МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. A.A. БУРЕНИН, В.Е. РАГОЗИНА
К ПОСТРОЕНИЮ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УДАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Способ построения приближенных решений краевых задач динамики ударного деформирования в форме лучевых разложений за фронтами разрывов деформаций обобщается на случай криволинейных и расходящихся лучей. Предлагаемое обобщение иллюстрируется на примере динамики антиплоского движения упругой среды. Лучевой метод - один из способов построения приближенных решений нестационарных краевых задач динамики деформирования. Он был предложен в [1, 2] и затем широко использовался в нестационарных задачах математической физики, включающих поверхности, где имеет разрыв искомая функция или ее производные [3-7]. Полный и квалифицированный обзор работ этого направления представлен в [8]. В основе метода лежит разложение решения в ряд типа ряда Тейлора, но в окрестности не стационарной точки пространства, а за движущейся поверхностью разрывов. Коэффициентами этого ряда будут разрывы производных искомых функций, для которых, как следствие условий совместности, можно получить обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения затухания разрывов. В случае, когда рассматривается задача с поверхностями разрывов скоростей в нелинейной среде, прямое применение метода невозможно, так как нельзя получить уравнение затухания. Изменение метода с целью его применения к такому типу задач было предложено в [9-11] , где в качестве примеров рассматривались решения ряда одномерных задач. В предлагаемой статье показывается, как этот прием можно перенести на неодномерные задачи ударного деформирования, когда геометрия лучей заранее неизвестна, лучи становятся криволинейными и расходящимися. Примером выбрана наиболее простая задача об антиплоском движении нелинейно-упругой несжимаемой среды.
1. Исходные модельные зависимости. Постановка задачи. Движение несжимаемой нелинейно-упругой среды в декартовой прямоугольной системе пространственных координат Эйлера задается уравнениями:
j = Р dv¡/dt, v¡ = ú¡ + jVj
dW
2aij = u¡, j + uj, i- uk, iuk, j, 5;j = - P 5;j + ¿¡а- - 2aj
ik (1.1)
W = W(I12), I! = a,,., I2 = ai;a¡
д Hi dUj Г1, i = j
U; 1 = T""-, U: = --Г-, oij = < (i, j, к = 1, 2, 3)
i'j дXj' : dt' [0, i Ф j
В (1.1) u;, v; - компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды; a1j, Oj -компоненты тензоров деформаций Альманси и напряжений Эйлера-Коши; р = const -
плотность среды; p - неизвестное добавочное гидростатическое давление. Замыкают систему (1.1) условие несжимаемости и задание функции W(I:, I2), определяющей упругие свойства в случае изотропии среды. Наличие геометрической связи (предположение о несжимаемости) накладывает ограничения на вид зависимости W(I1; I2) [12]. Если предположить, что происходит только антиплоское движение, т.е. u1 = u2 = 0, u3 = u(x1, x2, t), то условие несжимаемости перейдет в тождество. Но такое движение возможно не в произвольной несжимаемой среде, а только тогда, когда коэффициенты разложения W(I1, I2) в ряд Тейлора в окрестности свободного состояния связаны между собой определенным образом. Антиплоское движение осуществимо, если
W = - 2цI1 - цI2 + bI? + (b - ц)I1I2 - eiI + ll4 +
+ (b - ц)12/4 + (b - ц -3e/2)ll12 + ...
В (1.2) ц, b, e, l - упругие постоянные несжимаемой среды, а многоточием, как и в дальнейшем, обозначены слагаемые с более высокими степенями градиента перемещений. Из (1.1) и (1.2) для рассматриваемой задачи получим уравнение движения среды:
u,pp( 1 + au,Yu,Y) + 2au,pyu,pu,Y + ... = C u
Р,в = - (ц + b) upYuY + ... (1.3)
b - ц „2 ц du 1
a = b4jf, C =¡5, u,y = э7т (P'Y =1'2)
Первое уравнение в (1.3) является основным, по нему находится поле перемещений. На основании найденной функции u(xj, x2, t) из остальных уравнений определяется добавочное давление p(xv x2, t). Отметим, что в (1.3) и в дальнейшем греческие индексы принимают значения 1, 2, тогда как латинские - 1, 2, 3.
Движение среды - следствие действия на ее цилиндрическую граничную поверхность X0. Ее направляющий контур L расположен в плоскости x1, x2, образующие параллельны оси x3. Поверхность X0 может быть как границей цилиндрического тела, так и границей полости в упругом пространстве. В этих случаях L - замкнутый контур. Если L - неограниченная кривая, то X0 - цилиндрическая поверхность полуограниченного тела. Считаем, что при t < 0 среда находится в свободном состоянии. При t > 0 под действием приложенной нагрузки граничные точки движутся по закону
u | Х = u | L = и0 (у )t + a (t )t2/2+ ... (1.4)
где у - выбранный вдоль L параметр. Если и0(у) Ф 0, то с момента t = 0 от Х0 отделяется поверхность разрывов деформаций (ударная волна) X(t). Так как перемещения на X(t) непрерывны, то
t
u\r = rX = 0, Гх( у, t) = Го (у) + J G (у, т) v (y,T)dT (1.5)
0
Здесь rX и r0 - радиусы-векторы одной и той же геометрической точки X в текущий и начальный моменты времени. Считается, что эта точка движется со скоростью G в направлении внешней единичной нормали v к X (в сторону недеформированной среды) с сохранением значения параметра у. Выбирая у = const, получим линию, называемую лучом. Если во втором уравнении в (1.5) зафиксировать t, то получим положение поверхности разрывов X в данный момент времени. Скорость G движения X в направ-
лении нормали зависит как от времени, так и от выбора луча. Из динамических, геометрических и кинематических условий совместности разрывов [12] получим, как обычно [11], зависимость скорости X от интенсивности ударной волны у(у, t):
G = C(1 + ay2/2 + ...), у = C-[U], ю1 = [U] = U+- U- (1.6)
В (1.6) и в дальнейшем квадратные скобки означают вычисление разрыва величины, заключенной в них. Предполагается, что она терпит на X разрыв первого рода, когда существуют ее конечные предельные значения при стремлении к X с разных сторон.
