ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2015, том 79, № 5, с. 646-649
УДК 524.1-352
К ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ПО ПОТОКАМ СОЛНЕЧНЫХ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ © 2015 г. В. В. Учайкин, Р. Т. Сибатов, А. Н. Бызыкчи
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ульяновский государственный университет E-mail: vuchaikin@gmail.com, ren_sib@bk.ru, azy.baza@gmail.com
Распространение частиц солнечных космических лучей в межпланетном магнитном поле рассматривается как случайное блуждание вдоль магнитно-силовых линий с конечной (в отличие от других расчетов) скоростью свободного движения и неэкспоненциальным (степенного типа) распределением свободного пробега. Пропагатор представляется в виде суммы прямого (нерассеянного) потока (сингулярная часть решения) и многократно рассеянного потока (регулярная часть). В асимптотике больших времен регулярная часть описывается уравнением с материальной производной дробного порядка. На основе полученных авторами аналитических выражений для пропагаторов выполнены численные расчеты потоков энергетических частиц, ускоренных ударными волнами от солнечных вспышек. Предложенная в данной работе модель показывает лучшее согласие с данными Улисса и Вояджера-2, чем расчеты по модели Перри и Зимбардо, и может быть рекомендована для интерпретации результатов дальнейших экспериментов.
DOI: 10.7868/S0367676515050427
Простейшей моделью распространения частиц солнечных космических лучей (СКЛ) при их рассеянии на неоднородностях межпланетного магнитного поля является модель изотропной диффузии [1]. В частности, до недавнего времени считалось, что обычное диффузионное уравнение удовлетворительно описывает кинетику и время наступления максимума потока частиц с заданной энергией Е [2, 3]. Однако новые экспериментальные данные [4—6] и численные расчеты распространения частиц в присутствии магнитной турбулентности [7—10] показали существование режимов аномальной диффузии, отличающихся от нормального (гауссова) режима формой диффузионного пакета и зависимостью его ширины А (г )от времени:
Д(0 ж гу, V < 1/2 (субдиффузия) или V > 1/2 (супердиффузия). Авторы работ [11—14] рассматривают одномерную аномальную диффузию как случайное блуждание с асимптотически степенным распределением р(2) ж %-а-1, 0 < а < 2 которое иногда называется фрактальным блужданием.
Следует отметить, что результаты численных расчетов [7—9] свидетельствуют о супердиффузионном режиме продольного (по отношению к линиям магнитного поля) распространения частиц, причем параметры супердиффузии определяются отношением ларморовского радиуса к корреляционной длине, а также уровнем и анизотропией турбулентности.
Перри и Зимбардо [4—6] анализировали наборы данных по потокам частиц, ускоренных межпланетными ударными волнами, связанными с областями коротационного взаимодействия, которые были зафиксированы космическими аппаратами Улисс и Вояджер-2. Они предложили процедуру вычисления временного профиля энергетических частиц, используя формализм пропагаторов (плотностей распределения О(х, г) вероятностей продольного смещения частицы за время ?). Авторы работы [4] обосновывают, что источник ускоренных в межпланетных ударных волнах частиц, связанный с областями коротационного взаимодействия, может быть описан с помощью функции
fsh(z, E, t) = /0(E)5(z - ysht),
(1)
где /0(Е) — плотность распределения энергии частиц, инжектируемых фронтом ударной волны, УвЬ — скорость ударной волны. После подстановки гауссова пропагатора
G(z, t) =
1
exp
2
z
4Dt
(2)
и функции источника /¿(г, Е, г) в формулу для временного профиля частиц
г ад
/(г, Е, г) = jdf | - г', г - /г', Е, О (3)
0 -ад
К ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ПО ПОТОКАМ СОЛНЕЧНЫХ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ
647
авторы [4, 5] получают экспоненциально убывающую функцию
/ (0, Е, ?) = /(Е) ехр
Б
(4)
Здесь г — это расстояние вдоль поля от фронта ударной волны, Б — коэффициент продольной диффузии, А? = ?ск -1 — разница между временем достижения детектора ударной волной и моментом наблюдения. Этот результат согласуется с результатами наблюдений для протонов (Е ~ 760-4900 кэВ), представленных в работе [5]. Однако профили, представленные в [5] для электронов (40—1200 кэВ) и в [6] для электронов и протонов, демонстрируют степенной хвост, не согласующийся с (4).
Для описания супердиффузионного режима Перри и Зимбардо [4—6] использовали довольно грубую аппроксимациию решения, полученную в [11]:
^ ?) = Ь-ОГг> г
(5)
дробно-дифференциальной модели, в которой процесс этот выглядит как последовательность мгновенных перелетов, перемежаемых долгими пребываниями в состоянии покоя [14]. Распределение пробегов между этими событиями характеризуется степенным, а не экспоненциальным законом, что, во-первых, лучше соответствует автомодельному характеру турбулентной среды вообще и межпланетным магнитным полям в частности и, во-вторых, представляет траектории промежуточного (между баллистическим и броуновскими) типа. Наличие параметра модели а е (0,2]. позволяет в широком диапазоне менять свойства этих траекторий, отражающих, в конечном итоге, свойства межпланетной среды.
Продольный пропагатор связан с частотой столкновений м>(г, t) соотношением
0(1, ?) =
= |[и>(г -и?,? - т) + у2м>(г + и?,? - т)]Р(ит)<^т,
(6)
где Ь — константа и 1 < а < 2 — параметр фрактальных блужданий. С использованием этого пропагатора авторы [4—6] приходят к степенной зависимости
/(0, Е, ?) = |0(0 - г', ? - /(г', Е, О^'Л' « (Д?)1-а, 1 < а < 2.
