ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 2, 2004
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 621 01:534.1
© 2004 г. Вульфсон И.И., Вульфсон М.Н.
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРИВЕДЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ СОЕДИНЕНИЙ УПРУГОДИССИПАТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИВОДОВ МАШИН
Исследуются особенности динамических моделей, включающих два последовательно соединенных упругодиссипативных элемента, в которых диссипация обусловлена гистерезисным, вязким и сухим тением. Выявлены некоторые аномальные свойства систем, представленных в виде моделей с "дробным" числом степеней свободы. Установлены оптимальные соотношения параметров, соответствующих минимуму резонансной амплитуды.
1. Учету диссипативных характеристик при решении задач динамики механических систем посвящено большое число общетеоретических и прикладных исследований, частично обобщенных в монографиях [1-4]. Тем не менее при выполнении инженерных расчетов нередко возникают специфические вопросы, связанные с корректным использованием ограниченной информации о диссипативных силах и рациональном использовании этой информации для снижения виброактивности машин. Исходная информация об уровне диссипации отдельных элементов обычно заимствуется из экспериментальных материалов в форме некоторых интегральных характеристик, таких как коэффициент рассеяния у; или логарифмический декремент у, которые получены при моногармонических колебаниях эталонных моделей. При параллельном и последовательном соединении упругодиссипативных элементов приведенные значения коэффициента рассеяния у* на основании условий энергетического баланса можно записать следующим образом:
у* = ^ с{ у / ^ с { - параллельное соединение,
;=1 ;=1 а) п п
у* = ^ у;/^ е; - последовательное соединение,
;=1 ;=1
где с¡ - коэффициент жесткости; е; = с\ 1) - коэффициент податливости; п - число упругодиссипативных элементов.
Зависимости (1) свидетельствуют о том, что роль того или иного упругодиссипа-тивного элемента в формировании диссипативных свойств системы определяется не
п
п
U
Vl
- Hsign qi
JV2
^(г) только коэффициентом рассеяния у, но и энергоемкос-
тью данного элемента. С этим обстоятельством связан парадокс, установленный Ю.К. Фавстовым, состоящий в том, что покрытия с большим коэффициентом рассеяния зачастую хуже демпфируют колебания, чем покрытия с меньшим коэффициентом рассеяния [5]. В данном случае задача сводится к системе с параллельно соединенными распределенными упругодиссипативными элементами, в которой определяющую роль согласно (1) играет произведение ciyi или E^, где Ei - модуль упругости покрытия.
Рис. 1 Противоположные тенденции обнаружены при исследова-
нии демпфирующих свойств затянутых конических и резьбовых соединений [6]. В этом случае имеет место последовательное соединение упру-годиссипативных элементов, что приводит к падающей зависимости коэффициента рассеяния от давления, увеличению которого сопутствует рост жесткости стыка. При
этом согласно (1) уменьшение произведения eiyi = c,1 у приводит к уменьшению у*.
Зависимости (1) и приведенные примеры показывают, что задача снижения виброактивности системы и оптимизация ее параметров требуют комплексного подхода к проблеме.
Следует подчеркнуть, что между параллельным и последовательным соединением упругодиссипативных элементов имеется существенное различие, состоящее в том, что в последнем случае порядок системы дифференциальных уравнений за счет каждого элемента возрастает на единицу. Нередко это трактуется как дополнительная 1/2 степень свободы колебательной системы. При инженерных расчетах колебаний машин такая ситуация обычно возникает в тех случаях, когда точки приложения доминирующих обобщенных диссипативных сил не совпадают с местом расположения сосредоточенных масс или моментов инерции [4]. Рассмотрим некоторые особенности проявления диссипативных сил в вырожденной колебательной системе.
2. На рис. 1 представлена модель двухступенчатого соединения упругодиссипативных элементов, встречающаяся в инженерных приложениях. С реологической точки зрения данная модель представляет собой последовательное соединение двух элементов Кельвина-Фойгта, разделенных элементов Сен-Венана, и описывается системой дифференциальных уравнений
mqi + bi qi- bi q2 + c^- cq = Q (t),
(2)
- biq_i + (bi + b2)(¡2 - ciQi + (c1 + c2)¡2 = -IHl sign¡2> где m - масса; q1, q2 - обобщенные координаты; Q - обобщенная сила; H - сила куло-нова трения; bi - коэффициенты эквивалентной силы линейного сопротивления.
Рассмотрим некоторые особенности данной модели при отсутствии кулонова трения (H = 0). В этом случае задачу обычно сводят к анализу системы с одной степенью свободы с собственной частотой
k J Z( 1- S* ) / ( 1 + Z) = kj Z( 1- S*) / ( 1 + Z),
(3)
где Z = C2/C1, k = Jci/m, S* = y*/4n.
Формулы (3) справедливы при так называемом частотно-независимом сопротивлении, когда V = const, bi = V;C;/(2nœ), где ю - частота колебаний. Отметим, что изменение параметра Z имеет двоякое происхождение, что особенно существенно при
предельных случаях. При c1 = const имеем p —«- 0 при Z —0 и p —► k1tJ 1 - S2 при Z —«- го. При фиксированном значении c2 = const имеем p = k2J 1 - Sj при Z = 0 и p —- 0 при Z —- го.
