научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

АДУЕНКО А.А., АМЕЛЬКИН Н.И. — 2014 г.

Рассматриваются предельные движения тяжелого волчка, моделируемого системой твердых тел, при наличии внутреннего трения. Определено все множество предельных движений и детально исследован характер их устойчивости для случаев, когда несомое тело волчка имеет а) три и б) одну степень свободы относительно несущего тела. Результаты анализа случая а распространяются на движения волчка с жидким наполнением. Для случая б определены значения параметров, при которых волчок, помимо стационарных вращений, имеет нестационарные предельные движения, представляющие собой интегрируемые движения в частном случае Бобылева- Стеклова.

БУРОВ А.А., ЯКУШЕВ И.А. — 2014 г.

Рассматривается скольжение тяжелой бусинки, нанизанной на тонкий круговой обруч, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, расположенной в его плоскости и, в общем случае, не проходящей через его вертикальный диаметр. Предполагается, что между бусинкой и обручем действует сила сухого трения. Находятся множества неизолированных положений относительного равновесия бусинки на обруче, исследуется их зависимость от параметров задачи. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм. Обсуждаются свойства устойчивости найденных неизолированных относительных равновесий.

БЕДОИДЗЕ М.В., ПОЖАРСКИЙ Д.А. — 2014 г.

Исследуются трехмерные контактные задачи о взаимодействии двух одинаковых штампов на упругом трансверсально изотропном полупространстве (пять упругих постоянных), когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. В связи с этим жесткость границы полупространства зависит от направления. Ядро интегрального уравнения контактных задач при помощи теории обобщенных функций представлено в виде, свободном от квадратур. Такой вид ядра позволяет провести его регуляризацию в особых точках и применить для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта метод Галанова

2014

ЖУРАВЛЕВ А.Б., КАРЕВ В.И., КОВАЛЕНКО Ю.Ф., УСТИНОВ К.Б. — 2014 г.

Исследуется влияние деформационно-прочностных и фильтрационных свойств породы и сжимаемости фильтрующейся жидкости на размер зон нарушенной структуры породы, возникающих в окрестности нефтяных и газовых скважин при понижении давления на их забое. Процесс фильтрации рассматривается в рамках стационарной постановки задачи, что позволяет исследовать общий случай. Показано, что при нестационарном течении напряжения на границе зоны нарушенной структуры и, как следствие, ее размер не зависят от характера распределения давления в пласте, а определяются лишь давлением фильтрующейся жидкости на границе этой зоны. Установлено, что увеличение сжимаемости фильтрующейся жидкости приводит к росту размера зоны нарушенной структуры.

ОВЧИННИКОВА С.Н. — 2014 г.

Рассматриваются бифуркации при обходе точки пересечения двух нейтральных кривых (точки бифуркации коразмерности 2) в задаче Куэтта- Тейлора о движении жидкости между вращающимися цилиндрами. Вторичные режимы в малой окрестности точки бифуркации коразмерности 2 изучаются с помощью системы нелинейных амплитудных уравнений на центральном многообразии. Анализируются стационарные решения амплитудных систем, которым соответствуют вторичные периодические режимы типа бегущих волн, нелинейные смеси бегущих волн, нестационарные двух-, трех- и четырехчастотные квазипериодические решения системы Навье-Стокса. Проведен численный анализ условий существования и устойчивости невращательно симметричных стационарных течений жидкости между вращающимися в одну сторону цилиндрами. Большинство теоретических работ по рассматриваемой проблеме посвящено анализу первой потери устойчивости течением Куэтта, в результате которой появляются стационарные (вихри Тейлора) или колебательные (волнистые вихри) режимы течения. В некоторых экспериментах [1-3] подход к границе первой потери устойчивости иногда осуществлялся сверху (угловые скорости вращения цилиндров уменьшались), тогда в зависимости от условий эксперимента наблюдались движения с разным числом ячеек Тейлора и азимутальных волн. Анализ [4-6] показал, что это явление может быть объяснено поведением решений нелинейной системы уравнений движения в окрестности пересечений нейтральных кривых для задачи, линеаризованной на течении Куэтта. Каждой такой точке отвечает несколько независимых нейтральных мод, взаимодействие которых описывается нелинейной системой амплитудных уравнений на центральном многообразии. Исследование амплитудных систем позволяет анализировать появление вторичных, третичных и следующих за ними течений жидкости между вращающимися цилиндрами. Существуют соотношения между параметрами задачи в точках пересечения двух нейтральных кривых, которым соответствуют семь типов амплитудных систем, различающихся дополнительными резонансными слагаемыми [7]. При вращении цилиндров в противоположные стороны построены и изучены [4-6] амплитудные системы для точек бифуркации коразмерности 2 с одинаковыми осевыми числами (резонанс Res 1). Ниже для случая сонаправленного вращения цилиндров проведен анализ условий существования и устойчивости невращательно симметричных течений жидкости в малой окрестности разных точек Res 1, приведенных ранее [8].

