ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 3, с. 529-535
УДК 519.634
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ОПЕРАТОРОВ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ
ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛОЕ
© 2014 г. М. Г. Мурадян
(0025 Ереван, ул. Налбандян, 128, Армянский гос. экон. ун-т, Республика Армения) e-mail: maxim_muradyan@yahoo.com Поступила в редакцию 06.12.2012 г.
В рамках дискретной модели переноса излучения предлагается способ нахождения операторов отражения и пропускания в консервативном случае. Библ. 14.
Ключевые слова: перенос излучения, операторы отражения и пропускания, вычислительный алгоритм.
doi: 10.7868/S0044466914030132
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучается дискретная модель стационарной задачи когерентного анизотропного рассеяния в однородном плоском слое, которая описывается системой дифференциальных уравнений вида (см. [1], [2]):
— =- Ax + L+x + L'y, — ddy = - Ay + Lx + L+y, 0 <x< r <да. (1)
d t dx
Здесь A и L± — не зависящие от x квадратные матрицы порядка n, A — диагональная матрица с положительными диагональными элементами a,, L± = ( ) — неотрицательные матрицы, причем L- — неразложимая матрица. Матрицы L± и A связаны условием балансности
n
X ( + l— ) = Xai, i = 1' n, (2)
j = 1
где X e [0, 1] — вероятность выживания частицы при элементарном акте рассеяния, n-мерные вектор — функции x(x) и y(x) — интенсивности излучения на глубине x по направлениям возрастания и убывания x соответственно.
К дифференциальным уравнениям (1) обычно присоединяют естественные краевые условия
x(0) = а, y(r) = р, 0 <x< r, (3)
которые означают, что среда освещается с левой стороны излучением а, а с правой стороны — излучением р.
Обычно различают две принципиально разные ситуации — диссипативный случай, когда X < 1, и консервативный случай, когда X = 1.
Надо отметить, что диссипативный случай легче поддается изучению и более детально изучен, чем консервативный случай (см., например, [3], [4]).
В [5] доказано, что задача (1)—(3) однозначно разрешима при любых а, р и r. Вопросы существования и единственности ассоциированных с (1)—(3) матричных уравнений Риккати впервые рассмотрены в [6]. С уравнением (1) тесно связано матричное уравнение относительно квадратной матрицы р = (р,у):
A р + рА = L + L+p + pL+ + р Lp. (4)
11
529
Уравнение (4) является аналогом известного уравнения Амбарцумяна относительно коэффициента яркости для задачи переноса излучения в однородном полупространстве (см. [7]). Разработан (см. [8]) устойчивый алгоритм определения "физического" решения уравнения (4). Оно является пределом следующих итераций:
Арп +1 + Р„ + А = Ь + Ь+р„ + р„Ь+ + рпгрп, Ро = 0, и обладает свойствами
п
Ри > о, £Ри <Х, I = ~п. (5)
] = 1
В исследовании задачи (1), (2) центральное место занимает полугруппа операторов отражения Х(т), которая определена матричной задачей Коши
— = (- А + Ь+ + Ь»Х, Х( о) = I, (6)
й т
где I — единичная матрица, р — решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (5). В [3] доказано, что матрица X = (Х0 удовлетворяет условиям
п
Хц(т)> 0, £ Хи(т)<Х, I = ~п. (7)
] = 1
В [9] доказано, что в диссипативном случае общее решение системы (1) на [0, г] можно сконструировать посредством матриц р и Х(т) следующим образом:
х(т) = Х(т)и + рХ(г - т) V, у(т) = рХ(т)и + Х(г - т) V, (8)
где и и V — произвольные п — мерные векторы.
Следует отметить, что при любых значениях а и р, подходящим выбором векторов и и V, из (8) можно извлечь решение краевой задачи (1) , (3). А именно,
и = (I- Ц)-1 (а - Щ), V = (I- Ц)-1(р - Wа), (9)
где Ж = рХ(г). Обратимость матрицы I — Ж2 следует из легкопроверяемого факта
п
Ци > 0, £ Ци <х2 < 1, I = ТТП, (10)
] = 1
и из известных теорем теории матриц (см. [10]).
