ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 5, с. 34-43
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ^^^^^^^^ СИСТЕМАХ
УДК 519.95
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В МЕТОДЕ ЭЛЛИПСОВ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ
СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2013 г. Е. В. Очеретнюк, В. И. Слынько
Украина, Киев, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУкраины Поступила в редакцию 23.07.12 г., после доработки 23.05.13 г.
Рассматривается линейная непрерывная нестационарная система с управлением. Исследуется задача о построении внешней оценки множества достижимости. Построение проводится методом эллипсоидов на основе нового локального критерия оптимальности.
Б01: 10.7868/80002338813050090
Введение. Метод эллипсоидов в теории оценивания фазового состояния динамических систем [1] является эффективным методом решения многих задач в теории управления механических систем. Общая теория метода эллипсоидов и ее многочисленные приложения приведены в монографии [1] и получили развитие в [2]. Методы оценивания фазового состояния динамических систем при помощи других классов канонических областей, отличных от эллипсоидов, развиты в [3].
В основе метода эллипсоидов лежит задача о построении эллипсоида наименьшего (наибольшего) объема, который содержит множество (или содержится во множестве), являющееся суммой Минковского двух эллипсоидов. Однако следует отметить, что форма искомого эллипсоида, удовлетворяющего такому критерию, может сильно отличаться от формы суммы Минковского, поскольку множества, имеющие одинаковые объемы, могут сильно отличаться по форме. Понятиям "формы выпуклого тела" и "близости форм выпуклых тел" можно придать совершенно строгое математическое значение, используя, например, понятие метрики Банаха—Мазура. Можно также поступить иначе, использовав понятие изопериметрической разности Минков-ского для двух выпуклых тел.
Напомним это понятие. Обозначим через ЖС(КИ) метрическое пространство выпуклых компактов пространства К" с метрикой Хаусдорфа. Пусть А е ЖС(КИ) и В е ЖС(КИ) — собственные выпуклые тела, тогда изопериметрическая разность Минковского определяется формулой [4]
Д(А, В) = VI (А, В) - V"-1(А) ¥( В),
где У(А), У(В) — объемы выпуклых тел А и В, У1(А, В) — смешанный объем выпуклых тел А и В. Изопериметрическая разность Минковского обладает следующими свойствами [4, 5]:
1) Д(А, В) > 0 и Д(А, В) = 0 тогда и только тогда, когда А = «В, где параметр s = "/V(А)/V(В) (теорема Брунна—Минковского);
2) если А и В — собственные выпуклые компакты, то для любого б > 0 существует число 5(б) > 0
такое, что из неравенства Д(А, В) < 5 следует неравенство 5Н(А, «В) < б, где s = VV(А)/ V(В), 5Н(А, В) — метрика на фактор-пространстве ЖС(КИ)/КИ определяется формулой 5Н(А, В) = тГ Бн(А, В + х),
х е К"
Бн — расстояние Хаусдорфа.
Таким образом, малость изопериметрической разности означает, что компакт А мало отличается от некоторого компакта, подобного компакту В (с точностью до трансляции). Поэтому естественно считать, что изопериметрическая разность Д(А, В) измеряет отклонение формы компакта А от компакта В.
Цель настоящей работы — развитие метода эллипсоидов на основе нового локального критерия оптимальности, который базируется на изопериметрической разности Минковского для
двух тел. Идея использования изопериметрической разности Минковского для исследования динамики областей достижимости некоторых классов динамических систем высказана в [6]. Ограничимся рассмотрением задачи о построении внешних оценок в частном случае системы второго порядка. При этом полностью следуем методам, развитым Ф.Л. Черноусько [1]. Пусть а е К", 0 е К" х ", 0х = Q и 0 > 0, тогда множество
Е(а, О) = {х е К" : (О ^х - а), х - а) < 1} е Жс(К")
является эллипсоидом в К". Здесь (., .) обозначает стандартное скалярное произведение в К". 1. Постановка задачи. Рассмотрим линейную непрерывную управляемую систему
= с (о X (о + К( о и (0 + /(0 (1.1)
с векторным ограничением
и е Е(0, 0(0). (1.2)
Здесь х(?) е К" — фазовый вектор системы, и(1) е К™ — вектор управляющих функций,/(?) — заданная "-мерная вектор-функция времени, с(?) е С([?0, Т]; К" х"), Щ) е С([?0, Т]; К"х ™), 0(?) е е С([?0, Т]; К" х ") — матрицы указанных порядков. Матрица 0(1) является симметричной и неотрицательно-определенной.
