Хайруллин Р.З., доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного строительного университета Хайруллина Л.Р.
(Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)
К ПОСТРОЕНИЮ ЗОНЫ БЕЗОПАСНОСТИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Изучается движение материальной точки при бросании с поверхности Земли под разным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью, не превосходящей первую космическую. Исследуется задача построения зоны безопасности в центральном гравитационном поле. Получены и исследованы явные и параметрические уравнения границы зоны безопасности. Разработаны приближенные методы построения границы с использованием результатов расчетов и метода наименьших квадратов.
Ключевые слова: центрально гравитационное поле, траектория движения, явные и параметрические уравнения, зона безопасности.
TO CONSTRUCTION A SECURITY ZONE IN THE CENTRAL GRAVITATIONAL FIELD
The authors considers the motion of a material point when throwing from the Earth's surface with a fixed initial velocity at different value of angles to the horizon. There investigated the problem of constructing a security zone in the central gravitational field. The explicit and parametric equations of the boundary of security zone were received. The approximate methods for constructing of the boundaries were developed. The methods based on the results of mathematical simulation and the method of least squares.
Keywords: central gravitational field, trajectory of motion, explicit and parametric equations, security zone.
ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ
ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Введем основные обозначения: r - радиус- вектор точки, р- полярный угол,
r0 - радиус Земли, F0 - начальная скорость, 0О- угол бросания, С - постоянная площадей, e - постоянная энергии, и- гравитационная постоянная.
Определение траектории по данным начальным условиям: ro, Vo,0o [1].
1. Находим константы площадей и энергии: С = |ro х Vo| = ro • Vo cos#o,
2. Находим фокальный параметр и эксцентриситет: p = C2 /и s = 1 + 2pe/и .
3. Находим po - направление на перигей (одну из вершин эллипса) из общего уравнения траектории r = p /(l + s • cos p): cos po = (p / ro -1)/ s .
Рис. 1.
4. Запишем уравнение траектории г = р/(1 + £СО8(р + ро)), выходящей из точки (го,р): г = р^ + со>р-(р/Го -1)-Бтрд/1 + 2ре/¡-(р/Го -1)2^ . (1)
ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАНИЦЫ ЗОНЫ БЕЗОПАСНОСТИ
Поскольку угол 6>о входит в (1) только через фокальный параметр, то это уравнение задает однопараметрическое семейство траекторий с параметром р .
Граница зоны безопасности находится в результате совместного решения уравнения (1) с уравнением
р/^1 + соэр-(р/го -1)-этр^1 + 2ре/¡л-(р/го -1)2 Уравнение (2) после упрощения имеет вид
2 -д/Вр - Вр2 • (1 -соэр) = Врэтр В = 2(е/¡ + 1/го) В = 1
= 1/ Го2
(2)
(3)
Явное уравнение границы зоны безопасности.
Будем рассматривать (3) как иррациональное уравнение относительно р. После возведения в квадрат и преобразований получим:
р = 4В(1 - соэр)2 /(4В(1 - соэр)2 + В2 мп2 р)
(4)
Если подставить (4) в уравнение (1), то получим явное уравнение г = г(р, р(р)) границы зоны безопасности. Отметим, что это соотношение не определено при р = о, однако
существует конечный предел
Пш(г(р, р(р))),
р<-о
равный максимальной высоте полета.
Параметрические уравнения границы зоны безопасности.
Рассмотрим (3) как тригонометрическое уравнение относительно угла р(0. Применяя переход к половинному аргументу, получим
р = 2 • агс/£-(о, 5 • В • р /у1 Вр - Эр2)
(5)
Это соотношение вместе с (1) образуют параметрические уравнения зоны безопасности.
Зоны безопасности, построенные по явным уравнениям и параметрическим уравнениям, совпадают (Рис.2).
12000
/ 8000
1 4000
1 2000
1— —^—1— —о— \
-Граница зоны безопасности
-Земля
-10000
-5000
5000
10000
Рис.2.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАНИЦЫ ЗОНЫ БЕЗОПАСНОСТИ
С использованием результатов численных расчетов и метода наименьших квадратов была исследована степенная зависимость максимальной дальности от начальной скорости вида D = K ■ V", где n - целое число, K-неизвестный коэффициент. Оказалось, что
наилучшее приближение дают зависимости: D = 25,79 ■ V03. р3 = 25,79 ■ V03 / r0 .
Приближенный метод построения эллипса безопасности.
В [1,2] установлено, что граница зоны безопасности - эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли. Искомое уравнение эллипса безопасности запишем в виде: х2 /а2 + {у - с).2 /Ь2 = 1. Большая полуось эллипса является наименьшим положительным корнем уравнения РЬ2 + QЬ + Я = 0 , где
Р = 4Гтах Т0 С°5 - 4г!х + Г0 ^ 2 <Рз ,
Q = 2r r02 cos2 ф3 - 4r3 - 6.r2 r0 cos ср3.
^ max 0 ^^^ Т3 max .max 0 ^^^ У3 :
п> о 3 2 2 2 4
R = 2r0 r2.ax C0S ^3 . - r max r0 C0S ^3 - rma:
Малая полуось а = ^2гтахЬ - т^ , фокальное расстояние с = VЬ2 - а2 .
Выражения для коэффициентов квадратного уравнения получены из условия, что эллипс проходит через точку с максимальной высотой и точку с максимальной даль-
нстью.
Приближенный метод построение построения параболы безопасности.
При малых начальных скоростях границей является парабола y = a - a1 x2,
a = rmax = r0 /(l - 0,5r0V02 /¡л) , a1 = (a - r0 sin сръ)/(r02 cos2 (ръ ). Выражения для коэффициентов получаются из условия, что парабола проходит через точку с максимальной высотой, и точку с максимальной дальностью.
Заключение
Получены явные и параметрические уравнения границы зоны безопасности.
Разработаны приближенные методы построения границы зоны безопасности в виде эллипса и параболы.
Показано, что для диапазона скоростей 2км/с - 5 км/с дальность полета пропорциональна третьей степени начальной скорости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Охоцимский Д.Е. Динамика космических полетов. Москва, Издательство Московского университета, 1968, 157c.
2. Космодемьянский А.А. Динамика космического полета. Москва, Издательство Либро-ком, 2011, 248c
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.