АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 5, с. 625-631
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 539.3
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МЕХАНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ АКУСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
© 2007 г. В. И. Ерофеев, В. А. Зазнобин*, Р. В. Самохвалов*
Нижегородский филиал института машиноведения РАН 603024 г. Нижний Новгород, ул. Белинского 85 E-mail: erf04@sinn.ru *Научно-исследовательский институт измерительных систем 603950 г. Нижний Новгород, ГСП-486 E-mail: vzaznobin@mail.ru Поступила в редакцию 17.05.06 г.
Рассмотрены варианты линеаризированных задач о распространении упругих волн в телах с начальными напряжениями. Приведен анализ влияния применения различных вариантов линеаризированной теории упругости на расчетную величину акустоупругого эффекта для продольных, поперечных волн и поверхностных волн Рэлея. Произведено сравнение полученных теоретических данных с экспериментальными. Приведены экспериментальные результаты влияния изгибных напряжений на скорость распространения поверхностных волн Рэлея, что расширяет круг задач, решаемых при помощи эффекта акустоупругости.
PACS: 43.35.Zc
В настоящее время известно о влиянии начальных напряжений на скорость упругих волн в твердых телах (эффект акустоупругости). На основе этого эффекта созданы и разрабатываются ультразвуковые приборы измерения напряжений металлоконструкций, поскольку возможности ультразвуковой техники позволяют фиксировать незначительные изменения скоростей ультразвуковых волн под влиянием начальных напряжений. В работе исследуется влияние применения различных вариантов теории упругости (теории больших и малых начальных деформации, учет третьего и четвертого порядков в упругом потенциале) на расчетную величину акустоупругого эффекта и сравнение полученных данных с экспериментом.
Поведение акустических волн в предварительно напряженных твердых изотропных телах описывается при помощи линеаризированной теории упругости [1]. Рассматривается два состояния: невозмущенное (начальное) и возмущенное. Линеаризированные соотношения упругости, уравнения движения и граничные условия получаются путем разложения соответствующих величин (деформаций - е'у, перемещений - и] и напряжений
I ч
Су) на сумму из двух составляющих: начальные значения (напряжения, деформации, перемещения) и их возмущения:
где величины, относящиеся к начальному состоянию, отмечены индексом нуль, величины без индексов относятся к возмущенному состоянию.
Для получения закономерностей распространения акустических волн в предварительно напряженных телах основные соотношения для возмущенного состояния линеаризуются в окрестности значений соответствующих величин невозмущенного состояния [1, 2].
Учитывая геометрическую нелинейность, тензор деформаций для начального состояния в перемещениях выглядит следующим образом (индексом ноль будем отмечать все величины относящиеся к начальному состоянию):
0_1 ( 0,0,0 0 . ец = Т (ui, i + ui, i + uk, iuk, i),
(2)
для возмущений:
£u = 1 (u',j + uj, i + u°iuk, j + uk,iu°k, j)• (3)
В случае однородного начального состояния, определяемого выражениями
um = 5im(^i -1)Xi, Xi = COnSt, (4)
где bim - символ Кронекера, вычислим величины е0, и е-. Из выражений (2), (3) и (4) находим:
u, = ui + ui
е.. = е + е
= О, + (1)
2 е0,- = 5i,(X2 - 1)
2 = ^ - + Xjuh i.
(5)
(6)
Функцию упругой энергии выберем в виде потенциала типа Мурнагана:
Ф = 2- М] + цЛ2 + А3 + ЪЛХ Л2 + С Аз, (7)
где X, ц - константы Ламе, а, Ъ, с - константы упругости третьего порядка, Л1, Л2, Л3 - алгебраические инварианты тензора деформаций:
Л1 = eгг, Л2 = eгkekг, Л3 = ■
Линеаризированные уравнения состояния при однородной начальной деформации для изотропных тел получаются путем дифференцирования упругого потенциала (7) по соответствующим компонентам тензора деформаций:
= 2 (эд" + эд")Ф ■
В полученных уравнениях состояния к компонентам тензора деформаций прибавляются соответствующие деформации возмущений. Из полученных таким образом соотношений, пренебрегая квадратами и произведениями возмущений, вычитаются соотношения невозмущенного состояния [1].
