научный журнал по механике Известия Российской академии наук. Механика твердого тела ISSN: 0572-3299

ЗАДОРОЖНИЙ В.Г., КОВАЛЕВ А.В., СПОРЫХИН А.Н. — 2008 г.

Приближенному решению методом малого параметра упругопластиче-ских задач теории идеальной пластичности посвящены монографии [1-3], а упрочняющихся упруговязкопластических задач монография [4], в которых достаточно полно отражена библиография исследований в этом направлении. Определению условий непрерывной зависимости характеристик напряженно-деформированного состояния от граничных условий и неоднородности материала с использованием теоремы о неявных функциях посвящены работы [5,6]. В данной работе в рамках метода возмущений определено напряженное состояние в цилиндрической трубе, подверженной действию внешнего и внутреннего давлений с границами, близкими к круговым. На основе теоремы о неявных функциях рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения задачи. Показано, что ее решение может быть получено для случая любой аналитической формы границы и любого числа физико-механических характеристик материала, зависящих от конечного числа малых параметров. Результаты допускают обобщение на более сложные модели сред. Дано сравнение полученных результатов с известными.

МИРОНОВ В.В., МИХАЙЛОВСКИЙ Е.И. — 2008 г.

На примере контактной задачи со свободной границей для системы "тяжелая цилиндрическая оболочка - надопорное кольцо жесткости" исследуется влияние учета поперечных сдвигов на напряженное состояние в оболочке. Для получения уравнений равновесия оболочки и кольца жесткости применяется разработанный одним из авторов экспресс-алгоритм учета трансвер-сальных деформаций в кирхгофовских вариантах теории оболочек. Контактная задача со свободной границей решается предложенным ранее методом обобщенной реакции. На численных примерах показано, что поправки, вносимые в напряженное состояние за счет учета поперечных сдвигов, на порядок выше традиционной оценки погрешности гипотез Кирхгофа.

НИКИТИН Л.В., РЫЖАК Е.И. — 2008 г.

Изучается задача об устойчивости состояния равновесия сжатого однородного нелинейно-упругого тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда (блока). На всех гранях блока, за исключением одной, принимаются условия свободного проскальзывания вдоль плоскостей граней (с возможностью отрыва). На оставшейся грани задана равномерно распределенная по поверхности нормальная прижимающая "мертвая" нагрузка. Получены строгие оценки сверху и снизу для критических значений сжимающих напряжений, совпадающие по порядку величины с характерными упругими модулями материала в исследуемом равновесном состоянии; эти оценки не зависят от соотношения размеров блока во всем диапазоне возможного изменения последних. Результат косвенно указывает на тот факт, что первичная неустойчивость в рассматриваемой задаче при любом соотношении размеров блока носит поверхностный характер (локализована вблизи кинематически свободной грани с заданной нагрузкой) и характеризуется отсутствием отрыва от основания даже для сколь угодно тонкой пластины. Отсюда же следует, что "балочное приближение" (попытки применения которого к аналогичным задачам представлены в литературе) здесь принципиально непригодно для исследования устойчивости. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (05-05-64146).

АЛЕКСАНДРОВ В.М., ЗАРУБОВ Д.И. — 2008 г.

Исследована в плоской (плоская деформация) и осесимметричной постановках задача об устойчивости бесконечной упругой плиты под действием продольных сжимающих усилий, находящейся в двухстороннем контакте с упругим двухслойным полупространством. Верхний слой конечной глубины описывается обычными уравнениями линейной теории упругости, нижний геометрически нелинейный несжимаемый и бесконечный по глубине слой преднапряжен силами тяжести. Между слоем конечной глубины и нижним полупространством осуществлено полное сцепление. Предполагается, что такое же сцепление имеет место между верхним слоем полупространства и плитой при учете контактных касательных усилий. Результаты могут найти применение при расчете работоспособности тел с покрытиями, слоистых композитов, в вопросах геофизики. Ранее задача об устойчивости бесконечной упругой плиты при продольном сжатии, находящейся в условиях двухстороннего контакта с упругим основанием, рассматривалась в монографии [1] (основание Фусса-Винклера) и работах [2-4].

