научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

О научном журнале«Прикладная математика и механика»

В журнале публикуются оригинальные исследования по теоретической и прикладной механике, статьи по теоретической механике, механике жидкости и газов, механике деформируемого твердого тела.

Архив научных статейиз журнала «Прикладная математика и механика»

  • PARTICLE VELOCITY, SPEED EQUATION AND UNIVERSAL ASYMPTOTICS FOR EFFICIENT MODELLING OF HYDRAULIC FRACTURING

    LINKOV A.M. — 2015 г.

    The theoretical rationale of the hydraulic fracture (HF) problem is revisited. It implies that the particle velocity is the primary physical quantity, using of which provides significant analytical and computational advantages over conventional using the flux. The fundamental significance of the speed equation (SE) for proper tracing fracture propagation is emphasized. It appears that when neglecting the lag between the fracture contour and the fluid front, the asymptotic form of continuity equation (CE) identically meets SE for non-singular or weakly singular leak- off. For strongly singular leak-off of Carter’s type, the asymptotic form of CE yields generalized speed equation. We show that for zero lag, the system, comprised of asymptotic CE, elasticity equation and fracture condition, defines the universal asymptotic solution (universal asymptotic umbrella) of the HF problem.

  • THE DYNAMIC CHARACTERISTICS OF DAMAGE PROBABILITY OF A GRAVITY DAM

    CHEN J.Y., LI J., XU Q., ZHANG C.B., ZHAO C.F. — 2015 г.

    Предлагается основанный на методе псевдо-возбуждения (МПВ) приближенный вероятностный метод первого порядка для исследования повреждения бетонных гравитационных плотин. В рамках метода определяется стохастическая жесткость при действии стохастического источника возмущений второго порядка малости. Метод содержит следующие этапы. Сначала МПВ и модель повреждения Мазара используются для анализа способа расчета ожидаемого значения и вариации повреждения плотины, возбужденного случайной нагрузкой (землетрясением) при статической начальной нагрузке. Затем на основе теории возмущения исследуется эволюция распределения вероятности повреждения плотины при растягивающем напряжении. Наконец, для проверки модели и анализа сходимости и устойчивости соответствующего численного счета приведен численный пример. Результаты расчетов показывают, что ожидаемые распределения вероятностей повреждения при действии случайных возмущений устойчивы. По сравнению с МПВ, характерные особенности предлагаемого метода обеспечивают возможность вероятностного анализа нелинейного отклика бетонной гравитационной плотины.A first-order approximate probabilistic analytical method to investigate the damage of concrete gravity dams, based on pseudo-excitation method (

  • АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О СЖАТИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ЕГО РАЗЛЕТЕ ИЗ ТОЧКИ

    ВАЛИЕВ Х.Ф., КРАЙКО А.Н. — 2015 г.

    Рассмотрены автомодельные решения, описывающие одномерные нестационарные течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа. Если в известной задаче изэнтропического сжатия газа к плоскости, оси или центру симметрии (далее, к центру симметрии - ЦС) с показателем автомодельности единица результат сжатия - однородный поток, движущийся к ЦС, то затем возникает известная задача о торможении такого потока непрерывной центрированной волной и примыкающей к ней ударной волной (в плоском случае - одной ударной волной). За ударной волной, идущей от ЦС, газ покоится. Изменение знаков времени и скорости в решениях, описывающих изэнтропическое конечное сжатие газа, дает представление об эволюции течения при однородном разлете газа от ЦС. Другие известные автомодельные решения с показателем автомодельности единица дают неограниченное изэнтропическое сжатие конечной массы газа к ЦС (“сжатие в точку”). При таком сжатии плотность, давление, внутренняя энергия и скорость сжатого газа бесконечны, а энтропия конечна. Энтропия конечна и после остановки газа ударной волной, идущей от ЦС. Решена новая автомодельная задача о “разлете из точки” (плоскости или ЦС) конечной массы “горячего” газа с бесконечной начальной энергией, нулевой скоростью и конечной энтропией. В новых решениях (с зоной пустоты и без нее в окрестности ЦС) в силу “интеграла масс” (его роль аналогична роли интеграла энергии в задаче о сильном взрыве) все траектории частиц горячего газа - линии постоянства автомодельной переменной с найденным из анализа размерностей показателем автомодельности. Обсуждаются влияние на найденные решения конечной начальной плотности холодного газа, окружающего сжатый газ, возникающее при этом локально автомодельное решение и подчас парадоксальные особенности автомодельных решений при разлете в пустоту.

  • АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАВИГАЦИИ

    СОКОЛОВ С.В. — 2015 г.