Учитывая (5), (6), получим линеаризированные соотношения упругости в перемещениях, учитывающие геометрическую нелинейность:
С. = Ь1]а1к'Ккикук + (1 - б^ц/^и-. + г), (8) где
а, = (X + 2 ц) + 2 (а + Ъ )екк + 2 (2 Ъ + с )е°., (9)
аг, = X + 2(a + b)е0кк, (i Ф j),
(10)
где р - объемная плотность вещества. В случае статической задачи для начального состояния уравнения движения перепишутся в виде
(Ош(6„и + u„ n)),i = 0
(13)
Подставляя в (12) выражения типа (1) и учитывая (13) получим линеаризированные уравнения движения:
P«i = (Vmn(Ki + n) +
n ) J
(14)
Подставляя уравнения состояния (8) в уравнения движения (14), ищем решение получившегося соотношения в виде плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении x1, учитывая изменение размеров тела при начальной деформации:
, ik(%!X,- Ct) .
ui = uie + k.c., i = 1, 2, 3, (15)
где ui = const - амплитуда, k - волновое число, C -фазовая скорость волны. Выражение (15) учитывает изменение положения точек тела, обусловленных начальной деформацией (в экспоненте введен множитель Xj), это корректно при сравнении расчетных данных с экспериментальными.
После подстановки получим систему алгебраических уравнений относительно амплитуды ui. Система имеет три корня и ее решением будут три различных скорости распространения волны. Если волна распространяется в направлении х1, то три корня уравнения определяются следующими соотношениями:
л 4 . 0 л 2 л 2 л 2 . 0 л 2
Р Cl = х1а11+ a„ Xb p Cs2 = Xi X2 M>12 + V11 X1,
Р C23 = X2X2 M>13 + V11 X2,
(16)
Цц = ц + Ъ^кк + с- (4 + Ф, (1 * .) ■ (11)
Следует отметить, что а. = а.1 и ц. = ц.. Величину X (коэффициент удлинения материального волокна) найдем из уравнений начального состояния, учитывая (5):
,2 ,.1( 0 X 0 ^ х2 = 1+1- (°о °кк;,
где К0 - модуль всестороннего сжатия (модуль сдвига), который равен X + (2/3)ц.
Линеаризированные уравнения движения получаются аналогично алгоритму получения линеаризированных уравнений состояния. Уравнения движения элемента сплошной среды в координатах недеформированного тела можно представить в виде:
где С1 - фазовая скорость продольной волны, С,2 -фазовая скорость поперечной волны, поляризованной вдоль направления х2, С,3 - фазовая скорость поперечной волны, поляризованной вдоль направления х3.
При учете физической нелинейности четвертого порядка упругий потенциал выбирается в виде [3]:
ф = 1 хл2 + цЛ2 + а л1 + ЪЛ1Л2 + С Лз +
2 3 3 (17)
+ У1Л1 + у 2 Л2 Л2 + у з Л1 Лз + у 4Л2,
где у- - константы упругости четвертого порядка [5], тогда выражения (9)-(11) примут вид:
а-- = (X + 2 ц) + 2( а + Ъ )екк + 2 (2 Ъ + с )е° + + (12 у 1 + 2у 2 )(Ее кк)2 + (3 у з + 8 у 4 )е°2 + (18)
РUi = n(5nm + um, n))г
(12)
+ (2 y 2 + 4 y 4 )£e kk + (By 2 + 6y 3 )e0 ek*
a1] = X + 2( a + Ь ^ + (12 у 1 + 4 у 2 Х^)^
2
+ (2 У 2 + 3у з )е kk +8 у 4 е°-е°-5
,70 . С , 0 , О ч , /Т О ч2
—] = — + ь ekk + 2 (е« + ] + т +
, 3У3, 0 . 0 ч 0 / ■ , -Ч
+ —(еп + е^ь (l *]).
