Автоматика и телемеханика, № 2, 2013
Заметки
© 2013 г. С.Н. ВАСИЛЬЕВ, академик РАН (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
К 80-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ АКАДЕМИКА В.М. МАТРОСОВА
8 мая 2012 г. исполнилось 80 лет со дня рождения академика Владимира Мефодьевича Матросова. Его имя хорошо известно как в нашей стране, так и за рубежом. В.М. Матросов - один из ярких представителей известной Казанской четаевской школы по теории устойчивости движения, выдающийся механик и математик, основоположник метода векторных функций Ляпунова в теории устойчивости, динамике нелинейных систем и теории управления, а также глубоких и разнообразных применений этого метода к сложным (крупномасштабным) системам, непрерывным и дискретным, с сосредоточенными и распределёнными параметрами. Многие результаты В.М. Матросова относятся к числу часто цитируемых источников и служат предметом развития во многих странах мира.
В.М. Матросов родился в 1932 г. в с. Шипуново Алтайского края. В 1956 г. окончил с отличием самолётостроительный факультет Казанского авиационного института (КАИ) и поступил в аспирантуру при кафедре теоретической механики КАИ к профессору П.А. Кузьмину последователю Н.Г. Че-таева, оказавшему благотворное влияние на формирование научных взглядов В.М. Матросова. Здесь он начал работу лекционным ассистентом и затем, защитив кандидатскую диссертацию по техническим наукам, посвя-щённую устойчивости гироскопических систем (1959) - доцентом кафедры. В 1968 г. В.М. Матросов защитил докторскую диссертацию по физико-математическим наукам, посвящённую развитию метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения, и в том же году возглавил кафедру спецматематики, а в 1972 г. организовал кафедру кибернетики (с ведущей специальностью "прикладная математика"), где им был создан молодой, активно работающий научный коллектив. Параллельно В.М. Матросов руководил научно-исследовательской лабораторией № 29 КАИ, в которой выполнил свои первые прикладные работы.
По приглашению председателя Сибирского отделения АН СССР академика Г.И. Марчука в 1975 г. В.М. Матросов и ряд его учеников и сотрудников переехали в Иркутск для организации академического института -вычислительного центра. В.М. Матросов возглавил отдел теории систем и
кибернетики Сибирского энергетического института СО АН СССР (директор д.т.н. Ю.Н. Руденко, позднее академик АН СССР), созданный как ядро будущего института. В ноябре 1980 г. был организован Иркутский ВЦ СО АН СССР (с 1997 г. Институт динамики систем и теории управления СО РАН), а В.М. Матросов стал его директором. Параллельно, будучи заведующим кафедрой прикладной математики Иркутского госуниверситета, председателем совета Учебно-научного комплекса ИрВЦ-ИГУ, В.М. Матросов много времени и сил отдавал подготовке молодых научных кадров для Восточной Сибири.
В 1976 г. В.М. Матросов был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1987 г. - академиком. В 1991 г. он организовал и возглавил Московский филиал Института проблем транспорта АН СССР. В 1996 г. В.М. Матросов создал Центр исследования устойчивости и нелинейной динамики при Институте машиноведения им. А.А. Благонравова РАН и руководил им до своей кончины (17 апреля 2011 г.). Параллельно В.М. Матросов вел педагогическую работу, будучи профессором социологического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (1998-2003) и заведующим кафедрой математической кибернетики Московского авиационного института (2000-2007).
В многоплановом научном творчестве В.М. Матросова важное место занимали работы по устойчивости гироскопических систем. Путём использования тонких модификаций теорем Ляпунова ему удалось установить ряд важных критериев устойчивости и неустойчивости равновесия, которые прочно вошли в теорию гироскопических и электромеханических систем.
В.М. Матросовым выполнены исследования, связанные с вопросами устойчивости решений неавтономных дифференциальных уравнений; показана невозможность распространения на такие уравнения известной теоремы Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости движения, использующей функцию Ляпунова с знакопостоянной производной; предложено использование второй вспомогательной функции, обеспечивающей "выбрасывание" траекторий из "плохих" множеств [1]. Полученные теоремы оказались весьма плодотворными. Они широко используются и распространены на системы со случайными параметрами и запаздыванием, на адаптивные системы и системы с переменной структурой, а в форме теорем с несколькими функционалами Ляпунова - и на системы с распределёнными параметрами.
Обобщением метода функций Ляпунова явилось объединение метода с теорией дифференциальных неравенств типа С.А. Чаплыгина начиная с работ 1956 г.: М.А. Красносельского и С.Г. Крейна, Р. Конти, О. Борувка, Г.И. Мельникова. На этом пути исследования Г. Антосевича, К. Кордуняну, М.А. Красносельского, В. Лакшмикантама, Я.Д. Мамедова, Г.И. Мельникова, Дж. Хейла и других подвели к формированию в начале 60-х гг. ХХ в. метода сравнения. С целью ослабления требований к функциям Ляпунова важное направление исследований В.М. Матросова составили работы по созданию метода векторных функций Ляпунова, последовавшие после 1962 г., когда им одновременно с Р. Беллманом в США было введено понятие векторной функции Ляпунова (ВФЛ) [2], удовлетворяющей системе дифференциальных неравенств типа Чаплыгина-Важевского. В таблице приводится сравнение первых основополагающих публикаций по методу ВФЛ.