Использованная аппроксимация позволила авторам лишь установить сам факт наличия аномальной кинетики (т.е., определить степенной характер долговременной асимптотики), но воспроизвести предасимптотическую часть оказалась неспособной.
В настоящей работе представлены некоторые результаты расчетов этих процессов, выполненных на основе нашей модели [12], адекватно описывающей не только "хвосты" наблюдаемой кинетики, но и предасимптотическую часть. Напомним основные положения нашей модели, отличающие ее от стандартной дробно-дифференциальной модели. Движение заряженных частиц СКЛ рассматривается как случайное блуждание частиц вдоль линий магнитного поля с постоянной скоростью и, меняя время от времени направление движения. Наличие конечной скорости свободного движения частиц радикальным образом отличает нашу модель от стандартной
где Р(г) = ^ р(г')^г' — дополнительная функция
распределения пробега. После совершенного пробега частица движется в положительном направлении с вероятностью у1 и в отрицательном направлении с вероятностью у 2 = 1 - у1. Если частица начинает движение из начала координат в момент времени ? = 0, интегральное уравнение для функции плотности вероятности w(z, ?) имеет форму
у(1,?) =
|[у1^(г -и?,? - т) + у2м>(г + и?,? - т)] х
(7)
х р(ит)йт + 8(г)5(?)
Подстановка (7) в (6) приводит к представлению решения 0(г, ?) в виде суммы сингулярной части 00(г, ?), сконцентрированной в точках г = ±vt (концентрация частиц, не менявших своего направления), и регулярной части 08 (г, ?), -V ? < г <v ?, представляющей многократно рассеянные частицы. За пределами отрезка [-V ?, V ?] пропагатор обращается в нуль. Разрешая представленную систему уравнений с помощью преобразования Фурье—Лапласа в асимметричном случае мы имеем для случая (0 < а < 1, бесконечное математическое ожидание пробега):
0
0
0^ (г, ?) =
28т па
У1У2(1 - г VО2?2)
а-1
пи? у2(1 - г/и?)2а + у2(1 + г/и?)2а + 2у1у2(1 - г 2/и2?2)а со§ па ае (0,1).
648
УЧАЙКИН и др.
Плотности распределения такого типа были получены Ламперти в рамках модели бинарного процесса восстановления и использовались в статистической
Операторы
физике слабо неэргодических систем. Функция (8) представляет асимптотическую часть регулярного компонента решения уравнения (подробнее см. [12])
Y2 [dt + vdz) +Y1 vdz)
G(z, t) =
t-
Г(1 - а)
[y2S(z + ut) + Y1§(z - ut)].
(9)
Г(1 -а) \dt dz.
dt ± u| ) Gfct)=rrb(l ± Udz) JG(z - ut - T)(t - TrdT, 0 <а <
Ж/(см2 ■ c ■ cp ■ МэВ)
101
1O0
101 =
—I_I_I_I I I I I_I_I_I_I_I I I I I_I_I_I
12
101
102 At, часы
10'
10-
10
101
101
102 At, сут
Сопоставление наших решений (штриховая линия и штрихпунктир) с результатами модели [4] (сплошные линии) и экспериментальными данными (точки): а -временные зависимости потоков электронов. Точки восстановлены авторами [4] по данным Улисса (22 января 1993 года, 5 а. е.) для электронов с энергиями в диапазонах 42—65 кэВ (х) и 65-112 кэВ (О); сплошные линии — степенные зависимости (11) с а = 1.62 и а = 1.47; б - временные зависимости потоков протонов; точки восстановлены авторами [4—6] по данным Улисса (22 января 1993 г., 5 а. е.) для диапазонов 761-1223 кэВ (Л),1223-4974 кэВ (о); и по данным Вояджера-2 (2006-2007 гг., 83.7 а. е.) для диапазонов 540-990 кэВ (О), 990-2140 кэВ (V), 21403500 кэВ (•); сплошные линии - зависимости (11) с а = 1.80; 1.85 и 1.90.
представляют собой материальные производные дробного порядка.
Для второго случая: 1 < а < 2 асимптотическое решение выражается через устойчивую плотность
G(z, t) = (Kt)-1/a g ((z - Po0(K0-1/a; a; p). (10)
Здесь K = — sin ——, g(z; a, p) — устойчивая m 2
плотность Леви [14]. Соотношение (10) может быть переписано в форме обратного преобразования Фурье—Лапласа, которое приводит к диффузионному уравнению с дробными операторами:
cv[
m
dp(z, t) dt
Y1-»Da ■
■ v(Y1 - Y2) - Y2 zD'+œ
dp(z, t)
dz
] p(z, t) = 8fe)ô(t).
Здесь Da и г- левосторонняя и правосторонняя производные Римана-Лиувилля дробного порядка, с - масштабный параметр степенного распределения пробегов, X - средний пробег.
Фронтальный всплеск потока космических лучей, даваемый сингулярным компонентом
г) = ^^[ - иг) + 5(г + иг)], приводит к временному профилю степенного типа
МЕ)(суУа УА ~а
/ (0, E, t) = ■
2(и - Vj-a Г(1 - а)' показатель которого (-а ) отличается на единицу от
асимптотики для (10): f(0, E, t) к YsJ\, (1 < a < 2 ). В пространственно-временной области, удаленной от всплеска, основную роль играет регулярный компонент решения, который и был использован в дальнейших расчет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.