НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
УДК 534.222
К 40-ЛЕТИЮ УРАВНЕНИЯ ХОХЛОВА-ЗАБОЛОТСКОЙ
© 2010 г. О. В. Руденко
Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
119991 Москва, Ленинские горы E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru Поступила в редакцию 19.01.10 г.
"Юбилею" этого уравнения была посвящена специальная сессия 158-го Съезда Акустического общества Америки, состоявшегося в октябре 2009 года. Реакция Акустического журнала на эту юбилейную дату тоже вполне уместна, тем более, что главными действующими лицами в получении и использовании этого уравнения в период с середины 1960-х до середины 1980-х годов были отечественные ученые. Предлагаемая заметка содержит изложение непростой истории вывода этого уравнения и связанных с ним математических моделей. Рассказывается о предшествующих и независимо выполненных работах в области аэродинамики и теории нелинейных волн. Кратко поясняются основные задачи и физические явления, описываемые этими математическими моделями.
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В 2009 г. исполнилось 40 лет со дня опубликования статьи Р.В. Хохлова и Е.А. Заболотской [1], содержащей вывод уравнения, ставшего одним из базовых для нелинейной акустики и теории нелинейных волн. Автор предлагаемой заметки — один из немногих участников и свидетелей событий тех лет, кто пока еще может рассказать о них читателям.
Академик Рем Викторович Хохлов (1926— 1977) — выдающийся физик, для которого нелинейная акустика была лишь частью его научных интересов. Обратившись к персоналиям [2, 3] и книгам (литература приведена в [4]), посвященным Р.В. Хохлову, можно оценить масштаб его личности и значимость его вклада в науку.
В 1967 году автор этой заметки учился на втором курсе физического факультета МГУ и по поручению Р.В. Хохлова работал вместе с другим его учеником — С.И. Солуяном (1936—2001), который был первым аспирантом Р.В. Хохлова, защитившим диссертацию по акустике. Солуян попросил меня помочь ему решить уравнение
д 2р'
в д (р' дР) = Ь (др + 1 дР|. (1)
дхдт с0р0дт\ дт/ 2 удг г дг у
Здесь р' — приращение плотности среды, вызванное волной, х — координата вдоль направления распространения волны, г — радиальная координата в плоскости, ортогональной оси, т = I - х/с0, с0 — скорость звука, е — нелинейный параметр, р0 — равновесная плотность среды.
Как выяснилось позднее, уравнение (1) было выведено еще в 1964 году А.П. Сухоруковым.
Сложность вывода, с его точки зрения, состояла в том, что по пути надо было выделить из уравнений гидродинамики малые добавки — акустические возмущения плотности и давления, ответственные за дифракцию, а уже затем скомбинировать связывающие их соотношения в одно уравнение (1). После того, как уравнение было выведено, Р.В. Хохлов предложил искать его решение нескольким своим сотрудникам и аспирантам. К этой работе были подключены А. П. Су-хоруков и Е.А. Заболотская, которых Р.В. Хохлов взял к себе аспирантами осенью 1963 г., мы с Со-луяном и, возможно, другие сотрудники.
Вскоре удалось найти одно решение
Р'о
X + Хо
-ф
т --
2со(х + Хо) соРо
+ (X + хо)1п I 1 + Х
(х0 — константа, Ф — произвольная функция), но Хохлов справедливо указал на его "тривиальность" — решение описывало сферически-симметричную волну и не учитывало дифракцию. Физически интересные точные решения тогда найти не удалось.
В те годы бурно развивалось новое направление лазерной физики — теория самофокусировки световых пучков; в экспериментах наблюдались интересные явления. Значение лазерных исследований тогда оценивалось гораздо выше, чем возможные результаты, следовавшие из уравнения (1), и Сухоруков полностью переключился на решение лазерных задач. В то же время нельзя забывать, что он одним из первых вывел уравнение (1). Результаты по самовоздействию лазерных пучков опубликованы в обзоре [5], который до сих пор принадлежит к числу наиболее цитируемых работ в области нелинейной оптики.
Хохлов не раз повторял, что новое уравнение — это не тот результат, который заслуживает отдельной публикации; полноценным научным результатом может считаться лишь объяснение или предсказание нового физического явления на основе анализа этого уравнения. Такая точка зрения многим современным акустикам может показаться необычной, но еще раз подчеркнем, что Хохлов прежде всего был физиком и высоко ценил открытие новых эффектов, а создание математических моделей рассматривал как необходимый промежуточный этап теории.
Е.А. Заболотской удалось получить приближенное решение, которое описывало ряд интересных особенностей в поведении нелинейных волновых пучков. В частности оказалось, что импульс сжатия с "амплитудой", спадающей к краям пучка, становится расходящимся, а его длительность сокращается. Импульс разрежения, напротив, сужается в пространстве, а его длительность увеличивается. Таким образом, физически новые результаты, следовавшие из уравнения (1), были получены, и работа [1] была направлена в печать. Ее содержание подробно изложено в книге [6].
Мы обратили внимание на то, что уравнение (1) удобно записать в обобщенном виде [7]
д дт
др б др р - -3— р - Ьр
дх с0р0 5т
= * А „.