Анализ формул (3) показывает, что при 5* < 1 независимо от Z апериодическое решение отсутствует. Заметим, что к совершенно иному выводу можно прийти, если считать сопротивление чисто вязким. Тогда
p = 7c*/m - b*/(2m)2, (4)
где b* = (biZ2 + b2)/(1 + Z)2, c* = dC/(1 + Z).
Согласно формуле (4) при фиксированных значениях bt за счет уменьшения с* режим
может оказаться апериодическим. Например, при Z —имеем p = Jc1/m - b\/(2m)2.
2
Следовательно, при c1 < 0,25 b1 /m колебательный режим отсутствует.
Возникает вопрос, насколько переход от системы с полутора степенями свободы к системе с одной степенью свободы исказил частотные и диссипативные характеристики. Системе уравнений (2) при H = 0 отвечает характеристическое уравнение
3 2
m (b1 + b2 )X + [ m (c1 + c2) + b1b2 ]X + (b1c1 + b2 c2 )X + c1c2 = 0. (5)
Колебательному режиму соответствуют два комплексно-сопряженных корня уравнения (5) и один действительный 2 = -n ± ip, X3 = - а. Тогда при Q = 0
q1 = e~nt( C1cos pt + C2sin pt) + C3e~at, (6)
где Ci - произвольные постоянные.
Строго говоря, система уравнений (2) при H = 0 является линейной лишь при чисто вязком трении, когда bi = const. В инженерной практике чаще всего приходится сталкиваться со случаями, когда по крайней мере один из диссипативных элементов соответствует линейно эквивалентному сопротивлению при частотнонезависимом гистерезисном сопротивлении. Рассмотрим два наиболее распространенных случая.
Случай 1: у = const, у2 = const (частотно-независимое сопротивление в обоих контурах). При этом в безразмерной форме уравнение (5) принимает вид
252( 1 + Z)-1 (Z + Р1Д? + (1 + 4 52 р1 )Х2 + 2 52 (1 + р1 )Х 1 + 1 = 0, (7)
где Л.1 = X/k* - нормированное значение характеристического показателя; к* = = Vc*/m.
При Pi = 51/52 = 1 диссипативные свойства системы согласно (7) не зависят от Z. К такому же выводу приводит анализ значения 5* = 52(Z + P1)/(Z + 1). При 51 = 52 = 0
имеем X1 = ±i. Следовательноp = к*, а при Z —0 (с1 —► X1 = -52 ± ij 1 - 52, поэтому p = к* J1 - 52, n = 52к*. Сопоставление численных результатов, полученных
обоими способами свидетельствует о том, что их различие составляет доли процента. В данном случае корни уравнения (7) даже с принципиальной точки зрения не следует рассматривать в качестве уточнений, поскольку исходная модель не линейна, а система уравнений (2) реализует попытку представления нелинейных сил сопротивления с помощью эквивалентной линеаризации. На первый взгляд, коррективы принципиального характера связаны лишь с последним слагаемым формулы (6) и дополнительным начальным условием q2(0). Однако, как показывает анализ, действительный корень уравнения (7) имеет порядок 5*1, что при малых значениях 51 и 52 приводит к интенсивному уменьшению exp(-at). Таким образом, для случая 1 ин-
женерный расчет можно проводить, используя формулы (1) и (3), т.е. на базе приведенных значений модели с одной степенью свободы.
Определенный интерес представляет возможность выбора оптимальных параметров, соответствующих минимальному значению резонансной амплитуды. Так, при фиксированных значениях с1 и у2, минимуму резонансной амплитуды отвечает условие Z = (1 - 251)- , которое можно реализовать при в1 < 0,5.
Случай 2: у = const, b2 = const. При этом в первом контуре имеет место частично-независимое сопротивление, а во втором - вязкое. Такая ситуация может возникнуть при анализе машины с учетом динамической характеристики асинхронного электродвигателя, а также в некоторых системах виброизоляции с квазинулевой жесткостью. Частный случай при = 0 был исследован в работе [7] применительно к модели ротора промышленной турбины, установленного на упругодиссипативных подшипниковых опорах. Было выявлено существенное влияние дополнительной степени свободы на характер изменения частотных и диссипативных параметров при малых значениях Z = с2/с1. С целью избежать неопределенности при с2 —► 0 примем с1 фиксированным параметром, а переход к безразмерной форме характеристического показателя определим зависимостью X = X2 к (для случая 1 было принято X = X1 к*, тогда при Z —•• 0 имеем к* —»-
Характеристическое уравнение (5) в безразмерной форме имеет вид
(^1 + £2 )X3 + (1 + Z^2 )X2 + (£1 Z + £ 2 )X2 + Z = 0, (8)
где £1 = 25^/®, ^2 = b2/ Jcm .
При анализе свободных колебаний для определения следует принять ю = p. Поскольку собственная частота p пока не известна, можно воспользоваться методом последовательных приближений. Однако, существенное отличие p от значения к* имеет место лишь при больших значениях вязкого сопротивления. Обычно £2 > £1, поэтому целесообразно характерные особенности системы сначала исследовать при = 0.
Традиционный подход к проблеме учета диссипативных характеристик, основанный на зависимостях (1), при малых значениях Z и относительно большом вязком сопротивлении во втором контуре может привести к ошибкам не только количественного, но и качественного хара
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.