ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 22-33
УДК 519.624.2
К ОЦЕНКЕ ГЛАДКОСТИ РЕГУЛЯРНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
© 2015 г. В. Б. Андреев
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК) e-mail: andreev@cs.msu.su Поступила в редакцию 26.05.2014 г.
На конечном отрезке рассматривается первая краевая задача для одномерного сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами. Для регулярной составляющей решения получены неулучшаемые априорные оценки в гёльдеровых нормах. Неулучшаемость понимается в том смысле, что полученные оценки перестают быть справедливыми при любом ослаблении оценивающей нормы. Библ. 18.
Ключевые слова: сингулярно возмущенное уравнение, конвекция-диффузия, декомпозиция решения, неулучшаемые оценки, гёльдеровы пространства.
DOI: 10.7868/S0044466915010032
1. ВВЕДЕНИЕ
При анализе численных методов решения дифференциальных уравнений обычно требуется информация о величине производных приближаемого решения, которая используется при оценке погрешности аппроксимации исследуемого численного метода. В сингулярно возмущенном случае, когда гладкость входных данных достаточна, максимум модуля производных порядка к оценивается величиной 0(б-ак), где б > 0 — малый параметр. Несмотря на то что такая оценка, как правило, является точной, она мало эффективна в том смысле, что не позволяет правильно оценить точность численного решения. Связано это с тем, что указанные значения производные принимают только в малой части области, где ищется решение, называемое пограничным слоем. Вне же пограничного слоя производные решения, как правило, ограничены (до порядка, определяемого гладкость входных данных). Поэтому до проведения оценок решение полезно представить в виде суммы регулярной и сингулярной составляющих. При этом под регулярной составляющей понимается функция, у которой все производные до определенного порядка равномерно по б ограничены, в то время как сингулярная составляющая в пограничном слое ведет себя так, как предписано оценкой всему решению, а затем быстро убывает по мере удаления от пограничного слоя. Такое представление называется декомпозицией решения. Разумеется, декомпозиция не определяется однозначно, и тот или иной выбор декомпозиции связан со способом ее дальнейшего анализа и, в первую очередь, со способом анализа ее регулярной составляющей.
Пусть требуется найти функцию u(x), которая является решением следующей задачи:
Lu := -6u"(x) + r(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x), x e I := (0, 1), u(0) = u0, u( 1) = u1,
где 6 > 0 — малый параметр. Будем предполагать, что
r(x)> 2r0 = const > 0 (1.2)
и, кроме того,
r(x), q (x), f(x) e Ck'x, k = 0, 1,..., 0 1. (1.3)
(1.1)
Здесь через Ck' "к обозначено пространство k раз непрерывно дифференцируемых на I функций, k-е производные которых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем А. Если какой-либо из индексов k или А будет равен нулю, то будем его опускать и писать Cх, Ck или просто C. Под полунормой | в пространстве Ck будем понимать максимум модуля k-й производной, а в Ck, "к — коэффициент Гёльдера этой производной, т.е.
fk = supl/k) (X )|, /^ = sup _ f(k) (x) - /(x ) I.
x e I x Ф x, x, x e I |x — x|
Наконец,
k
l/ll^ = \/\ck,i + ^ fc'.
I = 0
Если функция будет задана не на I, а на ином отрезке, скажем, на А, то будем писать Ck, Х(А), или, если это не приводит к недоразумению, это уточнение опускать. Будем также использовать сокращенные обозначения для норм || f ||k,^ := Ц/Ц^д , || f ||0 := || f ||C. Для обозначения постоянных,
которые не зависят от малого параметра б, будем использовать строчные буквы c с индексом или без. Одной и той же буквой часто будем обозначать различные постоянные.
При малых б и сделанном предположении (1.2) задача (1.1) в окрестности правой границы отрезка [0, 1] имеет пограничный слой. В работе [1, гл. 8] для решения задачи (1.1), (1.2) при некоторых предположениях о гладкости коэффициентов уравнения (1.1) и его правой части с использованием асимптотического разложения построена декомпозиция
u (x) = v( x) + w(x), (1.4)
регулярная составляющая v(x) которой подчиняется неравенству
е| V i + IIVI i -1 < c, I = 1, 2, 3, (1.5)
в то время как сингулярная составляющая w(x) ведет себя согласно оценкам
2 Гц ( 1 - x )
|w(0(x)|< ce—e s , I = 0, 1, 2, 3. (1.6)
В [2] аналогичными рассуждениями при аналогичных предположениях о гладкости коэффициентов и правой части получены оценки и старших производных.
В [3, разд. 3.4] для построения декомпозиции (1.4) использован другой подход: регулярная составляющая v(x) определена как решение уравнения (1.1) при специальных граничных условиях без использования асимптотического разложения. Это позволило ослабить предположение о гладкости входных данных. В предположениях (1.3) с k = 0, 1 и А = 0 установлено, что справедлива оценка
el V k+2 + IIVI k +1 < c, (1.7)
а (1.6) верно для l = 0, 1, ..., k + 2. Более того, указано, какие нужно провести построения, чтобы получить такие же оценки при k = 2.
О возможности дальнейшего обобщения оценок (1.6), (1.7) в [3] ничего не говорится, равно как и не обсуждается важный вопрос о возможности обобщения этого подхода на двумерный случай. Подход же [1] успешно обобщается и на двумерный случай (см., например, [4]—[6]), правда, при дальнейшем ужесточении предположений о гладкости входных данных.