ХОЛОСТОВА О.В. — 2008 г.

Рассматриваются движения твердого тела (спутника) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Известно частное движение спутника, когда одна из его главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости орбиты, а сам спутник совершает вокруг этой оси плоские маятникообразные колебания. В предположении, что главные центральные моменты инерции А, В, С спутника удовлетворяют соотношению В = А+ С, отвечающему тонкой пластинке, проводится строгий нелинейный анализ орбитальной устойчивости этого движения. В плоскости параметров задачи - амплитуды колебаний е и инерционного параметра - существует счетное множество областей орбитальной устойчивости колебаний спутника в линейном приближении. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости проводится в тринадцати таких областях. Осуществляется изоэнергетическая редукция системы уравнений возмущенного движения на уровне энергии, соответствующем невозмущенному периодическому движению. Далее при помощи алгоритма, разработанного в [1], строится симплектическое отображение, порождаемое уравнениями редуцированной системы, проводится его нормализация и анализ устойчивости. Рассмотрены резонансный и нерезонансный случаи. При малых значениях амплитуды колебаний исследование проводится аналитически, при произвольных значениях е применяется численный анализ. Ранее нелинейный анализ устойчивости плоских маятникообразных движений спутника на круговой орбите в ряде частных случаев проведен в [ 1-4].

УСТИНОВ К.Б. — 2008 г.

Исследовано влияние граничных условий балочной модели кантилевера атомно-силового микроскопа (АСМ) на результаты вычислений. Показано, что влияние упругости контакта (обычно рассматриваемого как жесткого) кантилевера с массивной частью в ряде случаев может быть весьма существенным.

ДЕМОЧКИН Н.И., МОРГАЧЕВ К.С., ФРИДМАН Л.И. — 2008 г.

Сравнением частотного спектра стержней и пластин с учетом инерции вращения и деформаций сдвига (модель Тимошенко) с результатами вычислений на основе решения стационарной динамической задачи теории упругости для канонических тел в прямоугольных и цилиндрических координатах определены границы области достоверности модели Тимошенко: получены значения допустимых в рамках принятых уточненных кинематических гипотез минимальных гибкостей для стержней кольцевого и квадратного сечений и максимальных относительных толщин для кольцевых и квадратных в плане пластин. Приводятся основные зависимости для решения задач о собственных частотах и формах для указанных выше стержней и пластин (модель Тимошенко), а также краткое описание решения аналогичных задач методами теории упругости.

КОМКОВ К.Ф. — 2008 г.

Многие материалы являются поликристаллическими средами или отвердевшими механическими смесями сложной структуры. При малых упругих деформациях они ведут себя как изотропные. Однако при напряжениях выше предела упругости эти материалы проявляют эффекты, связанные с деформационной анизотропией. Количественная оценка этого явления еще не получила завершения. В публикуемой работе нелинейные уравнения В.В. Новожилова без каких-либо допущений приведены к виду, характерному для определяющих уравнений ортотропной среды. Получены выражения для обобщенных характеристик нелинейной упругости путем выбора конкретного выражения для потенциала деформаций. Дан вывод рабочих формул для вычисления коэффициентов упругости в главных направлениях, всех коэффициентов поперечных деформаций и модулей сдвига в главных плоскостях упругой симметрии. Описана методика их определения по результатам испытаний на растяжение и сжатие. Дан анализ некоторых результатов испытаний, опубликованных по данной теме. Показано, что эффект, связанный с аномальным поведением коэффициента поперечной деформации, выявленный как при сжатии, так и при растяжении, вполне объясним, если учитывать тот факт, что пластическое деформирование сопровождается деформационной анизотропией.

БЕЛЯКОВ А.О., СЕЙРАНЯН А.П. — 2008 г.

