ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 1, 2004
УДК 621.81:681.2.088
© 2004 г. Сергеев В.И.
К ОЦЕНКЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МОСТОВ
Рассмотрен ряд принципиальных вопросов, связанных с исследованием динамической точности электромеханических контрольно-измерительных приборов в условиях серийного изготовления. Приведены некоторые виды характерных ошибок, оказывающих существенное влияние на точность работы приборов, их оценка и способы устранения действия.
Вопросы исследования динамики измерительных приборов в настоящее время приобретают весьма актуальное значение. Многие из этих вопросов можно решить на основе общих положений теории регулирования [1, 2], дающей возможность подобрать рациональные сочетания расчетных значений параметров динамической системы с учетом специфических условий ее рабочих режимов. Элементы приборов обычно изготавливаются с определенными допусками. Из-за погрешностей изготовления движение реальной системы отличается от движения соответствующей расчетной системы. Исследование различия в законах движения расчетной и реальной динамических систем, т.е. возникающего дополнительного движения, составляет задачу динамики "в малом". В работах [3, 4] изложен ряд общих положений по исследованию динамической точности электрических и механических цепей.
При исследовании динамики системы описание закона ее движения при помощи линейных или линеаризуемых дифференциальных уравнений является определенной идеализацией, которая в ряде случаев не оправдывается.
В качестве достаточно общего примера можно указать на самоуравновешивающийся мост, изготовление которого связано с наличием таких существенных нели-нейностей, как зона нечувствительности в цепи электронного усилителя или люфт и сухое трение в кинематической цепи привода. Ряд подобных существенных нелиней-ностей носит характер производственных погрешностей или является их следствием. Если при изучении влияния, оказываемого перечисленными существенными нели-нейностями на поведение динамической системы, последнюю рассматривать в виде детерминированной, то это может привести к ощутимым ошибкам в оценке полученных результатов исследования.
Рассмотрим это на примере самоуравновешивающегося моста. Каждый отдельно взятый экземпляр этой динамической системы имеет вполне определенную комбинацию постоянных значений существенных нелинейностей, например, люфта и момента сил сухого трения в кинематической цепи привода, люфта и зоны нечувствительности в статической характеристике реле. Но другой экземпляр этой системы, взятый из той же партии, для подобных нелинейностей также имеет вполне определенную комбинацию соответствующих параметров, вероятность совпадения которой с первой ничтожно мала. Поэтому выбор параметров системы, основанный на знании некоторых постоянных (не в вероятностном смысле) значений ряда параметров статических характеристик существенных нелинейностей, во многих случаях может привести к неправильному представлению о точностных возможностях системы. Отмеченное обстоятельство является достаточно общим. Из сказанного ясно, что выбор характерных величин многих существенных нелинейностей при исследо-
Рис. 1
вании автоколебательных систем в условиях их массового изготовления должен быть основан на общих положениях теории вероятностей.
Проведем исследование динамической точности топливомера, предназначенного для непрерывного измерения объема жидкого топлива в баках, питающих тепловой двигатель [1]. Принципиальная схема топливомера представлена на рис. 1: 1 и 2 - соответственно постоянная и переменная емкости, 3 - линейный потенциометр, 4 - шкала, 5 - электронный усилитель, 6 - асинхронный двигатель, 7 - зубчатый редуктор, 8 -ЛС-фильтр, 9 - электронный усилитель, 10 - регистрирующий прибор. Датчиком топливомера является конденсатор 2, который в специальном металлическом цилиндре помещается внутрь бака с топливом. Поскольку диэлектрические проницаемости топлива и воздуха различны, то в зависимости от уровня топлива в баке изменяется величина емкости С¥. Емкости С0, С¥ и сопротивления плеч Щ потенциометра образуют мостовую схему, при помощи которой осуществляется измерение запаса топлива в баках двигателя.
Предположим, что для уменьшения зоны нечувствительности топливомера коэффициент усиления усилителя выбран относительно высоким, в результате чего в системе возникли автоколебания. Проведем исследование и выявим возникающие при этом возможности повышения точности этой системы. Будем рассматривать автоколебания как ошибку системы, характеризующую ее дополнительное движение. Будем иметь в виду, что при необходимости оценку влияния первичных ошибок собственно моста на соответствующие показатели точности можно провести в соответствии с материалом работы [4].
Будем полагать амплитуды автоколебаний малыми величинами и при исследовании дополнительного движения системы можно ограничиться учетом только линейной части характеристики электронного усилителя. В качестве существенных нелинейнос-тей выберем люфт и сухое трение в кинематической цепи топливомера. Статистические характеристики люфта (а) и момента сил сухого трения (б) приведены на рис. 2.
Запишем уравнение дополнительного движения системы
] у = Мд - М с, (1)
где J - приведенный момент инерции системы; Мд и Мс - моменты движущих сил и сил сопротивления.
Примем
Мд = е1и, Мс = е2у + Мт ^(у), (2)
где с1 и с2 - постоянные коэффициенты, Мт - модуль момента сил сухого трения. Запишем уравнение цепи усилителя
и = с3и *
(где с3 - коэффициент усиления) и уравнение цепи собственного моста и * = -с4/!(Ь,у).
