научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

ЛЕОНОВ Г.А. — 2013 г.

Описываются принципы доказательства существования гомоклиниче-ских траекторий в диссипативных динамических системах. Применение этих принципов для системы Лоренца позволяет сформулировать новые критерии существования гомоклинических траекторий.

ГУБАЙДУЛЛИН Д.А., ФЕДОРОВ Ю.В. — 2013 г.

Исследовано распространение звуковых волн в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными пузырьками газа разного состава. Приведена система дифференциальных уравнений возмущенного дви" жения смеси, выведено дисперсионное соотношение. Получены равно" весная скорость звука, низкочастотная и высокочастотная асимптотики линейного коэффициента затухания. Выявлены характерные средние радиусы пузырьков. Приведено сравнение развитой теории с известны" ми экспериментальными данными.

2013

ГУСЬКОВ О.Б. — 2013 г.

В приближении Стокса на основе метода самосогласованного поля рассмотрена задача о движении твердого сферического тела в однородной эмульсии газовых пузырьков. В первом приближении по объемной концентрации дисперсной фазы получено выражение для поправочного коэффициента в формуле Стокса для силы сопротивления тела. Найдена аналитическая зависимость коэффициента от отношения размеров пузырьков и тела. Показано, что в пределе, когда это отношение стремится к нулю, полученный коэффициент совпадает с результатом Тейлора для эффективной вязкости эмульсии газовых пузырьков. Для не “точечных” пузырьков коэффициент при объемной концентрации в выражении для эффективной вязкости эмульсии может существенно отличаться от результата Тейлора. Аналогичный вывод получен также для задачи о движении сферического пузыря произвольного размера в эмульсии газовых пузырьков.

КОЛЕДИН В.В., ШАГАПОВ В.Ш. — 2013 г.

Полагая, что жидкость и паровой пузырек (или система паровых пузырьков) в исходном состоянии находятся в механическом и тепловом равновесии, изучается кипение перегретой жидкости. Показано, что состояние смеси жидкости с пузырьками неустойчиво вследствие действия капиллярных сил. Построены линейные и нелинейные решения, описывающие вы- ход системы из неустойчивого состояния, а также неограниченного роста одиночного пузырька и переход в устойчивое парожидкостное состояние при наличии в исходном состоянии распределенных по объему пузырьков.

БОЛОТОВ А.А., ДЕМЬЯНОВ Ю.А. — 2013 г.

Решение задачи Х.А. Рахматулина о волне разгрузки для схемы линейно- го упрочнения распространено на случай больших значений максимальных давлений. Представлены также два варианта решения этой задачи приме- нительно к нелинейной диаграмме "напряжение-деформация" упруго- пластических материалов: когда эта диаграмма аппроксимируется любым количеством линейных участков и когда в области максимальных напряже- ний или бесконечно удаленной области, соответствующей пределу упруго- сти, может быть выделен прямолинейный участок по деформации.

2013

СОЛДАТЕНКОВ И.А. — 2013 г.

Рассматривается уточненная постановка контактной задачи при наличии сил межмолекулярного взаимодействия контактирующих тел. В отличие от традиционной постановки считается, что эти силы прикладываются не к границе деформируемого тела как контактное давление, а к точкам внутри тела, причем граница тела свободна от нагрузок. Проанализированы решения контактных задач для тонкого упругого слоя, связанного с абсолютно жесткой подложкой, и для упругого полупространства. Проведено сравнение уточненной и традиционной постановок задачи при наличии межмолекулярного взаимодействия.

ЛЫЧЕВ С.А., МАНЖИРОВ А.В. — 2013 г.

Излагаются основы математической теории наращиваемых тел при конечных деформациях с использованием понятия расслоения дифференцируемого многообразия, что позволяет построить четкую классификацию процессов наращивания. Рассматривается один из возможных вариантов наращивания — за счет непрерывного присоединения к трехмерному телу напряженных материальных поверхностей. Приводится полная система уравнений механики наращиваемых тел. В отличие от задач для тел постоянного состава в эти уравнения входит тензорное поле несовместной дис-торсии, которое может быть найдено из условия равновесия границы роста — материальной поверхности, контактирующей с деформируемым трехмерным телом. Растущее тело, вообще говоря, не имеет свободной от напряжений конфигурации в трехмерном евклидовом пространстве, однако такая конфигурация имеется на некотором трехмерном многообразии с неевклидовой аффинной связностью, обусловленной отличием от нуля тензора кручения, который является мерой несовместности деформаций растущего тела. Поэтому математические модели напряженно-деформированного состояния растущего тела оказываются эквивалентными моделям тел с непрерывным распределением дислокаций.

