АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 5, с. 492-504
АКУСТИКА СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ ^^^^^^ ТВЕРДЫХ СРЕД. ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 539.3
К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
© 2014 г. Т. И. Белянкова, В. В. Калинчук
Южный научный центр РАН 344007Ростов-на-Дону, пр. Чехова 41 e-mail: kalin@ssc-ras.ru Поступила в редакцию 05.12.2013 г.
Развит эффективный метод построения матрицы—функции Грина слоисто-неоднородного полупространства. Предложены удобные для программирования матричные формулы, позволяющие с высокой точностью изучать свойства многослойного полупространства. На примере задачи о колебаниях трехслойного полупространства показана трансформация дисперсионных характеристик структурно-неоднородной среды в зависимости от соотношения механических и геометрических параметров ее составляющих. Исследование свойств функции Грина среды с низкоскоростным слоистым включением показало, что каждая мода поверхностной волны существует в ограниченном диапазоне частот: наряду с критической частотой возникновения моды существует частота ее исчезновения — частота, выше которой мода подавляется за счет наложения нуля функции Грина на ее полюс. Аналогичное исследование, проведенное для среды с высокоскоростным слоистым включением, показало, что наряду с частотой отсечки (частота, на которой распространяющаяся в низкочастотном диапазоне поверхностная волна исчезает) существует частота повторного ее зарождения — верхняя граница "диапазона запирания" первой моды. Вне этого диапазона первая мода является распространяющейся, могут появляться другие распространяющиеся моды. Установлено критическое соотношение геометрических параметров среды, определяющее существование и границы диапазона запирания волны.
Ключевые слова: слоисто-неоднородные среды, функция Грина слоисто-неоднородных сред, поверхностные волны, дисперсионные характеристики, фазовая скорость.
DOI: 10.7868/S0320791914050013
ВВЕДЕНИЕ
Изучению особенностей распространения волн в слоисто-неоднородных средах уделяется большое внимание. В [1—3] детально исследованы вопросы отражения, преломления и волноводного распространения нормальных волн в слоистых средах, в [4] исследовались особенности распространения поверхностных волн, в [3, 4] предложены различные методы анализа волновых полей, в [5, 6] выявлены особенности распространения нормальных волн и волн Рэлея при наличии низкоскоростных слоев в трехслойных средах, в [7] предложены методы анализа волновых полей, основанные на использования функции Грина среды. В [7—10] изучены динамические смешанные задачи для полуограниченных тел, приведены методы построения матриц Грина неоднородных сред типа слоя, пакета слоев, стратифицированного полупространства, выполненных из изотропных и анизотропных материалов, исследованы вопросы возникновения резонансных явлений при их взаимодействии с массивными телами. В [7] определены критерии и сформулированы условия существования и
единственности решения динамических смешанных задач для полуограниченных тел. В [8] при исследовании динамики двух- и трехслойного полупространства изучены дисперсионные свойства среды и исследован вопрос о влиянии ее неоднородности на перераспределение энергии различных типов волн. В [9] предложен эффективный метод построения матрицы Грина для пакета слоев, исследованы вопросы возникновения изолированных резонансов в системе "массивное тело-полуограниченная среда". В [10] исследовались вопросы распространения волн в слоисто-неоднородном преднапряженном полупространстве. В [11] в рамках модели двухслойного полупространства исследовано влияние начальных напряжений в неодно -родном полупространстве на его динамические характеристики и дисперсионные свойства. В [12, 13] на основе детального анализа дисперсионных свойств неоднородного полупространства построены решения интегральных уравнений, обоснован учет всех вещественных особенностей соответствующих функций Грина. В [14, 15] исследованы дисперсионные свойства слоисто-неоднородного полупространства, а также полупространства с
неоднородным покрытием. В [14] получены рекуррентные формулы, определяющие элементы и определитель матрицы—символа Грина динамической пространственной задачи о колебаниях многослойной среды, исследовано влияние соотношения параметров структурно неоднородного полупространства на его дисперсионные свойства. В настоящей работе предложена модификация матричного подхода к построению функции Грина для полупространства с многослойным покрытием. На примере трехслойного полупространства с податливым или жестким внутренним слоем показана трансформация дисперсионных свойств среды в зависимости от соотношения ее механических и геометрических параметров. Показано, что при анализе поверхностных волн необходимо учитывать распределение как полюсов, так и нулей функции Грина среды. Первые определяют ее дисперсионные свойства, вторые определяют структуру поверхностного волнового поля. Так, в среде с низкоскоростным слоистым включением для каждой моды распространяющейся поверхностной волны наряду с частотой ее возникновения существует частота, на которой она трансформируется в "захваченную" волну [5], распространяющуюся внутри полупространства вдоль включения. На поверхности мода подавляется, ее амплитуда становится пренебрежимо малой за счет наложения нуля функции Грина на ее полюс. Для среды с высокоскоростным слоистым включением установлено критическое соотношение геометрических параметров среды, при котором наряду с частотой отсечки (распространяющаяся волна исчезает, что характерно для сред с высокоскоростным покрытием [5]) существует частота повторного зарождения волны — верхняя граница "диапазона запирания" первой моды.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются колебания слоисто-неоднородной среды под действием нагрузки q (, х2) е ,
Среда
х2 < да,
распределенной в области ^ (рис. 1). представляет собой пакет слоев Нк+1 < х3 < Нк, к = 1,2,.., М - 1, лежащих на поверхности полупространства х3 < 0. Между слоями и полупространством имеют место условия жесткого сцепления. Материал слоев и полупространства полагается однородным, изотропным, гиперупругим.