Начальные условия для системы (1.1) и (1.2) зададим в виде
х (?0) е Е( а о, О,), (1.3)
где а0 е К", 00 е К" х ", = 00, 00 > 0. Для множества достижимости системы (1.1), (1.2) при начальных условиях (1.3) введем обозначение ?0, Е(а0, 00)). Рассмотрим задачу о построении внешней оценки множества достижимости ?0, Е(а0, 00)), обладающей свойством супердостижимости [1, с. 79]. Напомним, что семейство множеств Э+(?), ? е [?0, Т] называют множеством супердостижимости для системы (1.1), (1.2) с начальными условиями (1.3), если при всех т е [?0, Т] справедливы включения
(Э(г, т, э+(т)) и начальные условия
(?о ) = Е( а о, Оо).
Таким образом, требуется построить внешние эллипсоидальные оценки множества достижимости ?0, Е(а0, 00)), т.е.
%(V, в, Е(а,, Оо))с Е(а+((), О+(0);
здесь а+(?), — искомые "-мерные вектор и симметричная положительно-определенная матрица размерности " х ". Введем вектор v(t) е К"
V = К(0 и + /(0. (1.4)
Если и е Е(0, 0(?)), то V е Е(Д0, £(?)), где В(?) = К(?)0(?)^(?). Очевидно, что В(?) е К"х" - симметричная положительно-определенная матрица. С учетом обозначения (1.4) система (1.1), (1.2) перепишется в эквивалентном виде
а-Х = С(0х + V, V е Е(/(0, В(0). (1.5)
<И
Отметим, что при построении внешних эллипсоидальных оценок множества достижимости ?0, Е(а0, 00)), обладающего свойством супердостижимости, можно пользоваться различными критериями локальной оптимальности [1]. Далее будет предложен новый критерий локальной оптимальности на основе понятия изопериметрической разности Минковского.
2. Вспомогательные результаты. Для вывода дифференциальных уравнений эволюции эллипсов рассмотрим следующую вспомогательную задачу.
Задача А. Необходимо определить эллипс Е(а+, 0+), где а+ е К2, 0+ е К2 х 2, 0+ — симметричная положительно-определенная матрица, такая, что выполняются условия:
1) Е(а+, 0+) 3 Е(а1, &) + Е(а2,
2) Б(Е(а+, 0+), Е(аь 01) + Е(а2, 62)) ^ ™п .
Е( а+, 0+)
Здесь Д(А, В) — изопериметрическая разность Минковского двух множеств А, В е ЖС(К2).
С учетом ее свойств, приведенных во Введении, условие 2) в формулировке задачи А означает, что аппроксимирующий эллипс Е(а+, 0+) должен быть по форме максимально близок к сумме Минковского Е(а1, 01) + Е(а2, 02). Учет свойств этой разности и некоторых результатов монографии [1, с. 87] позволяет несколько упростить задачу А.
А именно в силу свойства Д(А + х, В + у) = Д(А, В) при всех х, у е К2 в формулировке задачи А эллипсы Е(а+, 0+), Е(а1, 01), Е(а2, 02) можно заменить на эллипсы Е(0, 0+), Е(0, 01)) Е(0, 02), дополнив условием а+ = а1 + а2. Поскольку далее рассматривается непрерывная динамическая система, то эллипс Е(0, 02) можно считать бесконечно малым, положив 02 = б20.
Наконец отметим, что любой эллипс с матрицей 0+ из однопараметрического семейства
0+ = (1 + Р) 01 + (1 + р-) 02, 0 < Р < (2.1)
удовлетворяет условию 1) задачи А [1, с. 92]. При этом внешний эллипс, полученный по локальному критерию оптимальности объема [1, с. 91], также принадлежит семейству (2.1). Поэтому, с целью упрощения задачи А, в условии 2) будем рассматривать эллипсы, принадлежащие однопа-раметрическому семейству (2.1). Подводя итоги, сформулируем следующую вспомогательную задачу.