(2)
Здесь и в дальнейшем в качестве полевой переменной используется акустическое давление р, хотя такое же уравнение можно записать для возмущения плотности среды и колебательной скорости; А ± — оператор Лапласа по координатам, вводимым в плоскости, ортогональной оси х пучка; Ь — линейный (в общем случае интегродиф-ференциальный) оператор, действующий на переменную р .
В.П. Кузнецов первым предложил [8] ввести в уравнение член, ответственный за диссипацию:
Ь р =
ь
д2р
2с0ро дт2
(3)
Здесь Ь — эффективный диссипативный параметр, выражающийся через объемную и сдвиговую вязкости и теплопроводность среды [6, 9].
Б.Б. Кадомцев и В.И. Петвиашвили предложили [10] уравнение, эквивалентное введению члена с третьей производной
Ь р = рдг!,
дт
(4)
которая отвечает кубичному закону слабой высокочастотной дисперсии: к = ю/с0 + рю .
В обзоре [7] указано, что в общем случае, когда в среде происходят индуцированные волной внутренние процессы с характерными собственными временами, не зависящими от частотного спектра волны, дополнительный член должен иметь вид
1р = т А Г К (т-т ..
2с0 дт J дт'
(5)
Структура ядра К (г) под интегралом (5) определяется конкретной внутренней динамикой среды. Алгоритм восстановления ядра по частотным зависимостям поглощения и дисперсии, основанный на принципе причинности и соотношениях типа Крамерса-Кронига, описан в учебном пособии [9] (см. § 8, гл. 2). В частности, для релаксиру-ющей среды ядро дается экспоненциально затухающей функцией К(г) = ехр (-г /г*), где г* — характерное время, а число т — "сила" релаксации. Если "память" среды затухает мгновенно, ядро дается дельта-функцией
Ь
тЩ) =
2со
2со3ро
При этом интегральный член (5) обращается в член (3) со второй производной. Аналогично, полагая ядро в (5) пропорциональным производной от дельта-функции, получим член (4) с третьей производной.
Если строить классификацию уравнений, исходя из их формальной структуры, то очевидно, форму (2) имеет смысл назвать общим уравнением, а формы с дополнительными членами (3)—(5) — его частными случаями. Однако физические явления, описываемые внешне похожими уравнениями, могут быть принципиально разными. Именно поэтому уравнение (2), (4), обобщающее уравнение Кортевега — де Вриза на двумерные волны, сразу получило название "уравнение Кадомцева-Петвиашвили" или, сокращенно, КП. Это уравнение принадлежит к классу гамильтоновых систем, имеет бесконечный набор интегралов движения (в том числе, импульса и энергии) и интегрируется методом обратной задачи рассеяния [11]. Оно позволяет исследовать, в частности, устойчивость уединенных волн (солитонов) по отношению к двумерным возмущениям. Огромный интерес к солитонам, сформировавшийся в 1970-е годы, объясняет большое внимание "нелинейных физиков" и математиков к уравнению КП и, с другой стороны, их слабое знакомство с предшествующими работами [1, 8].
Принимая во внимание специфику уравнений
с различным видом оператора Ь (с различными, соответствующими этому оператору членами) и ориентируясь на прецедент с уравнением КП, автор настоящей заметки предложил назвать базо-
вое уравнение (1) или (2) (с нулевым членом
Ьр = 0) уравнением Заболотской-Хохлова (см. [12, 13]). После гибели Р.В. Хохлова в 1977 г. мы предложили изменить алфавитный порядок и ввели термин "уравнение Хохлова-Заболотской" или сокращенно ХЗ. Общепринятым в России это название стало, по-видимому, после 1981 г., когда была опубликована книга [14]. В ней же уравнение с диссипативным членом (2), (3) было названо как "уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова" или сокращенно ХЗК. Вскоре после появления русского издания [14] в США был сделан компьютерный перевод, который несколько лет эффективно использовался специалистами. Официальное английское издание [15] книги [14] появилось только в 1989 г., и с тех пор термины ХЗ и ХЗК употребляются в среде акустиков повсеместно. Эти термины имеются в справочниках и энциклопедии [16].
Однако нам известны публикации, авторы которых выполнили интересные исследования гораздо позже, не зная о существовании уравнений ХЗ и ХЗК. Примерами могут служить работы [17, 18] и даже серии работ (см. библиографию в [19]), опубликованные в ведущих журналах по физике и механике. Упоминание о результате [18] имеется даже в последних изданиях знаменитого учебного пособия Ландау и Лифшица (см. [20], гл. 9, § 93, с. 492), хотя о самом уравнении ХЗ там информации нет.
Исторические курьезы на этом не заканчиваются. По-видимому, специалисты по нелинейной акустике и теории нелинейных волн не знали о работе 1948 года [21], в которой выведено уравнение, по форме тождественное ХЗ:
д
дх
+ дф
• +
dt 2 \дх
д 2ф
21 <-\ 2 <-\ 2 \оу dz
= £о \д_фф
(6)
может быть правильнее называть последнее по имени авторов [21] уравнением Линя-Рейсснера-Цзяна (ЛРЦ)? Мы думали над этим в процессе подготовки работы [23] и даже советовались с академиком Н.Н. Бого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.