Ниже будет доказано, что в консервативном случае имеем
п
£ = 1, I = ~п, (11)
] = 1
поэтому формулы (9) теряют смысл, поскольку матрица I — Ж2 необратима.
Таким образом, в консервативном случае из формул (8) невозможно получить решение краевой задачи (1), (3) , хотя оно существует и единственно.
В настоящей статье формулы (8) модифицированы с той целью, чтобы они могли быть применены и в консервативном случае.
В задачах переноса в плоском слое важную роль играют операторы отражения и пропускания. Каждому однородному слою толщины г соответствует оператор отражения Я(г) и оператор пропускания Т(г). По смыслу этих операторов, если среда слева освещена излучением а, а справа — излучением р, то из среды слева выходит излучение Яа + ТР, а справа — излучение Та + Яр.
В рамках дискретной модели переноса излучения Я и Т представляют собой квадратные матрицы порядка п: Я = (Я,у), Т = (Ту). Если выполняется условие (2), то (см. [1], [3])
п
Я1;- > 0, Т„ > 0, £ (Я1;- + Ти)<Х, I = ТТп. (12)
Известно (см. [1], [2], [11]), что операторы R(т) и Т(т) удовлетворяют следующим задачам Коши (0 < т < г):
— + ЯА + АЯ = Ь + Ь+Я + ЯЬ+ + ЯЬ Я, Я(о) = 0, (13)
йт
— = Т(- А + Ь + Ь- Я (т)), Т(о) = I. (14)
й т
Определение R(r) и T(г) путем решения этих задач (13)—(14) можно считать приемлемым путем. Однако существуют формулы, которые позволяют избежать решения этих дифференциальных уравнений (см. [3], [4]):
Т = (X- р Ж)(I- Ж)-1, Я = (р - ХЖ)(I- Ж)-1. (15)
Формулы (15) основаны на соотношениях
Х( г) = Т + ЯЖ, р = Я + ТЖ, (16)
которые ранее, рассуждениями на физическом уровне, были установлены в [12].
Формулы (15) особенно эффективны, когда промежуток интегрирования достаточно большой. Можно сформулировать следующий алгоритм реализации этих формул.
1. Из уравнения (4) путем итераций находится матрица р.
2. Из (6) находится матрица X(r) (важно отметить, что матрица —A + L+ + L р не зависит от т).
3. Определяется матрица (I — Ж2)-1, где Ж = рX(r): при этом, учитывая свойства (10), можно использовать формулу
(I- ж2)-1 = I + Ж2 + Ж + ...
Из (11) видно, что в консервативном случае формулы (15) теряют смысл.
В настоящей работе построены формулы, аналогичные формулам (15), в консервативном случае. Ниже будет рассмотрен консервативный случай. С помощью «-мерного вектора столбца а = = (1, 1, ..., 1)т (т — знак транспонирования) условие консервативности можно записать в форме
(Ь+ + Ь )а = Аа, а = (1, 1, ..., 1 )т. (17)
2. СООТНОШЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОСТИ
Сначала отметим, что уравнение (4) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям (5), причем оно является неразложимой матрицей (см. [13]). В консервативном случае соотношение (5) можно уточнить.
Лемма 1. В консервативном случае имеют место равенства
п
£рц = 1, I = ~п. (18)
] = 1
Доказательство. Нетрудно проверить, что р удовлетворяет матричному уравнению
(- А + Ь+ + рЬ )(I- р) = (I + р)(- А + Ь + + Ь ), откуда с учетом (17) следует, что
(- А + Ь + + рЬ )(!- р)а = 0.