    Рассматривается синтез аналитических пространственных моделей траекторий, позволяющих минимизировать состав измерительного комплекса и вычислительные затраты при решении задач навигации.

  • АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПО ТОЛЩИНЕ

    АГАЛОВЯН Л.А., АГАЛОВЯН М.Л., ГЕВОРКЯН Р.С. — 2015 г.

    Асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной задачи теории электроупругости в криволинейных координатах выведены рекуррентные формулы для определения компонент тензора напряжений, вектора перемещения и электрического потенциала пьезокерамической оболочки. Оболочка считается в плане неоднородной (физико-механические коэффициенты могут зависеть от тангенциальных координат, но постоянны по толщине) и поляризованной по толщине. Рассмотрены случаи, когда на внешней и внутренней поверхностях оболочки заданы условия первой, второй или смешанной краевых задач теории упругости. Для одного сравнительно общего варианта выведены дисперсионные уравнения частот колебаний, вычислены значения резонансных частот и установлена их зависимость от толщины и физико-механических параметров оболочки.

  • ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ В ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРУЖЕННОГО КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА

    СТУРОВА И.В. — 2015 г.

    Представлены результаты решения линейной задачи об установившихся колебаниях горизонтального цилиндра, погруженного в жидкость, на верхней границе которой плавает ледяной покров с бесконечной прямолинейной трещиной, параллельной оси цилиндра. Ледяной покров моделируется тонкой упругой пластиной, а частично смерзшаяся трещина - системой двух пружин: вертикальной и спиральной. Предполагается, что свойства пластин могут меняться скачком при переходе через трещину. Использован метод распределенных по контуру тела массовых источников. Соответствующая функция Грина построена с использованием разложений по вертикальным собственным функциям. Выполнены расчеты гидродинамической нагрузки, действующей на цилиндр, и амплитуд вертикальных смещений ледяного покрова. Показано, что волновое движение существенно зависит от положения цилиндра относительно трещины и ее свойств. Дана связь коэффициентов демпфирования с амплитудами изгибно-гравитаци- онных волн в дальнем поле.

  • ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

    ГУЛГАЗАРЯН Л.Г. — 2015 г.

    Рассматриваются вынужденные колебания ортотропных оболочек при наличии вязкого сопротивления, когда на верхней лицевой поверхности оболочки заданы два варианта пространственных граничных условий, а на нижней задан вектор перемещения. Асимптотическим методом получено решение соответствующих динамических уравнений трехмерной задачи теории упругости. Определены амплитуды вынужденных колебаний и установлено, что наличие вязкого сопротивления приводит к тому, что амплитуды вынужденных колебаний в области значений собственных колебаний возрастают, но остаются конечными. Получены функции типа пограничного слоя, установлены характеристические уравнения для определения скорости затухания пограничных колебаний в направлении от боковой поверхности внутрь оболочки

  • ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ

    СОЛДАТЕНКОВ И.А. — 2015 г.

    Выводятся соотношения между граничными напряжениями и перемещениями для упругой полуплоскости со слабо искривленной границей. Для этого напряженно-деформированное состояние полуплоскости выражается через две гармонические функции с помощью общего решения Папковича-Нейбера, и выполняется конформное отображение исходной полуплоскости на каноническую (ровную) полуплоскость. В результате для гармонических функций получается система граничных задач, из которой при помощи преобразования Фурье следуют искомые деформационные соотношения. Рассмотрен случай кулоновского трения. Проанализировано влияние фактора неровности границы полуплоскости на ее деформирование.

  • ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА В ПРОЦЕССЕ ЕГО РАСКРЫТИЯ

    ЗЫКОВ А.В., ЛЕГОСТАЕВ В.П., СУББОТИН А.В., СУМАРОКОВ А.В., ТИМАКОВ С.Н. — 2015 г.

    Рассматривается модель выпуска полотна солнечного паруса, в рамках которой парус, раскрываемый из уложенного состояния, представляется в виде четырех выпускаемых тросов. На начальном этапе развертывания солнечного паруса при учете центральной симметрии конструкционного расположения катушек с тросами моделируется выпуск одного из тросов в предположении, что все остальные тросы выпускаются синхронно и система управления выпуском обеспечивает динамическую симметрию процесса. Приведено дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний в плоскости вращения точечной массы на невесомом тросе в процессе выпуска из вращающегося центрального блока. Получено аналитическое решение линеаризованного уравнения выпуска точечной массы, выраженное через функции Бесселя при равномерном выпуске и через гипергеометрические функции при равномерно замедленном выпуске. Численное моделирование, проведенное для двух случаев: когда трос представлен в виде совокупности материальных точек, последовательно соединенных невесомыми нерастяжимыми нитями, и в виде невесомой нерастяжимой нити с весомым грузом на свободном конце, подтверждает полученные аналитические результаты.

  • ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ СОХРАНЕНИЯ И ПОТЕНЦИАЛЫ ДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

    РЫЛОВ А.И. — 2015 г.

    Рассмотриваются вопросы построения и выявления функциональных связей между законами сохранения и построения и выявления дополнительных законов сохранения для найденных ранее законов сохранения для трехмерных нестационарных течений (Е.Д. Терентьев и Ю.Д. Шмыглевский, 1975 г.) и для бесконечного множества законов сохранения для плоских потенциальных течений (А. И. Рылов, 2002 г.). Под функциональной связью здесь понимается равная нулю сумма трех и более левых частей дивергентных уравнений, взятых с подлежащими определению переменными коэффициентами.

  • ЗАМЕЧАНИЯ ПО СТАТЬЕ Г. П. ЧЕРЕПАНОВА “КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ЗОНАМИ СЦЕПЛЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ. ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ И ТРИБОЛОГИЯ”. ПММ. 2015. Т. 79. ВЫП. 1. С. 112-143

    СОЛДАТЕНКОВ И.А. — 2015 г.

  • ЗАМЕЧАНИЯ ПО СТАТЬЕ О.Б. ГУСЬКОВА «МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДИНАМИКЕ ВЯЗКИХ СУСПЕНЗИЙ». ПММ. 2013. Т. 77. ВЫП. 4. С. 557-572

    МАРТЫНОВ С.И. — 2015 г.

    В вышеупомянутой статье рассматривается задача о динамике взаимодействующих сферических частиц в вязкой жидкости. По этой проблеме опубликовано большое число работ, в которых предлагаются разнообразные методы решения задачи. Поскольку целью замечаний не является обзор методов и подходов, имеющихся в литературе по данной теме, отметим только некоторые из них, которые активно используются в последние годы. Помимо численных методов, основанных на методе конечных элементов, это метод стоксовой динамики [1] и метод решеточного уравнения Больцмана [2]. Перечисленные методы имеют как достоинства, так и недостатки. К недостаткам следует отнести большие вычислительные затраты при их программной реализации на компьютере для расчета динамики большого числа частиц. В то же время можно констатировать, что в настоящее время не существует метода, одинаково пригодного для решения широкого класса задач динамики дисперсных систем, и исследования в этой области по-прежнему остаются актуальными.

  • ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ НАВЕДЕНИЯ ДЛЯ СОБСТВЕННО ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРЫ

    ПАСИКОВ В.Л. — 2015 г.

    Рассматриваются игровые ситуации наведения на начало координат для управляемых объектов, эволюция которых описывается собственно линейными интегро-дифференциальными и интегральными системами Вольтерры. Предлагается некоторая модификация экстремальных конструкций Н.Н. Красовского при подходящем выборе пространства позиций. Приведен модельный пример.

  • К ТЕОРИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ И ИХ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АНАЛОГОВ

    ВАЛИЕВ Х.Ф., КРАЙКО А.Н., ТИЛЛЯЕВА Н.И. — 2015 г.

    В приближении идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа рассмотрены осесимметричные конические течения (КТ) без закрутки и их нестационарные цилиндрически и сферически симметричные автомодельные аналоги с показателем автомодельности единица. В рассматриваемых течениях наряду с ударными волнами в рамках классической модели (мгновенное тепловыделение, с обеих сторон от разрыва нулевой толщины - совершенный газ в общем случае с разными показателями адиабаты) допускаются детонационные волны Чепмена-Жуге (DWj). Основные новые элементы, связанные с КТ, - введение в известные течения DWj и объединение нескольких КТ в одно. Объединению нестационарных автомодельных аналогов КТ предпосланы построение и анализ ряда новых решений. Оригинальны и все объединения нестационарных аналогов. Систематизация используемых подходов и опирающийся на них теоретический анализ иллюстрируются примерами численного построения изучаемых течений в плоскостях их независимых переменных. Иллюстрации включают линии тока (для КТ), траектории частиц (для нестационарных аналогов), С+- и С --характеристики и их огибающие, ударные волны и DW J.

  • КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ЗОНАМИ СЦЕПЛЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ. ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ И ТРИБОЛОГИЯ

    ЧЕРЕПАНОВ Г.П. — 2015 г.