Для построения декомпозиции решения в двумерном случае помимо [4], [5] (см. также обзор [7]) существуют подходы, которые не используют асимптотическую технику. Первая декомпозиция решения была построена в [8] для двумерного сингулярно возмущенного уравнения с постоянными коэффициентами в квадрате как раз таким способом. Регулярная составляющая решения там была определена как решение исходного уравнения в расширенной области, удовлетворяющей тем граничным условиям, которые не порождают пограничных слоев. Это позволило получить оценки гладкости при минимальных требованиях к входным данным. Аналогичный подход был использован в [9] для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами в прямоугольнике. Оценки гладкости регулярной составляющей в
этой работе оказались более слабыми, чем в [8], что и предопределило невозможность обобщения этих результатов на случай переменных коэффициентов. В настоящее время автору известна лишь одна работа, в которой для двумерного случая получены неулучшаемые оценки регулярной составляющей для уравнения с переменными коэффициентами. Это работа автора [10], в которой рассматривается сингулярно возмущенное уравнение реакции-диффузии с переменным коэффициентом реакции.
Целью настоящей работы является получение неулучшаемых оценок в пространствах Гёльде-ра регулярной составляющей решения задачи (1.1)—(1.3). Указанные оценки содержатся в теореме 3, доказываемой в разд. 3. Разумеется, эти оценки при X Ф 0 лишь немного усиливают цитированные результаты из [3] и потому могут показаться не заслуживающими серьезного внимания: ведь при анализе численных методов оценка коэффициента Гёльдера не требуется. Однако математический аппарат, используемый в данной работе для получения указанных оценок, допускает обобщение на двумерный случай и может рассматриваться как иллюстрация существенно более сложного двумерного аппарата, ибо в двумерном случае точные оценки с X = 0 не имеют места. Следует также заметить, что в двумерном анализе напрямую используются некоторые оценки, полученные в данной работе.
Дальнейшее содержание работы таково. В разд. 2 для уравнения с постоянными коэффициентами на полуоси х > 0 доказываются оценки решения в гёльдеровых нормах. В разд. 3 такие же оценки устанавливаются для регулярной составляющей решения задачи (1.1).
2. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ПОЛУПРЯМОЙ
Ищется решение следующей задачи:
-6и'(х) + 2аи(х) + ОЩх) = Г(х), 0 <х < да,
и( 0) = и0, |и(да)|<да, (2Л)
где а и Q — положительные постоянные, а 6 > 0 — малый параметр.
Решение задачи легко находится, но из методических соображений опишем процедуру его отыскания. Сначала сделаем в (2.1) растяжение независимой переменной
х/ 6 = х. (2.2)
Оставляя за решением и новой переменной старые обозначения, находим, что в новых переменных задача (2.1) принимает вид
Ьи := -Ц"(х) + 2 а и (х) + 6 ОЩх) = бГ(х), 0 < х <да,
и(0) = и0, | и(да)| < да. (23)
Теперь заменим зависимую переменную. Пусть
У( х) = и( х) е~ах
есть новая неизвестная функция. Для нее имеем задачу
X V := -V (х) + аУ(х) = бв~ахГ(х), У( 0) = и0, У(да) = 0, (2.4)
где
Пусть
а2 = а2 + 6 О. (2.5)
%(х) := — в~аЫ, -да < х < да, (2.6) 2а
есть функция точечного источника оператора X из (2.4) на всей оси Ох. Тогда
g(х,Z) = %(х - V - %(х + $) = 1 [е-а(х ° - е-^ + , (2.7)
2а
есть функция Грина задачи (2.4), а решение этой задачи задается соотношением
V(x) = б Jg(x,%) e~aiF(%) d% + uQ e-ax.
0
Возвращаясь к старой переменной U(x), находим, что
т.е.
U(x) = e Jg(x,%)ea(x-Чр(%)d% + u0e—a-a)x, (2.8)
G(x,%) := g(x,%)ea(x-(2.9)
есть функция Грина задачи (2.3).
Из (2.8) находим представление для производной Ц*(х) решения:
да
U (x) = s J[ Щг + ag(x'%)
ea(x-Чр(%)d% + u0(a - a)e-a -a)x. (2.10)
0
Оценим функцию U(x) и ее производную. Из (2.9), (2.7) находим, что
max
x
JG (x,%) d % = (e Q) 1,
и, следовательно,
IIUI0 < Q_1HF0 + \uo\. (2.11)
Далее,
max
x
^^ + ag(x, %)
dx
a(x - i) tr 1
e d% = max -
xa
a — a -2ax a -(a - a)x
1 +-e--e
a + a a + a
= a~1, (2.12)
0
ибо максимум этой функции находится на бесконечности. Отсюда и из (2.10) следует, что
IU1 <ea-1||Fl0 + (a - a)|u„|. (2.13)
Для оценки второй производной обратимся к уравнению (2.3). Очевидно, что
IU2< 2a|U1 + eQIIUI0 + e||F0,
а привлекая (2.11) и (2.13) и учитывая (2.5), получаем
IU 2 <e( 41FI0 + 2 Q|u 0). (2.14)
Объединяя (2.11), (2.13) и (2.14), приходим к оценке
| U2 + IU1 + ell UI0 < e j(4 + Q- + a-1 )||F0 + (1 + 2Q + Q) Ы1
(2.15)
Напомним, что это — оценка решения задачи (2.3), и производные вычисляются по растянутой переменной х из (2.2). Возвр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.