Для обеспечения маневренных характеристик самолетов и быстроходных морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически определить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача измерения моментов инерции массивных крупногабаритных тел. С этой целью в ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского на основе нового метода определения моментов инерции тела по колебаниям в упругом подвесе был спроектирован измерительный стенд [1]. В связи с этим возникла необходимость разработки соответствующих математических алгоритмов определения моментов инерции. Настоящая работа посвящена созданию математических алгоритмов определения моментов инерции тела, использующих методы идентификации линейных систем в пространстве состояний [2-5]. Представлены три варианта решения задачи определения моментов инерции тела в зависимости от сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда. Изучено влияние демпфирования на точность определения моментов инерции. Приведены результаты расчетов конкретной системы.

БОРОДАЧЕВ Н.М., ТАРИКОВ Г.П. — 2008 г.

Рассматривается пространственная контактная задача для двух упругих тел с учетом тепловыделения. Получены формулы для определения напряжений на глубине (под площадкой контакта). На основании этих формул изучается распределение наибольших расчетных напряжений по третьей теории прочности. Рассмотрен пример, когда площадкой контакта является эллипс.

БУТЕНКО Ю.И. — 2008 г.

Предлагается точное решение задачи погранслоя (убывающего от края напряженно-деформированного состояния) для трехслойных полос (стержней) из различных материалов слоев. Методом асимптотического интегрирования получены собственные пограничные функции и характеристическое уравнение для определения параметра, описывающего скорость затухания погранслоя. Выясняется влияние материала среднего слоя на зону распространения погранслоя.

ХОХЛОВ А.В. — 2008 г.

В статье предложено и изучено нелинейное определяющее соотношение для описания одномерных изотермических реологических процессов с монотонной историей нагружения в вязкоупругопластичных материалах. Оно выражает деформацию в любой момент времени через историю изменения напряжения и его производной с помощью двух интегральных операторов, содержит две материальные функции одного вещественного аргумента и десять материальных параметров, определяемых по результатам испытаний материала на ползучесть, длительную прочность и деформирование с постоянной скоростью нагружения. При минимальных априорных ограничениях на материальные параметры модели выведены уравнения кривых деформирования, ползучести, релаксации и длительной прочности, аналитически исследованы зависимости их свойств от параметров и найдены необходимые ограничения на материальные параметры и функции, обеспечивающие адекватное описание механического поведения материалов (типичных качественных свойств экспериментальных кривых деформирования, ползучести, релаксации, длительной прочности). Для моделирования длительной прочности при ползучести предложены два параметрических семейства критериев разрушения при монотонном одноосном деформировании, родственных деформационному критерию, но учитывающих историю нарастания деформации посредством специальных интегральных операторов, связывающих ее с мерой поврежденности. Доказано, что построенное определяющее соотношение в сочетании с предложенными критериями разрушения приводит к теоретическим кривым длительной прочности, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные кривые большинства материалов. Таким образом, анализ свойств предложенного определяющего соотношения показал, что оно позволяет адекватно моделировать не только отдельные эффекты реологического поведения вязкоупругопластичных материалов, но и целый их комплекс: зависимость деформации от напряжения и скорости его изменения, релаксацию, ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность и затухание памяти материала.

БЫКОВ Д.Л., ПЕЛЕШКО В.А. — 2008 г.