(3)
(4)
Подставив (2)-(4) в (1), после преобразований получим
Т\ + \\ + кх/!(Ь, + к2/2(^1) = 0, (5)
где Т = Ле2, к1 = с1с3с4/с2, к2 = Мт/с2.
Перейдем к исследованию точности партии топливомеров, выполненных по одному проекту. В этих условиях люфт и модуль момента сил сухого трения становятся случайными величинами, ограниченными соответствующими допусками или техническими требованиями. Поэтому при рассмотрении партии топливомеров члены уравнения (5) к1/1(Ь, \) и к/2( \\) представляют собой функции случайных аргументов Ь и к2, для которых будем полагать известными законы распределения и которые при исследовании точности партии систем следует рассматривать как недетерминированные.
Основываясь на методе расчета установившихся погрешностей в недетерминированных нелинейных системах [4], решение поставленной задачи осуществим следующим образом. Люфт и момент сил сухого трения представляют собой существенно положительные величины, которые в партии систем примем подчиняющимися усеченному закону распределения Релея.
Ь 2—2Ь М т 2—о, мт
П(Ь) = -Ь-е 0Ь (0 < Ь < 3,5—о,ь), пМ) = е т (0 < Мт < 3,5—о,мт), (6)
—0, Ь -о, мт
где —0, Ь и —0,м - параметры п(Ь) и п(Мт). Математические ожидания случайных величин Ь и Мт соответственно равны М[Ь] = 1,25—0, Ь, М[Мт] = 1,25 —0, м .
На рис. 3 представлены дифференциальные законы распределения случайных величин Ь и к2. Законы распределения (6) позволяют построить их композицию и определить вероятности появления тех или иных возможных сочетаний случайных величин Ь и Мт в партии топливомеров. Видно, что при построении композиции законов распределения (6) искомый интеграл можно вычислить при помощи какого-либо приближенного метода, в частности метода "деревьев логических возможностей" [4, 5]. Основываясь на приближенном методе, разобьем кривую законов распределения (6) прямыми, параллельными оси ординат, на п участков (с увеличением числа участков точность метода возрастает; на рис. 3 п = 7). В соответствии с принятой разбивкой кривой законов распределения можно подсчитать вероятности Р1 (1 < I < п) нахождения случайных величин Ь и Мт внутри некоторого интервала их изменения и вероятности Р^ (1 < ] < 49) появления возможных сочетаний Ь и Мт.
м2
ь2
к2 Ь
0,00125 0,00375 0,00625 0,00875 0,01125 0,01375 0,01625
амплитуды а¥ и вероятности р
0,00053 0,0029 (0,012) 0,0091 (0,031) 0,0151 (0,032) 0,0213 (0,021) 0,0274 (0,010) 0,0338 (0,003) 0,0396 (0,001)
0,00158 0,0027 (0,031) 0,0089 (0,078) 0,0150 (0,081) 0,0210 (0,053) 0,0270 (0,025) 0,0334 (0,008) 0,0395 (0,003)
0,00264 0,0024 (0,032) 0,0080 (0,081) 0,0147 (0,084) 0,0208 (0,055) 0,0268 (0,026) 0,0330 (0,008) 0,0392 (0,003)
0,00370 (0,021) 0,0083 (0,053) 0,0145 (0,055) 0,0206 (0,036) 0,0207 (0,017) 0,0327 (0,006) 0,0390 (0,002)
0,00475 (0,010) 0,0081 (0,025) 0,0142 (0,026) 0,0203 (0,017) 0,0265 (0,008) 0,0324 (0,003) (0,001) 0,0388
0,00581 (0,003) 0,0078 (0,008) 0,0140 (0,008) 0,0201 (0,006) 0,0261 (0,003) 0,0322 (0,001) 0,0386 (0,000)
0,00686 (0,001) 0,0075 (0,003) 0,0136 (0,003) 0,0190 (0,002) 0,0258 (0,001) 0,0318 (0,000) 0,0383 (0,000)
При построении дифференциальных законов распределения случайных величин приняты следующие параметры: о0, Ь = 0,005 рад и о0, к = 0,00211 сек-1. Для 49 вариантов сочетаний Ь и к2 было проведено решение нелинейного дифференциального уравнения (5).
В таблице приведены результаты решения (5) в виде амплитуд автоколебаний а¥ (в радианах) и в скобках указаны вероятности р их появления. Нетрудно заметить, что а¥ = 0,0147 рад имеет наибольшую вероятность появления (Р ^ = 0,084) и является следствием возможных сочетаний двух групп случайных величин Ь и Мт, расположенных на участках, характеризуемых значениями М [Ь] и М[Мт].
Введем коэффициент при помощи которого обозначим величину отношения амплитуды автоколебаний к соответствующему значению люфта. Тогда, воспользовавшись данными таблицы, получим неравенства
1,92 < ^ < 2,44, (7)
которые ввиду относительной близости значений Ь и а¥ характеризуют последние как допустимые в смысле показателей точности автоколебательных систем [4].
Для принятых значений параметров системы частоты автоколебаний ю изменяются в пределах
1,52 Гц < ю < 1,67 Гц. (8)
Совместное рассмотрение приведенных в таблице величин а¥ и Р , с неравенствами (7), (8) позволяет в достаточно полном объеме провести исследование автоколебательной составляющей динамической ошибки.
Из анализа функций а¥(к2)Ь = соП8(. следует, что силы сух
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.