Граничных условий (1.4) и (1.5) и нулевых начальных условий достаточно для определения перемещения U(x1, x2, t) между X0 и X(t). Для определения p принимаем условия: p = p0 - const в недеформированной области и
Ovv |г = rX = pv
При этом исходное давление p0 и нормальное к X напряжение pv считаются заданными.
2. Некоторые следствия условий совместности разрывов. Для цилиндрической поверхности X(t) можно считать, что одна из внутренних координат совпадает с у, а вторая с координатой x3, тогда для определения ее положения достаточно знать зависимости
Xa = f a(У, t) (2.1)
В момент t = 0 считаем, что хг = у, x2 = f (у), причем f(y) - известная функция, определяемая явной параметризацией контура L. Координатная сетка на X(t) ортогональная, поэтому для компонент ее метрических тензоров gap и gap получим
£11 = (f1 )2 + (f2)2, §22 = 1, g 12 = g12 = 0
(2.2)
g11 = 1/gll, g22 = 1 fp = дfp/дУ
Для коэффициентов bap второй квадратичной формы X(t) в общем случае в каждый момент времени имеем
b = V = ^ га = д*
bap = xi, apv , xi, ap = a и г Pyxi, o xi,o = 2
ду ду ду (2.3)
г = aV г = 1 rdg a p + d^ai _ ds
ap g T,ap, T,aY 21 д yi д у p ду '
где уа - внутренние координаты, Га и Г^ - символы Кристоффеля первого и второго рода на X. В соответствии с (2.1) из (2.3) получим:
ьп = /1 ^ + /2 ^
Остальные Ьар обращаются в ноль. Также из (2.1) и (2.2) для вектора нормали следует V! = ±£П1/2 / 2, V2 = ±£П1/2 /1 (2.4)
Выбор знаков в (2.4) определяется условием направленности V в сторону распространения X.
Из геометрических и кинематических условий совместности разрывов для производных от u до второго порядка включительно можно записать
-1 -2( -15 G^
[ир] = -G «vp, [иру] = G I «2- г-^ + G -5t JvpvY -
(2.5)
-g-(G-«i55Vs+/,$>,-^(«Gf «2 = [u]
где 5/5t - обозначение дельта-производной, вычисленной как производная по времени в данной выбранной точке поверхности X(t).
Уравнения движения (1.3) выполняются по обе стороны от X. Записывая первое из них в разрывах на X, можно получить
5у ^2аю2у2 (1 - 3 ау2/2 + ...) + С2у Ьи( 1 + 3 ау2/2- а2у4 + ...)
51 2 + 5 ау2 - 17 а2 у4/2 + ... (2.6)
11 11
b = g bn
При выводе (2.6) были учтены условия (2.5) и формула (1.6).
Для линейной среды (2.6) перешло бы в уравнение затухания разрыва [8], так как в нем не было бы зависимости от м2. То же самое можно сказать о слабых волнах (поверхности разрывов ускорений) даже при учете нелинейности. Связь у и м2 - характерная особенность ударных волн. Для волн, на которых рвутся ускорения или последующие производные, сведения о затухании разрыва можно получить, интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение. Оценить изменение интенсивности ударной волны можно, только решив краевую задачу в целом. Считая поле перемещений до и после волны достаточно гладким, можно продифференцировать первое уравнение в (1.3) k раз по времени, записывая для каждого значения k полученные соотношения в разрывах. Используя рекуррентные формулы вида (2.6) требуемого порядка [12], можно получить
5k + V/5tk + 1 = Fk(«1, «2, — Mb «k + 1>®k + 2)
Mk + 2 = Фк(ш1, 5«1/5t, —,5k +V/5tk + 1) (2.7)
«k = [3ku/Эtk] (k = 1, 2,.)
Конкретный вид зависимостей (2.7) не приводится из-за их громоздкости. Необходимо еще раз подчеркнуть, что они соответствуют только ударным волнам в нелинейных средах. Для слабых волн вместо (2.7) решаются рекуррентные уравнения затухания. В этом математически выражается специфика нелинейного эффекта - рассматриваемой ударной волны. Линеаризация модели приводит к исчезновению этого отличия.
3. Построение прифронтовых разложений. Представим искомую функцию u рядом
u (s, y, t) = - £ íü-г
n = 1 П!
(t - ГГ, Г = J^ (3.1)
t -1 0
где ^ - натуральный параметр, отсчитываемый вдоль луча от нагружаемой поверхности Х0; G(s, у) - скорость движения поверхности Х(?). Поверхностная координата у
участвует в (3.1) как параметр, поэтому (3.1) соответствует выбранному лучу для каждого значения у. Считая послеударное время малым, примем представление
®1( У, г)
§П
I ¡1 ^^. у,,)
->10
ы"
п = 0
§п
®1
"! ып
^ О п
I 1 о V г 0"
п = 0
"! Ъ1п
ы"
г = 0
§п
У , 0 о г п
§п
о г п
(3.2)
г=0
Для V, 0 - производные в момент г = 0 вычисляются по заданной геометрии Х0, к пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.