РАСПЛАВЫ
2 • 2004
УДК.541.18.(075.8)-532.6
© 2004 г. В. В. Кашин, В. П. Ченцов, А. Н. Дмитриев
К ОТРЫВУ КАПЛИ ОТ КАПИЛЛЯРА
Предложена модель, позволяющая рассчитывать вес отрывающейся капли от каппиляра при известном значении поверхностного натяжения жидкости. Получены аналитические выражения для расчета веса капель в зависимости от радиуса капилляра.
Метод взвешивания капли, по мнению авторов [1, 2] - наиболее распространенный лабораторный метод измерения поверхностного натяжения на границе жидкость-воздух и жидкость-жидкость. Предполагается, что если капля образуется достаточно медленно, то можно пользоваться теорией, относящейся к статистическому случаю - капиллярному поднятию жидкости. Поэтому считают, что дифференциальное уравнение, определяющее профиль висящей капли, является частным случаем уравнения
Рэлей [3], исходя из экспериментальных данных, приводит выражение для определения массы упавшей капли в виде
где о - поверхностное натяжение; r - радиус трубки, от которой отрывается капля; g -ускорение силы тяжести; р - плотность жидкости; F - функция, вид которой устанавливается экспериментально. Обозначив капиллярную постоянную а2 = о/pg, а объем упавшей капли, Vo = m/p, выражение (2) можно записать как
Приближенному интегрированию (1) для случая отрыва капли посвящена работа Лонштейна [4]. Он показал, что отрыв капли начинается с достижения ею максимального объема при постоянном радиусе ее периметра, определил путь вычисления этого объема численным методом и выдвинул предположение, что остаточная капля отрыва имеет то же значение угла наклона касательной, что и капля максимального объема. Это позволяет вычислить объем остаточной капли и по разнице - объем упавшей капли. Таким способом Лонштейн вычислил Р (3) в широком интервале г/а (от 0 до 3.22). Считается, что зависимость (3) важна для теории метода веса капли - одного из методов определения поверхностного натяжения жидкости.
Экспериментальную проверку предположения Лонштейна предприняли Гаркинс и Браун [5]. В качестве жидкостей авторы использовали воду, бензол, четыреххлорис-тый углерод и дибромэтан. Объем упавшей капли У0 находили из опытов. Авторы установили, что в некоторых случаях теоретическая кривая сильно отличается от экспериментальной. В 80-е годы XX столетия проверка теоретической кривой осуществле-
(1)
(2)
(3)
I
II
III
IV
-9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r, cm
Рис. 1. Теоретический вес жидкости (P = 2яго, прямая 1), находящейся в капилляре, и оторвавшихся капель (2) в зависимости от радиуса трубки.
Линия 2 - расчет интервалов: 0-I по (12), I—II - по (6), II-III - по (8), III-IV - по (10).
на с помощью ЭВМ [2, 6]. В результате уточнили ее характер и обнаружили согласие расчета с экспериментом в пределах до 4% в широком интервале r/я (0-2.5). При r/a > 2.6 экспериментальная кривая качественно носит иной характер, чем расчетная.
Таким образом, по уравнению (3), зная массу упавшей капли, рассчитывают r/V1/3, а затем из таблицы находят поправочный коэффициент F и определяют поверхностное натяжение. По данному выражению невозможно определить массу оторвавшейся капли при известном значении поверхностного натяжения. Однако необходимость знания ее возникает в ряде технологических процессов - при электрошлаковом переплаве, а также опосредованно при расчете сил сцепления при окомковании тонкоизмель-ченных материалов и т.д.
В настоящей работе предпринята попытка проанализировать явление отрыва с позиции механического равновесия системы без учета формы поверхности и параметров капли. При рассмотрении висящей капли предположили, что на нее действуют сила тяготения и гидростатическое давление находящейся над ней жидкости, которое обусловлено капиллярными силами. Допустив, что отрыв капли происходит по наименьшему сечению жидкостной манжеты, условие равновесия записали как [7]
где г - радиус трубки; 5 - площадь сечения трубки; 5 - сечения манжеты, по которой происходит отрыв капли; Рк - вес капли; о - поверхностное натяжение жидкости. Представив выражение (4) в виде
пришли к выводу, что вес отрывающейся капли зависит от отношения площадей сечения капилляра и отрыва. Следовательно, при решении (5) относительно Pk при известном значении поверхностного натяжения необходимо установить Sj = f(S). Для этого воспользовались экспериментальными данными по определению массы капли воды, приведенными в работе [5]. Кривую веса капель (рис. 1) в рассматриваемом интервале радиусов капилляров условно разделили на три участка: соответственно 0.1-0.5 см (I—II), 0.5-0.8 см (II - III) и 0.8-1.0028 см (III-IV). На каждом участке экспериментальные дан-
2п rc I S = P JS1,
(4)
Pk = 2 nrc( S1/S),
(5)
ные удовлетворительно укладываются на прямые линии. Так как при этом наклон этих линий на каждом из участков меняется, то следует предположить, что связано с изменением механизма отрыва капли. Линия 0-I в силу того, что отсутствовали экспериментальные данные, проведена как прямая, проходящая через две точки, одна из которых является началом координат, а вторая - координата веса капли при отрыве от трубки радиусом 0.09946 см [5].