В классе процессов осевого растяжения конкретизируется предложенное ранее соотношение между девиаторами истинных напряжений и логарифмических деформаций, которое имеет вид обобщенной вязкоупругой модели Максвелла и содержит функционалы внутреннего времени и старения. Локальную дефектность наполненного полимерного материала предлагается характеризовать двумя скалярными величинами, имеющими смысл относительной площади внутренних отслоений (параметр поврежденности) и исчерпания нормированной деформационной способности (критериальный параметр, определяющий момент разрушения). Эти параметры описываются кинетическими уравнениями и не убывают в ходе нагружения, возрастая только тогда, когда параметр активности процесса (отношение текущего и максимального достигнутого значений интенсивности деформаций) равен единице. Правые части кинетических уравнений для внутреннего времени и параметра разрушения зависят от интенсивности скоростей деформаций. Изменение мгновенной жесткости материала (старение) описывается произведением функций текущих значений параметров поврежденности и активности процесса. Объемная деформация считается квазиупругой: она пропорциональна интенсивности приведенных (с учетом старения) напряжений и разности между поврежденностью и ее пороговым значением, ниже которого дилатация отсутствует. Для учета гидростатического давления и температуры в правые части уравнений модели введены по два множителя, зависящих соответственно от параметра вида напряженного состояния (отношения первого и второго инвариантов тензора напряжений) и от температуры. Предложено обобщение модели на случай изменения фазового состояния связующего (охрупчивания при низких температурах). Дана инкрементальная форма определяющих соотношений, которая используется при их численном интегрировании. Детально описана процедура идентификации модели (после стандартного определения ядра релаксации) по результатам следующих базовых одноосных опытов: при постоянных значениях гидростатического давления, температуры и скорости деформации растяжения (по 2-3 уровня указанных параметров из их предполагаемых в приложениях диапазонов, каждое нагружение до разрушения), а также при полной разгрузке (1 опыт). На примере экспериментальных данных (для трех высоконаполненных резин), опубликованных в работах Озупек, Шепери, Джанга (в совокупности более 50 программ нагружения, в том числе циклического и неизотермического типа), проведены идентификация и верификация предложенных определяющих соотношений. Показано, что в рассматриваемом классе процессов расчетные величины (изменения осевого напряжения и объемной деформации во времени, момент разрушения) находятся в пределах, характерных для со ответствующих экспериментальных разбросов механических свойств исследуемых материалов.

СТАРИКОВ А.Ф. — 2008 г.

В настоящее время все чаще возникает необходимость исследования сложных модульных систем с дискретным взаимодействием модулей. Если система содержит распределенный модуль, то ее называют комбинированной. Одним из способов исследования таких систем является изучение их частотных моделей, при этом в ряде случаев решение требует вычисления функций Грина распределенного модуля и исследования блочных структур, порождаемых моделью системы с суперэлементами. Методика исследования таких систем была разработана в [1] и носит название метода фактори-зованных возмущений (МФВ), и в зарубежных работах названа методом функций Грина, см., например [2]. Основная идея таких методов заключается в построении эквивалентной системы в характеристическом пространстве, возникающем в дискретной макроструктуре исходной системы в результате дискретного взаимодействия модулей последней, с последующей редукцией характеристического решения к исходному посредством несложного передаточного соотношения. Особенностью структурных методов является их алгоритмическая универсальность вне зависимости от конкретного вида дискретной микроструктуры и требует решения характеристического матричного уравнения. Для приближенного решения этими методами требуется приближенное вычисление функций Грина распределенных модулей с указанием их рабочих диапазонов частот, см. [3,4]. Концепцией структурных методов является получение системного решения с использованием априорно изученных элементов. Многообразие методов исследования комбинированных модульных систем для многих способов приближенного решения требует алгоритмической оценки точности последнего, что в настоящее время производится на уровне практически-эмпирических соображений, таких как удвоение числа точек расчета распределенного модуля или учет дополнительных форм колебаний в функциях Грина и т.п. В настоящей работе представлено описание одного структурного метода решения упругих одномерных распределенных систем с дискретным взаимодействием, эффективная скалярная априорная, а также универсальная апостериорная оценки точности приближенного решения, пригодные для многих способов получения последнего, например МКЭ [5].

АКУЛЕНКО Л.Д., НЕСТЕРОВ С.В. — 2008 г.

Исследуются параметрические колебания линейных систем с одной степенью свободы при больших величинах коэффициента модуляции. С помощью классических аналитических методов возмущений Ляпунова-Пуанкаре и оригинального численно-аналитического метода ускоренной сходимости построены периодические решения и соответствующие собственные значения. Определены границы областей устойчивости и неустойчивости. Для большей наглядности основные свойства параметрических колебаний систем с сингулярным характером зависимости возмущения от коэффициента модуляции изложены на конкретных моделях. Рассмотрены периодические краевые задачи для модифицированного уравнения Матье и уравнения Кочина, моделирующего крутильные колебания упругих коленчатых валов. Установлены кардинальные различия слабо и существенно возмущенных периодических движений как для низших, так и произвольных мод колебаний. Описаны необычные свойства границ в области определяющих параметров системы.

