Хайруллин Р.З., доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного строительного университета
К ПОСТРОЕНИЮ СИНТЕЗА КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОВША ЭКСКАВАТОРА-ДРАГЛАЙНА
Для задач о наискорейшем перемещении ковша экскаватора - драглайна в заданную точку и о максимальном угле поворота стрелы экскаватора за фиксированное время разработана математическая модель синтеза квазиоптимального управления. Описаны алгоритмы расчета моментов переключения управления, а также алгоритмы коррекции общего времени движения и требуемого значения угла поворота стрелы экскаватора. Представленная модель может быть использована при построении автоматизированной системы управления и контроля экскаватора - драглайна.
Ключевые слова: экскаватор-драглайн, синтез управления.
TO CONSTRUCTION OF A SYNTHESIS OF QUASI - OPTIMAL CONTROL OF MOTION OF THE EXCAVATOR-DRAGLINE BUCKET
The mathematical model for the synthesis of quasi-optimal control was developed. The model was applied for the optimization problems of fastest movement of the excavator - dragline bucket and for the problem of maximum of boom rotation angle for a fixed time. The algorithm for the calculation of the switching moments and the algorithm for correction of total time and correction of desired value of the rotation angle of the excavator-dragline basket were described. The developed mathematical model can be used to construction of excavator - dragline automated control system.
Key words: excavator - dragline, synthesis of control.
В [1,2] решены задачи о наискорейшем перемещении ковша экскаватора - драглайна в заданную точку и о максимальном угле поворота стрелы экскаватора за фиксированное время с финитным гашением возникающих колебаний ковша. В этих работах представлены все возможные виды оптимальных управляющих функций времени в зависимости от требуемого значения угла поворота стрелы. Установлено, что оптимальной будет управляющая функция - симметричная относительно середины интервала движения 0 < t < T .
На практике наибольший интерес представляют рабочие циклы с разворотом стрелы в диапазоне О0 - 750, имеющие вид (Рис.1а,б) [1,2]:
<Р С, -
а)
<Р
Н—I-h
б)
Рис.1.
В настоящей работе для этих видов функций дается решение задачи синтеза квазиоптимального управления для множества начальных условий из некоторой малой окрестности состояния покоя системы. Алгоритмы расчета моментов переключения управления опираются на аналитическое решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами с правой частью в виде кусочно - постоянной функции. Алгоритм коррекции общего времени движения и требуемого значения угла поворота стрелы учитывает ненулевые значения начальных условий.
Уравнения движения. Движение модели "стрела на поворотной платформе - подвешенный к стреле ковш " описывается при определенных условиях следующей системой дифференциальных уравнений [1, 2]:
2 || a+va = и, (р = u, U < с
Р
< сх 0 < t < T
где р - угол поворота платформы вокруг вертикальной оси, a - угол отклонения ковша от плоскости стрелы, v2 = g /1, l - условная длина подвеса ковша, g - ускорение силы тяжести, с и с1 - ограничения на угловое ускорение и скорость поворота платформы, t - время движения.
Коррекция времени управления и угла поворота платформы. Предположим, что в результате выполнения очередного шага рабочего цикла время T окончания движения было отработано с некоторой погрешностью и возникли некоторые отклонения от положения равновесия. Поэтому для применения результатов [1,2] требуется коррекция угла поворота платформы и соответствующего времени оптимального движения перед началом выполнения каждого следующего шага рабочего цикла.
Пусть в момент времени, соответствующий началу очередного шага рабочего цикла
• •
t = 10K : P = P°K , P = P°K .
• p *
Время коррекции t найдем из условия p(t ) = 0: t = t0* +—2*. Соответствующее
с
значение для коррекции угла поворота стрелы: ркор = p(tKop),
где Р = - C-2r + (pok + ct0K j-t + Ро к + Cjf -[(OK + ct0K j-t.
Управление на очередном шаге рабочего цикла будем строить из следующих требований: при начальных отклонениях ковша a0к , а°к на скорректированном отрезке времени 0 < t < T, T = Topt + tKop требуется оптимально повернуть платформу на скорректированный угол р = popt + ркор с финитным гашением колебаний ковша. Здесь popt -оптимальное значение угла поворота стрелы за фиксированное время Topt [1,2].
Вычисление моментов переключения управления. Пусть оптимальная управляющая функция [2] имеет вид, изображенный на рис. 1а. Примем t2 = T/2. В предположении малости величины v-11, найдем t1 из условия a(t2) = 0, как меньший положительный корень квадратного уравнения: Mt12 + Nt1 + K = 0,
2 •
где M = -(a0K - с)—cos vt2--2°^ sin vt2, N = a0к cos vt2 - (a0K - c)v sin vt2,
K = -с + (a0 K + c)cosvt2 + a°K sinvt2
v .
Оптимальное управление на участке T/2 < t < T строится из условия симметричности:
t3 = t2 + (t2 - t1) .
Пусть теперь управляющая функция имеет вид, изображенный на рис.1б. Примем 13 = Т/2 . Момент времени однозначно вычисляется из условия выхода угловой скорости на ограничение с1. Найдем (2, в предположении малости величины у • /2, из условия = 0, как меньший положительный корень квадратного уравнения:
Mt22 + Nt 2 + K = 0,
v z, v- z2 ■ где M =--cosvt3--sinV3
2 3 2 3
N = z2 cosvt3 -v- z1 slnv?3 1
K = -c + z1 cosvt3--z2 sinvt3
v
z1 = с + (a0K - c)cosvt1 +—— slnvt1
+ °n
v
z2 = -v(a0K - c) sin vt1 + <r0K cos vt1.
Оптимальное управление на участке T/2 < t < T строится из условия симметричности:
t4 = t3 + (t3 - t2), t5 = t4 + (t2 - tj).
Расчеты показали, что представленный в работе синтез квазиоптимального управления обеспечивает выполнение рабочего цикла с точностью, не меньшей чем начальная точность:
a(T)j + ^(T)j + {¡p(T)j +{¡p(T)j < ^kj + kj + {(p]kj +
2 / \ 2
^0 K
\
ЛИТЕРАТУРА
1. Хайруллин Р.З., Певзнер Л.Д., Горюнов В.Ю. Оптимальное управление движением ковша экскаватора - драглайна. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, №72, 1998, 28 с.
2. Хайруллин Р.З. К исследованию маневренных возможностей экскаватора - драглайна. Вестник МГСУ, 2010, №4, с. 49-53.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.