2013

РАСУЛОВА Н.Б. — 2013 г.

Показана возможность расширения области применения функционально-инвариантных решений Смирнова–Соболева к динамическим плоским задачам на примере решения задачи Х.А. Рахматулина. При разработке проекта тормозящих устройств для больших быстродвижущихся объектов Х.А. Рахматулин поставил задачу об ударе с постоянной скоростью некруговым конусом по упругой мембране. Когда эта задача рассматривалась впервые [1], она сводилась к решению некоторой краевой задачи для аналитических функций с разными комплексными аргументами. Для случая косонаправленного удара круговым конусом был угадан вид этих функций с использованием решений, найденных ранее [2] другим способом.

ГУСЬКОВ О.Б. — 2013 г.

Разработан метод приближенного решения проблемы многих тел сферической формы в вязкой жидкости в приближении Стокса. В рамках чисто гидродинамического подхода на основе использования концепции самосогласованного поля классическая граничная задача сведена к формальной процедуре решения бесконечной линейной алгебраической системы уравнений относительно тензорных коэффициентов, входящих в полученное решение для поля скорости и давления жидкости. Для случая разбавленных суспензий, когда отношение размера дисперсных частиц к характерному расстоянию между ними является малым параметром, построена процедура приближенного решения этой системы уравнений. В итоге исходная граничная задача сведена к решению рекуррентной системы уравнений, в которой каждое последующее приближение для всех искомых величин зависит только от предыдущих приближений. Полученная система рекуррентных уравнений может быть аналитически решена в любом заданном приближении по малому параметру. Показано, что данная система уравнений содержит в себе все возможные физические постановки задач, и в рамках построенной математической процедуры они различаются только набором заданных и искомых функций. Практические возможности построенного метода никак не ограничены количеством дисперсных частиц в жидкости.

ТХАЙ В.Н. — 2013 г.

Вводится понятие механической системы (модели), содержащей связанные подсистемы (МССП). Примерами служат система Солнце–планеты– спутники, система взаимодействующих движущихся объектов, система поступательно-вращательно движущихся небесных тел, цепочки связанных осцилляторов, маятники Зоммерфельда, пружинные системы и др. Проводится анализ подсистем МССП и всей системы, ставятся задачи, связанные с изучением колебаний, бифуркации, устойчивости, стабилизации, резонанса. Для класса МССП, который описывается обратимой механической системой, дается решение задачи о колебаниях. Доказывается, что в автономной МССП семейство симметричных периодических движений (СПД) сохраняется при параметрических возмущениях системы, а в периодической МССП оно бифурцирует рождением двух семейств СПД. В качестве приложения исследуются задача двух тел и N-планетная задача. Устанавливаются порождающие свойства задачи двух тел, в N-планетной задаче доказывается существование (N + 1)-параметрического семейства орбит, близких к эллиптическим орбитам произвольного эксцентриситета; семейство параметризуется постоянной энергией, а на орбитах наблюдается “парад планет”.

КОСТИН Г.В. — 2013 г.

В рамках метода интегродифференциальных соотношений развивается вариационный подход к численному моделированию вынужденных попе- речных движений упругой балки Эйлера-Бернулли для ряда линейных краевых условий. Рассмотрен класс линейных краевых воздействий. Пред- ложено семейство квадратичных функционалов, связывающих поля пере- мещений точек балки с функциями изгибного момента в сечении и плот- ности импульса. Даны вариационные формулировки исходной начально- краевой задачи о движении балки и проанализированы необходимые усло- вия стационарности введенных функционалов. Определены интегральные и локальные характеристики качества допустимых приближенных реше- ний. Показана связь сформулированных для модели балки вариационных задач с классическими вариационными принципами Гамильтона-Остро- градского. Разработан алгоритм построения приближенной системы обык- новенных дифференциальных уравнений, решение которой доставляет стационарные (минимальные) значения введенным функционалам на за- данном множестве полей перемещений, моментов и импульсов. Приведе- ны примеры расчетов перемещений упругой балки и анализа качества по- лученных численных решений.