ЗЕМЛЯНОВА А.Ю., СИЛЬВЕСТРОВ В.В. — 2008 г.

Рассматривается усиление бесконечной упругой пластины с круговым вырезом посредством эксцентрической круглой накладки большего размера, полностью покрывающей вырез и присоединенной к пластине жестко вдоль всей своей границы. Предполагается, что пластина и накладка находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии, порожденном действием заданных нагрузок, приложенных к пластине на бесконечности и к границе выреза. Методом степенных рядов в сочетании с методом конформных отображений находятся комплексные потенциалы Мусхелишвили. Исследуется напряженное состояние на границе выреза и на линии соединения. Приводятся примеры, изучается зависимость напряжений от геометрических и упругих параметров, дается сравнение со случаем пластины с круговым вырезом при отсутствии накладки. В научной литературе рассматривались различные способы усиления пластины с вырезами, в частности, и круговыми. В монографиях [1,2] решается задача о подкреплении края отверстия ребрами жесткости. В работах [3, 4] изучаются способы усиления круглого отверстия при помощи двумерных накладок, приклеенных к пластине по всей своей поверхности. Случай пластины с круговым вырезом, усиленной концентрической круглой накладкой, присоединенной к пластине вдоль своей границы или вдоль иной окружности, изучается в работах [5,6]. Подкрепление эллиптического выреза конфокальной эллиптической накладкой рассматривается в работе [7].

РОМАНОВ К.И. — 2008 г.

Определено критическое время в задаче выпучивания вращающейся вокруг оси, соответствующей недеформированному состоянию, балки. Установлена аналогия поперечного изгиба вращающейся балки с задачей продольного изгиба [1], актуальной в прикладной геомеханике

МОВЧАН А.А., СИЛЬЧЕНКО Л.Г. — 2008 г.

Распространенный подход к определению собственных значений одномерной краевой задачи состоит в записи решения дифференциального уравнения в общем виде, содержащем неопределенные коэффициенты, и построении системы однородных линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять эти коэффициенты, на основе выражений для краевых условий. Собственное значение определяется из условия равенства нулю определителя построенной системы. В классических задачах (колебания струны, стержня и т.п.) данный прием, как правило, не вызывает затруднений, хотя, например, в работе [1, с. 220] рассмотрены и исследованы примеры, в которых нулевое значение частоты, удовлетворяющее построенному характеристическому уравнению, не является собственной частотой. Покажем, что подобная ситуация в случаях более сложных, чем классические, может привести к парадоксальным выводам и ошибочным результатам.

ГОЛЬДШТЕЙН Р.В., КОЗИНЦЕВ В.М., ПОДЛЕСНЫХ А.В., ПОПОВ А.Л., ЧЕЛЮБЕЕВ Д.А. — 2008 г.

Развитие наномеханики и нанотехнологий предполагает создание адекватных измерительных средств перемещений наномасштабного диапазона. В статье предложено использование для этой цели метода и аппаратных средств электронной спекл-интерферометрии, имеющих ряд преимуществ перед другими известными средствами измерения. Изложена идея, на основании которой метод электронной спекл-интерферометрии, изначально рассчитанный на применение для измерения перемещений в субмикронном диапазоне, может быть использован и для измерений в сотни раз меньших перемещений - порядка 1 нанометра. Рассмотрено теоретическое обоснование этой идеи, программный алгоритм ее реализации, описана методика, тестовые образцы и результаты экспериментальной метрологической проверки возможности измерений перемещений наномасштабного диапазона на существующей модели электронного спекл-интерферометра. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-12022-офи) и Госконтракта 2007-3-1.3-07-01.

ПРОМЫСЛОВА А.С. — 2008 г.

В работе рассмотрены продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концентраторов) конического, экспоненциального и катеноидального типов. Получены аналитические выражения коэффициентов усиления концентраторов в случаях задания граничных условий первого и второго рода. Численно рассмотрены различные профили и проведено сравнение коэффициентов усиления в зависимости от типа граничных условий и от номера собственного числа. Замечено, что с увеличением номера собственного числа кривые для коэффициентов усиления как первого, так и второго рода стремятся к предельным кривым.