрудно видеть, для стандартной евклидовой метрики g выполнено СЭ(0, п)-условие. Дальнейший прогресс и взаимодействие с идеями и методами римановой геометрии произошли благодаря работам многих исследователей, среди которых особенно отметим работу [4]. В работе [5] получена подробная классификация различных изопериметрических моделей в зависимости от важнейших параметров (кривизна Риччи, размерность, метрический диаметр и т.д.).
Основным инструментом нашего исследования является формула Райлли, обобщающая формулу Бохнера—Лихнеровича—Вайценбека и полученная впервые в [6] для многообразий с краем (т.е. постоянного V). В нашей работе используется следующая версия этой формулы для весовых многообразий (она является модификацией теоремы, полученной в работе [7]).
Теорема 1. Предположим, что и — дважды непрерывно дифференцируемая функция на М, причем и|дМ, щ\дМнепрерывно дифференцируемы на М. Тогда
|( Ьи)2йц = || |У2 'и|| йц + | < Шси У и, У и) йц +
N -
— /йц< |<Я1с;1 NУ/,У/)йц;
мм 3. Предположим, что Н^ > 0. Тогда N
Уаги (/) < N - 1
< |< ШСи 1 NУ/, У/) Ф + Уаг и/^СЛ дм).
м
Доказательство. Проиллюстрируем доказательство на примере пункта 3. Докажем сперва неравенство
||у2 и2 + < Шси У и, У и) >
> N(Ьи)2 + < ШСи, N У и, У и).
(2)
Согласно определениям, неравенство (2) эквивалентно следующему:
||у242 + ТГ- <У и, У V)2 > -(Ьи)2.
N - и
N
1
где УдМ — связность Леви-Чевита, индуцированная метрикой g на дМ.
Немедленным приложением этой формулы являются различные формы неравенств типа Пу-анкаре/Браскампа—Либа, вытекающие из применения (1) к решению уравнения Ьи = /, где / — гладкая функция, удовлетворяющая условию
, = 0. Доказательства всех пунктов следующей
теоремы являются модификацией классической стратегии, состоящей в поиске решения уравнения Ьи = /, и отличаются подбором краевых условий (Неймана или Дирихле).
- > 0 на
В силу очевидного неравенства ||У2и||2 > - (Ди)2
и
для случаев N = да и N = п (отвечает постоянной функции V) неравенство (2) выполнено. Остается доказать
1 (Ди)2 + -1-<Уи,У^2 > 1(Ьи)) и N - и N
для остальных значений N. Для этого надо воспользоваться неравенством
-А2 + 1 Б2 > —— (А + Б)2 УА, В е К, а р а + р
которое выполнено для значений (а, р) из множеств {а, р > 0} или {а + р < 0 и ар < 0}.
Предположим, что |/dц = 0, и решим проблем
му Пуассона с условием Дирихле
Ьи = / на м, и = 0 на дм. Из (1) и (2) получаем N - 1
N
|/2 ф > | < Шс и, и, У и) ф + | Иии1йц.
м
м
дм
Интегрируя по частям, получаем, что для любого X > 0
+
Jf2dy = JfLudy = - J(Vf, Vu)dy + Jfuvdy
M M M dM
< 22X J ( nV/,V/) dy +
<
M
X
J(Ric^NVu, Vu)dy + Jfuvdy.
M
SM
1 - -
2 N
Jf2dy < 2X J( Ric,1 nV/, Vf) dy
+
+
M
X
J (f- C>vd|a - 2 JHuVd|i<
SM
SM
2X J(ris1 nV/, Vf)dy + ^ JH f- C)2dy.
N -
J
SM
H f2 dy - ^J^
N y(M)
J ( II-MVdMÂVgMf) d|.
(3)
S M
Теорема 3 была получена А. Колесанти в [10] для N = n, компактного подмножества M евкли-
дова пространства К" с мерой Лебега (V = 0) и С^-гладкой выпуклой границей. Колесанти получил неравенство как инфинитезимальную версию неравенства Брунна—Минковского. Мы получим общий результат, опираясь на формулу (1).
Доказательство. Применим неравенство Коши—Буняковского к последнему слагаемому в формуле (1):
2(Vдми„ Vдми) < (IIgмVgмW, Vши) +
Поскольку | иу dц = |/ dц = 0, последнее сла-
дм м
гаемое может быть заменено на | (/ — С)ы^ц, где
дм
С — произвольная константа. Подставим в это выражение предыдущую оценку:
X N - Г
+ ( ii-Mv
SMV dMuv, V3Muv).
Мы получим следующее неравенство для произвольной функции и, удовлетворяющей условиям теоремы 1:
J(Lu)2dy> J(||V2u||2 + (Ric^Vu, Vu))dy +
M
M
J H(uv)2d| - J ( IIsMV S Muv, Vd Muv) d|.
dM
dM
Из (2) вытекает N - 1
N
J(Lu)2dy > J H(uv)2dy-
<
M dM
Умножая на 2X и используя оптимальные значения X = .N - , C = J-f- dy, завершаем доказательство.
M
J(
dM
S M
IISMVSMuv, VSM'
uv) dy.
Теорема 2 включает в себя несколько классических результатов, таких как неравенства Брас-кампа—Либа, Лихнеровича. Случай отрицательных N применим к распределениям с тяжелыми хвостами, например, к мерам Коши (см. [8, 9]). Авторам неизвестен какой-либо аналог результата пункта 3.
Дальнейшими приложениями формулы (1) являются неравенства на М.
Тео р ема 3. Предположим, что (М, g, ц) удовлетворяет условию СЭ(0, Щ, где 1 е ( —да, 1 и
N V и_
11ЭМ > 0. Тогда следующее неравенство выполнено для/ е Сх(дМ):
, 2
Для функции/ е С1, а(дМ) решим уравнение с граничным условием типа Неймана:
Ьи = —1— [Ыц на М, и., = / на дМ. ц(М) Г Н "
дМ
Решение существует, так как соблюдено условие | иу dц = |( Lы)dц. Подставив выражение для Ьы
дМ М
в предыдущее неравенство, получаем искомый результат для/ е С1, а(дМ). Для более общих функций доказательство завершается с помощью стандартных приближений гладкими функциями.
В качестве естественного приложения теоремы 3 могут выступать неравенства Пуанкаре для многообразий с мерой (в том числе обобщения и уточнения результатов работы [11]). Другая интересная задача вытекает из следующего наблюдения Колесанти: теорема 3 в евклидовом пространстве эквивалентна неравенству Брунна— Минковского. Возникает естественный вопрос: может ли теорема 3 в случае многообразия с мерой использоваться для доказательства неравенств типа Брунна—Минковского? Следующая теорема обобщает классическое "второе неравенство Минковского", одно из неравенств Александрова—Фенхеля на случай многообразий с мерой.
+
Для подмножества K с M с гладкой границей положим
WN(K) := K), W
N - 1
( k) := Nj *
dK
Wn- 2(K) :=
1
N( N - 1 )
| .
dK
Каждая величина WN-! есть не что иное, как 1-я вариация функции ц(К), где К = {х е М: ё^х, К) < ,}.
Теорема 4. Пусть К — подмножество (М, ^ ц) с С 2-гладкой границей, отстоящей на положительном расстоянии от дМ. Пусть (К, ^\К, ц|К) удовле-
1"
творяет СЭ(0, Щ-условию [ 1/N е V —да,
11дК> 0 (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.