Отсюда получается, что (I — р)а = 0 (т.е. матрица р удовлетворяет условию (18)), или ёе^—А + + L+ + рL-) = 0. Уравнение (4) также можно переписать в виде
(- А + Ь+ + рЬ )(! + р) = (I- р)(- А + Ь+ - Ь-). (19)
Убедимся, что —А + L+ — L есть обратимая матрица. Действительно, из соотношения консервативности (17) следует, что спектральный радиус матрицы + L ) равен единице. Из этого,
с учетом неразложимости матрицы L , следует, что спектральный радиус матрицы — L )
меньше единицы. Следовательно, матрица —A + L+ — L обратима.
Пусть ёе^—A + L+ + рL-) = 0. Из (19) теперь следует, что (I — р) есть необратимая матрица. Так как р неразложима и удовлетворяет условию 2*= 1 р^ < 1, i = 1, п , то по теореме Тауски (см. [10]), должны выполняться равенства (18). Лемма доказана.
Лемма 2. В консервативном случае при каждом значении т имеют место равенства
п
£ ХДт) = 1, I = ТГп. (20)
1 = 1
Доказательство. Из уравнения (6) следует, что X(т) = ехрQт, где Q = —A + L+ + L р. Следовательно, X(т) можно представить в виде
1 2 1 3
Х(т) = I + От + -1- О т + - О т + ... . 2! 3!
Поскольку Qа = (—A + L+ + L-р)а = (—A + L+ + L-)а = 0, то X(т)а = а, что равносильно равенству (20). Лемма доказана.
Следствие 1. В консервативном случае справедливы равенства
п
£ \ 1, I = ттп. (21)
1 = 1
Действительно, по определению W= рX(r). С учетом X(r)а = а и ра = а получается, что Wа = а.
Лемма 3. В консервативном случае 0 является простым собственным значением матрицы Q = = —A + L+ + L-р, остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части.
Доказательство. Введем норму матрицы B = ф^ и вектор-столбца х = (х1, ..., хи)т следующим образом:
= тах£|Ь\,
||х|| = тах|х\|
Рассмотрим матрицу X(1) = ехр(—A + L+ + L-р). Из (20) следует, что |^(1)|| = 1, поэтому все собственные значения матрицы X(1) по модулю не превосходят 1. Очевидно, что 1 является собственным значением X(1). В [14] доказано, что X(1) имеет только одно (простое) собственное значение с максимальным модулем 1.
Очевидно, что 0 является собственным значением матрицы Q, причем из вышесказанного следует, что это простое собственное значение. Поскольку все собственные значения матрицы X(1), кроме 1, по модулю меньше единицы, то все остальные собственные значения матрицы Q имеют отрицательные вещественные части. Лемма доказана.
п
3. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ (1) Непосредственной проверкой можно убедиться, что справедливы следующие утверждения. Лемма 4. Если вектор х(т) удовлетворяет уравнению
— = (- А + Ь + Ь-р)х, (22)
й т
а р является решением уравнения (4), то пара вектор-функций х(т), рх(т) удовлетворяет системе (1). Решением системы (1) является также пара вектор-функций рхф — т), х(г — т).
Лемма 4 указывает путь построения общего решения системы (1) в диссипативном случае. Пусть х1(т), х2(т), ..., хп(т) есть какая-нибудь фундаментальная система решений уравнения (22)
(например, столбцы матрицы Х(т)). Тем самым мы найдем п линейно независимых решений системы (1):
Х1 (т) V р(т)У
Х2(т) V рХ2(т)
Хп (т)
V рХп(т) )
(23)
Из второго утверждения леммы 4 следует, что еще п независимых решений системы (1) образуют вектор-функции
РХ1 (г - т)
V х1 (г - т) )
РХ2(Г - Т)
V Х2(Г - т) )
РХп(Г - т)
V Хп(Г - т) )
(24)
В диссипативном случае совокупности векторов (23) и (24) вместе образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Однако в консервативном случае э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.