ВЕЛИЧЕНКО В.В. — 2014 г.

Геометрическая механика, развивающая традиционные геометрические методы механики, позволяет строить теории сложных связанных систем на основе аксиоматики Ньютона, без обращения к методам аналитической механики Лагранжа, методам динамики твердого тела Эйлера и другим теориям и принципам. Геометрические методы упрощают общую теорию сложных механических систем, приближают ее к компьютерным вычислительным технологиям и к инженерной практике.

СОРОКИН В.С. — 2014 г.

БАНЦУРИ Р.Д., ШАВЛАКАДЗЕ Н.Н. — 2014 г.

Рассматриваются задачи определения механического и электрического полей в пьезоэлектрической пластине, подкрепленной включением, или в полупространстве, ослабленном разрезом. С применением методов теории аналитических функций эти задачи сводятся к системе сингулярных инте- гродифференциальных уравнений (для пластины) или к сингулярному интегральному уравнению с неподвижной особенностью (для полупространства).

АННИН Б.Д., БЕЛЬМЕЦЕВ Н.Ф., ЧИРКУНОВ Ю.А. — 2014 г.

Выполнено групповое расслоение системы уравнений движения трансверсально-изотропной упругой модели геоматериалов, удовлетворяющей условиям Гассмана. Получена линейная система дифференциальных уравнений первого порядка, равносильная уравнениям этой модели. Доказан ряд теорем, описывающих ее свойства. Найдена основная группа Ли преобразований и оптимальная система ее подгрупп, что позволяет получить все инвариантные, частично инвариантные и дифференциально-инвариантные подмодели динамической модели трансверсально-изотропной упругой среды. Получены некоторые точные решения, указан их физический смысл.

КАРАПЕТЯН А.В., МУНИЦЫНА М.А. — 2014 г.

Рассматривается задача о динамике эллипсоида вращения со смещенным центром масс на горизонтальной плоскости с трением. Предполагается, что центр масс эллипсоида лежит на оси его динамической симметрии. В рамках общей теории инвариантных множеств механических систем с симметрией исследуются стационарные движения эллипсоида, дается геометрическая интерпретация результатов с помощью обобщенных диаграмм Смейла.

ГУТНИК С.А., САРЫЧЕВ В.А. — 2014 г.

КОЗЛОВ В.В. — 2014 г.

Изучаются лагранжевы системы с большим множителем N при гироскопических слагаемых. В первом приближении по малому параметру 8 = 1/N получены упрощенные уравнения движения общего вида с голономными связями. Исследована структура решений прецессионных уравнений.

ВЛАХОВА А.В. — 2014 г.

Обсуждаются подходы к построению математических моделей систем с качением и гироскопических систем, динамика которых характеризуется малостью части обобщенных скоростей. При моделировании таких систем, как правило, используется квазистатический подход, в рамках которого обобщенные ускорения, отвечающие малым обобщенным скоростям, полагаются равными нулю. Указаны случаи, когда установленная В.В. Козловым возможность получения квазистатических уравнений гироскопических систем путем наложения голономных связей распространяется на системы с качением. Сформулированы достаточные условия, позволяющие провести оценку погрешности квазистатических уравнений систем с качением и гироскопических систем. Показано, что их уточнение по малому параметру - отношению характерных значений “малых” и “конечных” обобщенных скоростей - может быть проведено с использованием формализма Дирака, который основан на анализе связей между обобщенными координатами и импульсами системы, возникающими из-за вырождения ее лагранжиана при переходе к квазистатическим уравнениям.