(19)
(20)
- К
2 —I
X] = 1 + ;-1-1001 -з^ с£к 1.
Пусть поверхностная волна распространяется в направлении хъ то есть и1(х1, х2, (), и2(х1, х2, О, и3 = 0. Тогда, подставляя (8) в линеаризированные уравнения движения (14), как это предложено в [5], для перемещений получим:
При использовании геометрически линейной теории, пренебрегая произведением частных производных по сравнению с самими производными в выражении для компонент тензора деформаций (2), все рассуждения остаются справедливыми, но соотношения упругости и уравнения движения упростятся:
С1] = %а1кик,к +(1- 81])-1](и- ] + и], 1),
Ри1 = (С1т + С°гпит, п),1.
Поскольку выражения для компонентов тензора деформаций начального состояния (5) перепишутся в виде
4 = &](Хг - 1 ),
коэффициент удлинения материального волокна для случая малых деформаций будет равен
2 0 2 р И1 = аи Х1 иь 11+ С„ иь11 + -12X1 и 1,22 +
+ а12Х1 Х2и2, 12 + —12 Х1 Х2 и2, 125
2 0 2 р 112 = а22Х2и2, 22 + С11 и2, 11+ —12Х2и2, 11 +
+ а^Хт X
12'Ч/Ь2"1, 12
+ —12 Х1 Х2 и1, 12.
(21)
(22)
Решение уравнений (21), (22) ищем в виде бегущей волны:
1к(%! х,- сгг)
и1 = ф(Х2 х2) е + к.с.,
¿к(Х1 х^ — сгг)
и2 = ¥(Х2 х2) е + к.с.,
(23)
где Сг - фазовая скорость поверхностной волны Рэлея. Выражение (23) учитывает изменение положения точек тела, обусловленное начальной деформацией. Подставляя (23) в уравнения движения (21), (22) получаем систему из двух уравнений относительно амплитудных функций ф и у.
; 2, ^,2 Л 0 л 2Ч , л 2л 2 д
к (Р Сг - а11 Х1— С11 Х1 ) + —12Х1Х2-
+
Соотношения для расчета фазовых скоростей (16), в случае геометрически линейной теории с учетом изменения размеров тела, примут вид:
р с2 = х2 ап+ а°1 Х1, рс22 = х2—12 + с01 Х1,
Рс2з = х2—13 + Сп Х1.
Измерение механических напряжений при помощи волн Рэлея дает некоторые преимущества по сравнению с методом, использующим объемные волны: во-первых, возможность измерения изгибных напряжений [4], что невозможно, используя объемные волны; во-вторых, в отличие от методов, работающих на отражение, исключается влияние дефектов недоступной поверхности исследуемой конструкции. Недостатком данного способа является то, что для обеспечения достаточной для инженерных целей точности необходимо измерять относительное изменение скорости волн Рэлея с точностью 10-3-10-4%, что будет показано ниже.
Для определения влияния начальных напряжений на скорость распространения поверхностных волн Рэлея, решалась плоская динамическая задача с граничными условиями [5] по аналогичному алгоритму для объемных волн.
1кХ2 Х2(—12 + а12) д
д(Х 2 х2).
д(Х 2 х2 ) у = 0,
ф
,2, ^-,2 Л 2л 2 0л2Ч| л 4 д
к (рСг - —12X1X2 — С„Х1) + а22Х
+
ikXí X2 (—12 + а12) д
д(X2 х2).
2 д^ 2 х2 )2_
ф = 0.
у-
(24)
Возьмем амплитудные функции ф и у в виде, приведенном в [6], где х2) - функция, подлежащая определению:
у=
ф = -г^2^—12 + а12) д (д ^ )
д(X 2 х2)
,2,^,2 л 2л 2 0 л 2Ч . л 4 д
к (рСг - —12X1X2- С„Xl) + а22X2-
д^ 2 х2)
(25)
V.
(26)
Подставляя (25) и (26) в уравнение движения (24), получи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.