З а д а ч а Б. Среди эллипсов, принадлежащих однопараметрическому семейству эллипсов (2.1), необходимо определить эллипс Е(0, 0+), который удовлетворяет следующее условие
Д4(Е(0, 0+), Е(0, 01) + бЕ(0, 0)) ^ ш1п .
Е(0, 0+)
Здесь Д4 — отрезок ряда разложения изопериметрической разности Минковского по степеням малого параметра б, такой, что
|Д4(Е(0, 0+), Е(0, 01) + 6Е(0, 0)) - Д(Е(0, 0+), Е(0, 0х) + еЕ(0, 0))\ = о(64).
Перейдем к решению задачи Б. В силу аффинной инвариантности изопериметрической разности Минковского, не уменьшая общности, можно считать 01 = I, 0 = q2}. Введем обозначения: 0+ = Е(0, 0+); 01 = Е(0, 01), 02 = Е(0, 02), О = 01 + 02. Напомним также, что эта разность для двух плоских выпуклых компактов А и В выражается формулой
Д(А, В) = $ (А, В) - $(А) $( В),
где Б(А) и 5(В) — их площади, Б(А, В) — их смешанная площадь Минковского. Формулы для функционалов Б(А) и Б(А, В) имеют вид [7]
2 п
$(А) = 1/2 |(Н2а(Ф) - (АА(Ф))2)dф,
0
2п
$(А, В) = 1/2 |(На(Ф)Ав(ф) - НА(ф)НВ(ф))dф.
0
Здесь АА(ф) — опорная функция плоского компакта А, приведенная к угловой переменной ф. Если ввести дополнительное обозначение к = q1cos2ф + q2sin2ф, то опорные функции множеств О и 0+ запишутся как
Ап(ф) = 1 + sVK,
hn+(9) = Jl+p (1 + (к/p )s2 )1/2. Площадь эллипса Q+ вычисляется по формуле
S(Q+) = + s2 qi )(p + s2q2) = n( 1 + p)(1 + (Z /p )s2 + ( qi q2 /p2 )s4 )1/2,
p
где Z = + q2.
Применяя разложение в ряд Тейлора J\ + х = 1 + x/2 + x2/8 + ..., получим S(Q+) = п( 1 + p)(1 + (Z/p)s2 - ((qx - q2)2/8p2)s4 + о(s4)).
Для вычисления площади множества Q. используем формулу Минковского [7] S(Q) = S(Q1 + Q2) = п + ls + nj q1 q2 s2, l — длина эллипса Е(0, Q):
2 п
l = ^VKi/ф.
0
Производные опорных функций выпуклых множеств Q. и Q+ имеют вид
_ /-71+
hn(9) = sr/Л, h'n+(Ф) = r^ + Р(V - 2Kp+ о(s4)
p v 2p
Рассмотрим вопрос о вычислении смешанной площади Минковского S(Q, Q+)
2S(Q, Q+) =
2я + ls + (nZ/2p)s2 + (G0/p)s3 - I |k2/8p2dy
2п
/ 4\
+ о(s ),
где
G0 =
2п 2 4 2 2 2 2 2 4
rq1cos ф + 2(3q1 q2 - q1 - q2)cos фsin ф + q2sin ф
J 2~"K dф.
2а/к
0
Тогда для этой площади получим выражение 5(О+, О) = S + о(б4), У = УГ+р[я + //26 + (п£/4р)б2 + (G0/2p)б3 - (п(2+ 3(q1 + q22))/64p2)б4]. Рассмотрим выражение для изопериметрической разности Д(О, О+) = У2 - (п + 1б + ^7qгq¡б2)п( 1 + p)(1 + (С/2p)б2 - ((q1 - q2)2/8р2)б4) + + о(64 ) = ¡(р) + о (б4). Функция /(р) имеет следующий вид:
¡(р) = (г + p)[(l2/4 - п2^) + (п х/4p )б + ((lGo / 2р) + + (3п2(ql - q2)2/32р2) - (к^^ОлЧг/2р))б2], X = ^ - 4G0.
Необходимое условие минимума функции/(р) состоит в том
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.