КОУЗОВ Д.П., СОЛОВЬЕВА Ю.А. — 2014 г.

Получено и проанализировано точное аналитическое решение новой нестационарной скалярной дифракционной задачи. Плоская акустическая волна с профилем в виде дельта-функции движется вдоль мягкого полубесконечного экрана. По фронту волны амплитуда ее изменяется линейно. После достижения волной конца экрана она “соскальзывает” с экрана, порождая дифракционное поле. Для нахождения этого поля используется некоторая специальная модификация метода Смирнова-Соболева. Решение получено в виде элементарной функции. Показано, что соскальзывающая волна возбуждает бегущее возмущение, неограниченное на продолжении экрана. Подобное явление, по-видимому, имеет место и при соскальзывании упругих волн с разреза (трещины), это следует учитывать, в частности, в теории разрушения.

КИСЕЛЁВ А.Б. — 2014 г.

Рассматривается задача, отличающаяся от сформулированной ранее [1, 2] наличием внешней динамической нагрузки. В рамках тех же предположений и тем же методом получены точные решения.

ГОРБАЧЕВ В.И. — 2014 г.

Рассматривается связанная нестационарная задача термоупругости для неоднородного тела, описываемая системой из четырех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных с переменными по координатам коэффициентами. Наряду с этой исходной задачей рассматривается такая же задача для однородного тела той же формы (сопутствующая задача). Получены интегральные формулы, позволяющие выразить перемещения и температуру в исходной задаче через перемещения и температуру в сопутствующей задаче. Интегральные формулы используются для представления решения исходной задачи в виде рядов по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Записана система рекуррентных задач для коэффициентов этих рядов. Найдены выражения для коэффициентов сопутствующей задачи (эффективные коэффициенты) и приведены постановки специальных краевых задач, из решения которых находятся конкретные выражения для эффективных коэффициентов термоупругости. Доказана теорема о том, что эффективные коэффициенты удовлетворяют физико-механическим ограничениям, накладываемым на термоупругие константы реальных тел. Рассмотрен случай неоднородного по толщине слоя, и для него получены явные аналитические выражения всех эффективных коэффициентов термоупругости. Подробно рассмотрен случай периодической зависимости коэффициентов термоупругости от координат.

АСЛАНОВ В.С. — 2014 г.

Рассматривается свободное пространственное движение гиростата, который представляет собой тело-носитель с трехосным эллипсоидом инерции и осесимметричный ротор. Тела имеют общую ось вращения, совпадающую с одной из главных осей инерции носителя. В переменных Андуайе- Депри уравнения движения сводятся к системе с одной степенью свободы. Найдены стационарные решения этой системы, проанализирована их устойчивость. Исследованы случаи, когда продольный момент инерции носителя больше наибольшего из поперечных моментов инерции системы тел, - меньше наименьшего или принадлежит диапазону, составленному из указанных моментов инерции. Для каждого случая получены общие аналитические решения, описывающие движение на сепаратрисах и в областях, отвечающих колебаниям и вращению на фазовом портрете. Результаты можно трактовать как некоторое развитие случая Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки, когда добавляется одна степень свободы - относительное вращение тел.

ГАЛКИН В.С., РУСАКОВ С.В. — 2014 г.

ЗЕВИН А.А. — 2014 г.

Обсуждается корректность существующих определений параметрических колебаний линейных и нелинейных систем. Указана возможность ошибочного выбора параметрической математической модели взамен автоколебательной, связанная с существованием в таких системах одинаковых периодических решений. Установлены некоторые нелокальные свойства параметрических колебаний в гамильтоновых системах. В частности, показано, что области устойчивости выпуклы по частоте параметрического возбуждения (т.е., все точки между границами соседних областей неустойчивости отвечают устойчивым решениям). На критические частоты параметрического резонанса обобщены известные теоремы Релея и Журавлёева о поведении частот собственных колебаний при изменении жесткости и инерции. Для векторных уравнений Хилла установлены некоторые дополнительные утверждения о границах первой области неустойчивости.