ВИНОГРАДОВ Ю.И. — 2013 г.

Перемножением матриц (мультипликативно) краевые условия переносят в произвольно выбранную точку. Матрицы переноса краевых условий являются аналитическим решением системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в канонической форме механики деформирования оболочек в виде значений функций Коши—Крылова. В произвольно выбранной точке краевые условия объединяют в систему алгебраических уравнений в матричной форме, столбец неизвестных величин которой — параметры искомых величин задачи. Эффективность метода — простота реализации на ЭВМ, малые затраты машинного времени и оперативной памяти — основана на мультипликативном в матричной форме переносе краевых условий. Класс задач ограничен возможностью метода Фурье разделения переменных в уравнениях с частными производными.

КОЧАНОВ М.Б., КУДРЯШОВ Н.А., СИНЕЛЬЩИКОВ Д.И. — 2013 г.

Рассматриваются нелинейные волновые процессы на поверхности мел- кой воды под слоем льда при учете деформаций изгиба и растяжения-сжа- тия. Для их описания приведена замкнутая система уравнений относительно возмущения уровня воды и потенциала скоростей. С помощью метода мно- гих масштабов и теории возмущений из условий совместности этой системы получено нелинейное эволюционное уравнение девятого порядка для описа- ния возмущения уровня воды при учете поправок второго порядка по малым параметрам. Построено периодическое решение полученного уравнения, выраженное через эллиптическую функцию Вейерштрасса. При использова- нии модификации метода простейших уравнений получены решения в виде уединенных волн, выраженные через гиперболические функции. Показано, что для периодических и уединенных волн существуют два вида профилей волны в зависимости от параметров математической модели.

КАЛЕНОВА В.И., МОРОЗОВ В.М. — 2013 г.

Показано, что влияние диссипативных и гироскопических сил на потенциальную линейную нестационарную систему определенного класса существенно отличается от влияния этих сил на стационарную систему. Рассмотрены примеры. В первом из них изучаются уравнения движения диска, закрепленного на вращающемся невесомом упругом валу, при учете внешнего трения. Проведено сравнение полученных результатов с результатами, полученными ранее другими авторами при рассмотрении этой задачи. Во втором примере изучаются некоторые вопросы устойчивости вращения волчка Лагранжа, установленного на основании, подверженном вертикальным гармоническим вибрациям.

РУСИНОВА А.М. — 2013 г.

Обсуждается задача о движении однородного кругового цилиндра по неподвижной наклонной шероховатой плоскости. Предполагается, что цилиндр опирается о плоскость своим основанием и совершает безотрывное движение. Силы и момент трения вычисляются в рамках динамически совместной модели, предложенной А.П. Ивановым, для которой распределение давления по пятну контакта неравномерно. Дан качественный анализ динамики цилиндра в случае, когда тангенс угла наклона плоскости меньше коэффициента трения Кулона.

АЗАМОВ А.А., РУЗИБОЕВ М.Б. — 2013 г.

Рассматривается задача быстродействия для управляемой системы с распределенными параметрами эволюционного типа. Получена верхняя оценка для времени оптимального перехода в нулевое состояние.

БУРОВ А.А. — 2013 г.

Обсуждается способ формирования управления вращением гиростата, представляющим собой твердое тело, внутри которого расположены три ротора, вращающихся вокруг жестко связанных с телом некомпланарных осей. Состояние системы определяется положением и угловой скоростью вращения тела, а также угловыми скоростями роторов. Управление осуществляется моментами сил, приложенных к роторам. Идея предлагаемого способа управления состоит в выборе управляющих моментов таким образом, что угловые скорости вращения роторов оказываются линейными функциями от компонент вектора угловой скорости тела. Задаваемая таким образом линейная зависимость определяет (3 × 3) матрицу – “управляемый тензор инерции”. Эта матрица, определяемая параметрами выбранного управления, не обязана обладать свойствами тензора инерции. В результате такого выбора управлений уравнения, определяющие изменение угловой скорости тела, записываются в виде, аналогичном динамическим уравнениям Эйлера. Для получаемой системы уравнений ставятся и решаются задачи управления угловым движением спутника на круговой орбите. Предлагаемый метод построения управляющих воздействий позволяет сохранить как лагранжеву структуру уравнений движения, так и основные симметрии задачи. Выражения для действующих на роторы моментов сил, реализующих движение требуемых классов, выписаны в явном виде.