В.М. Матросовым были получены первые теоремы об устойчивости с ВФЛ [2-4], содержавшие общие признаки устойчивости движения и характерные тем, что в них требования, предъявлявшиеся к классическим функциям Ляпунова, заменены совокупностью менее жёстких условий, накладываемых на отдельные компоненты ВФЛ, а задача об интересующем исследователя динамическом свойстве сводилась к изучению некоторого аналога этого свойства для существенно более простой вспомогательной системы, называемой системой сравнения (СС). Переход к ВФЛ расширил класс функций, которые могут служить в качестве подходящих функций Ляпунова, привел к более гибкому аппарату и тем самым облегчил решение центральной проблемы их построения. На примерах устойчивости конкретных систем В.М. Матросовым было показано, что в определённых классах функций (например, в классе квадратичных форм с постоянными коэффициентами) не существует функция, удовлетворяющая классической теореме Ляпунова, но существует ВФЛ, удовлетворяющая условиям полученной В.М. Матросовым теоремы с ВФЛ.
Плодотворная идея использования ВФЛ была подхвачена и развита во многими учёными США, Италии, Бельгии, Японии и в нашей стране, выявившими её теоретическое значение и показавшими возможность получения теорем с ВФЛ о различных типах устойчивости. Метод ВФЛ продолжает интенсивно развиваться (более двух миллионов документов в Google на запрос Vector Lyapunov Functions). Весьма глубоко и всесторонне идея ВФЛ была проработана В.М. Матросовым для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с разрывными неограниченными операторами [5-7], что явилось большим вкладом как в саму теорию устойчивости, так и в теорию нелинейных дифференциальных уравнений для изучения существования и единственности решений, их непрерывной зависимости от начальных данных, правых частей и параметров, нелокальной продолжимости решений, сходимости приближений, притяжения, ограниченности, диссипа-тивности относительно множеств, конвергенции, влияния возмущений и т.д. С введением ВФЛ метод Ляпунова обрёл второе дыхание. По существу, был создан общий метод в теории устойчивости, нелинейной динамике и теории управления, ставший фундаментом современного анализа разных динамических свойств сложных систем (Large-scale Systems).
Сравнительный анализ первых публикаций по методу ВФЛ
Bellman R. Vector Lyapunov Functions //J. SIAM Control. Ser. A. 1962. V. 1. No. 1. P. 32-34 (поступила в редакцию 29.05.1962). Матросов В.М. [2] (поступила в редакцию 30.06.1962).
Изучается структурированная система с выделенной линейной частью и двумя выделенными подсистемами: х = Ах + By + h(x, у), х £ Rm, У = Сх + Dy + д(х, у), у € R". Изучается нелинейная конечномерная система общего вида х = Х(х^), ж € И", явное выделение подсистем не обязательно.
Используется вектор-функция с двумя компонентами и = (ж, Дж) и v = = (у, Sy) являющимися квадратичными скалярными функциями Ляпунова для двух выделенных линейных подсистем. Используется набор из произвольного конечного числа функций (т.е. фактически вектор-функция с произвольным числом компонент) Vi (ж, í),..., У/Дж, t). Эти функции не обязаны быть квадратичными формами и скалярными функциями Ляпунова для неких выделенных линейных подсистем.
Используется представимость производной в силу системы двумерной вспомогательной системой вида: U = — ОцМ + £/12 i' + blknU, v = 021 и — а 221' + bnkiv. Считается, что для производных в силу системы получены (каким угодно способом) оценки сверху К < /s(VÍ(a;,í),...,Vfc(a;,í),í), s = 1,... в классе W и рассматривается fc-мерная вспомогательная нелинейная система y = f(y,t) (few).
Используется лемма о линейных дифференциальных неравенствах типа ж < Ах с позитивной матрицей А. Используется теорема Важевского о нелинейных дифференциальных неравенствах У < f(y,t) типа Чаплыгина с квазимонотонной правой частью f(y,t).
Для изучаемой в статье Р. Беллма-на системы (1) при выполнении его условий всегда существует скалярная функция Ляпунова в классе квадратичных форм с постоянными коэффициентами (можно использовать выпуклую комбинацию ы(ж) и v(y)). В.М. Матросов привёл пример системы ¿i = (siní + e_t)xi + (siní — е~4)ж'2 — — ж'1 (ж2 + х\) sin2 í, ¿2 = (siní — e_t)xi + (siní + е~4)ж'2 — — ж'2 (ж2 + ж'о) sin2 t и показал, что для неё не существует скалярная функция из класса квадратичных форм с постоянными коэффициентами, удовлетворяющая условиям теорем Ляпунова или Кордуняну. Для этой системы Матросов построил двухкомпонент-ную ВФЛ с квадратичными компонентами, удовлетворяющую условиям его теоремы об устойчивости.
Вывод: Р. Беллман предложил удачный
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.