Оценку параметров линейной зависимости осуществляли по методу наименьших квадратов. При математической обработке данных для участка I—II аналитическая зависимость S1 от S имеет следующий вид:
S1 = 0.594373228S + 0.004715434 (6)
Подставив (6) в (5), получили выражение для определения веса отрывающихся капель воды в зависимости от радиуса капилляра и величины поверхностного натяжения:
„ _ 2пго(0.594373228S + 0.00471543)
Pk - S . (7)
Сопоставили теоретические значения веса жидкости, находящейся в капилляре, и оторвавшейся капли в зависимости от радиуса трубки - см. рис 1. Результаты расчетов по формулам (6) и (7) приведены в табл. 1. (А - доверительный интервал при доверительной вероятности 0.95 и среднем квадрате отклонений Sn = 0.002241).
Из анализа полученных данных следует, что принятая линейная зависимость отношения площадей сечения капилляра и отрыва удовлетворительно согласуется (при доверительной вероятности в 95%) с экспериментальными значениями веса отрывающихся капель воды.
Предположили, что выражение (7) может быть пригодно не только для расчета отрывающихся капель воды, но и для других жидкостей в рассматриваемом интервале радиусов капилляров. С целью проверки этого предположения рассчитали по формуле (7) вес отрывающихся капель бензола, четыреххлористого углерода, дибромэтана, глицерина и сопоставили их с экспериментальными данными - см. табл. 2 и 3. Для бензола (табл. 2) расчетные значения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Несколько большие расхождения наблюдаются для четыреххлористого углерода, дибромэтана. Тем не менее, массу оторвавшейся капли в рассматриваемом интервале радиусов капилляров для расчета применительно к технологическим процессам можно оценивать по предлагаемому выражению (7).
Для участка II-III аналитическая зависимость Sj от S имеет вид
Sj = 0.685031718S - 0.065767067, (8)
а вес отрывающейся капли в зависимости от размера капилляра и поверхностного натяжения равен
р = 2 п r о ( 0.68503 1 78 S - 0.065767067 )
рк - s . (9)
Результаты расчетов по выражениям (8), (9) приведены в табл. 4. (А - доверительный
интервал при доверительной вероятности 0.95 и среднем квадрате отклонений 0.0007489).
Для участка III-IV зависимость S1 от S принимает вид
S1 = 0.307989978S + 0.718554568, (10)
Таблица 1
Расчетные значения и веса отрывающихся капель воды в зависимости от радиуса капилляра
г, см 51 ±А Р (опыт) Рк (расчет) ±А
см2 мН
0.09946 0.023187 0.001689 32.81445 34.00884 2.47729
0.13062 0.036574 0.001608 41.54241 40.84685 1.79585
0.14769 0.045445 0.001556 46.00988 44.88805 1.53693
0.17750 0.063546 0.001452 53.63912 52.22586 1.19334
0.19666 0.076933 0.001379 58.56570 57.06796 1.02293
0.23052 0.103942 0.001243 66.73351 65.77763 0.78661
0.23790 0.110397 0.001213 68.54149 67.69531 0.74381
0.25135 0.122684 0.001159 71.30104 71.20406 0.67267
0.26802 0.138851 0.001097 76.07949 75.57489 0.59709
0.27605 0.147009 0.001069 78.16608 77.68764 0.56492
0.29423 0.166368 0.001015 82.66887 82.48568 0.50324
0.29694 0.169360 0.001008 83.26728 83.20279 0.49521
0.31891 0.194624 0.000970 88.7481.3 89.02746 0.44372
0.32362 0.200275 0.000966 89.87922 90.27625 0.43828
0.34188 0.222966 0.000970 94.56055 95.13946 0.41390
0.34385 0.225485 0.000973 95.07656 95.66308 0.41280
0.35022 .0.233745 0.000982 96.80508 97.36372 0.40904
0.37964 0.273840 0.001080 104.21163 105.22542 0.41500
0.39262 0.292557 0.001150 107.57646 108.70107 0.42729
0.39968 0.303002 0.001195 109.48941 110.59330 0.43617
0.42765 0.346212 0.001410 117.29817 118.09986 0.48098
0.44755 0.378733 0.001596 122.84082 123.44893 0.52022
0.44980 0.382503 0.001618 123.36075 124.05411 0.52475
0.50087 0.473161 0.002200 138.73302 137.80966 0.64076
0.50800 0.486593 0.002291 141.85260 139.73265 0.65790
а вес отрывающейся капли в зависимости от размера капилляра и поверхностного натяжения описывается выражением
2 пг о( 0.3079899785 + 0.718554568) 5
р к = -- . (11)
Результаты расчетов по выражениям (10), (11) приведены в табл. 5, (А - Доверительный интервал при доверительной вероятности 0.95 и среднем квадрате отклонений 0.001696).
Из табл. 4 и 5 следует, что по выражениям (9) и (11), зная поверхностное натяжение жидкости и радиус капилляра, можно рассчитать массу упавшей капли. При этом разница между опытными и расчетными значениями веса капель в интервале от 0.5 до 1.0 см радиуса капилляра не превышает ~1.76%.
Для расчета массы капель для участка 0-1 (рис. 1) построили гипотетическую зависимость, полагая, что она имеет также линейный характер. В качестве реперных точек
Таблица 2
Сравнение расчетных Рк и экспериментальных Р данных веса (мН) отрывающихся капель бензола (о = 28.9 мН/м, р - 0.88 г/см3), четыреххлористого углерода (о = 26.73 мН/м, р = 1.59 г/см3) в зависимости от радиуса капилляра
г, см Бензол Четыреххлористый углерод
Р [5] Рк +Д Р Рк +Д
0.09946 12.4116 13.4717 1.45163 - - -
0.14769 17.1793 17.7832
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.