    В настоящей работе контактная задача математической теории упругости при учете адгезии на контакте рассмотрена как предмет механики разрушения. Дано точное решение общей контактной задачи механики разрушения в условиях плоской деформации с зонами сцепления и скольжения двух различных упругих полупространств. Фактически эта задача - основа теоретической трибологии. Для одного класса неоднородных материалов решение получено в замкнутом виде. Задача о давлении абсолютно жестких штампов на упругое тело в условиях плоской деформации с учетом адгезии на участках сцепления и скольжения также решена в замкнутом виде, когда коэффициент Пуассона равен 1/2. Исходная математическая задача охватывает также проблемы механики разрушения композитов о распространении трещин вдоль границы раздела двух различных упругих материалов с учетом зон налегания/скольжения берегов трещин. Метод аналитического продолжения используется для приведения задач к одной обобщенной краевой задаче Римана, решение которой найдено в замкнутом виде. На примере решения типичных контактных задач механики разрушения дана и проанализирована строгая количественная теория основных режимов качения и явления stick-slip. Показано, что в отсутствие проскальзывания и адгезии коэффициент трения качения в законе Кулона прямо пропорционален (NRP) 1/2 для колес и цилиндров, и (NRP) 1/3 для шаров, где N - нормальная сила (вес шара или погонный вес цилиндра), R - радиус колеса или шара, Р - упругая податливость системы. Влияние адгезии и шероховатости материалов на качение, а также износ материалов при качении охарактеризованы двумя материальными константами механики разрушения. По решению редколлегии ПММ последний раздел добавлен в качестве ответа на критические замечания по статье, публикуемые вслед за данной работой.

  • МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

    ЗЕВИН А.А. — 2015 г.

    Решена задача Мышкиса о максимальном показателе Ляпунова линейного дифференциального уравнения первого порядка с произвольным ограниченным запаздыванием. Полученный результат обобщен на систему уравнений произвольного порядка, матрица которой имеет действительные собственные значения. Для системы с комплексными собственными значениями получено достаточное условие экспоненциальной устойчивости.

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОСТНОЙ МОЗОЛИ

    МАСЛОВ Л.Б. — 2015 г.

    Представлена математическая модель и вычислительный алгоритм регенерации костной ткани, управляемой законом дифференциации клеток и действием внешнего механического стимула периодического характера. В основе расчета восстановления упругих свойств костной ткани лежит обобщенная динамическая модель изменяющейся пороупругой сплошной среды и метод конечных элементов в трехмерной постановке. Разработанное программное обеспечение дает возможность исследовать процессы восстановления поврежденных костных элементов опорно-двигательного аппарата человека при наличии стационарной динамической нагрузки и теоретически обосновать выбор оптимального периодического воздействия на поврежденные ткани с целью их скорейшего и устойчивого заживления.

  • НЕСИММЕТРИЧНАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА ГРАНИЦЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

    ДОЛОТОВ М.В., КИЛЛЬ И.Д., ЛИМОНЧЕНКО Ю.Г. — 2015 г.

    Рассматривается динамическая задача для упругого полупространства при действующей на его границу распределенной несимметричной касательной нагрузке. Получены простые выражения для компонент тензора напряжений в виде сходящихся при малых значениях времени рядов, обладающих асимптотическими свойствами. Оценены погрешности приближенного решения, определяемого частичными суммами рядов.

  • О КАТАНИИ ТЕЛА С РОТОРОМ ПО ПОДВИЖНОЙ ОПОРНОЙ СФЕРЕ

    БЫЧКОВ Ю.П. — 2015 г.

    Рассматривается задача о катании без проскальзывания тела с ротором по подвижной опорной сфере в однородном поле силы тяжести. Границей тела в области контакта с опорой является часть сферической поверхности. Центральный эллипсоид инерции системы (тело + ротор) - эллипсоид вращения, ось которого проходит через геометрический центр сферы, не совпадающий, вообще говоря, с центром масс системы. Опорная сфера произвольным образом поступательно перемещается и вращается вокруг вертикальной оси. Получена полная система уравнений движения несущего тела и ротора. В случае тела вращения получены два интеграла уравнений движения. В случае, когда тело - однородный шар, найдены четыре интеграла уравнений движения, причем координаты точки контакта шара с опорной сферой определяются квадратурами, и указаны все возможные траектории точки контакта шара со сферой.

  • О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

    ИВАНОВ А.П. — 2015 г.

    Обсуждаются свойства положений равновесия механических систем с кулоновым трением. Проводится сравнительный анализ различных определений понятия равновесия. Показано, что принципы виртуальных перемещений и наименьшего принуждения могут быть обобщены на задачи статики с трением. Рассмотрены определения устойчивости по Ляпунову и Хиллу; второй подход имеет в данных задачах определенные преимущества. Для иллюстрации полученных результатов и выводов рассмотрен ряд механических примеров.