Краевая задача описывается уравнениями движения
^2 (п)
у. @(п) = р(п) д и '
р дг1
(1)
I х3
--" ц(1), Х(1), р(1)
ьм - 1 ц(2), Х(2), р(2) / /
км = 0 / / Х1
Рис. 1. Геометрия слоисто-неоднородной среды.
(1) [q (хьх2,,хьх2 еП, х3 = Н{. N ■ 0(1) = 1 ъ' 1 2 (2)
[0, х1, х2 £ П;
х3 = Нп: и(п) = и(п+1), N -0(п) = N -0(п+1), (3)
п = 2,...М -1. Замыкают задачу условия излучения на бесконечности.
и(М) ^ 0 при х3 ^ -да.
(4)
Здесь и(п) = {и{п), и^} — вектор перемещений произвольной точки, q = #2, д3} — вектор нагрузки, N — вектор нормали, ©(п) — тензор напряжений т-слоя (п = т) или полупространства (п = М). Полагаем, что режим колебаний среды установившийся, все участвующие в задаче величины представляются в виде
I = /о (х1, х2, хз)е
-Ш
Далее в работе используются безразмерные параметры. упругие модули, напряжения и усилия отнесены к модулю сдвига подстилающего полу-
(М)
пространства ц , плотность — к плотности полу-
(М)
пространства р , линейные параметры — к характерному линейному размеру, например толщине т-го слоя I = кт. В качестве безразмерной частоты используется параметр к2 = где У^М) =
I (М) , (М)
= V И / р — скорость сдвиговой волны в подстилающем полупространстве. Для упругих модулей будем применять обозначения X '(п) = X(п)/ц(М),
ц '(п) = ц ("У ц(М). При этом ц '(М) = 1, далее штрихи опускаем. Участвующие в выражениях (1) и (2)
компоненты тензоров ©(и) представляются формулой [10]
А(п) = х(п) и(п) ^ р1 Кр1тзит,$'
(5)
с граничными условиями на поверхности и на границе раздела сред:
В случае изотропной среды они имеют вид [10, 11]
Х'ртЬ = (8 р;8 т5 + 8 т;8 р^)ц(п) + 8 рт8,Д(п (6)
Здесь ХрИпь — упругие константы, определяющие закон состояния я-го слоя или полупространства, 5,у — символ Кронекера. Постановка краевой задачи (1)—(4) в компонентной форме и схема ее решения приведены в [10, 11].
ФУНКЦИЯ ГРИНА СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Следуя [7—11], применим к краевой задаче (1)— (4) двумерное преобразование Фурье по координатам х1, х2 (аь а2 — параметры преобразования).
Решение задачи ищем в виде (Т-"-1, ' = 1,2,3 — трансформанты фурье-компонент вектора смещений
среды и(И) = (И<в), а(2п), и3п)), р = 6 (п -1), п = 1,2,...,М -1, I = 1,2):
и("] = X№ ^ а^ + еЬ а^],
к=1 3
изП = X /к еЬ а^ + ¿Йз+р ^ стк")хз ],
(7)
к=1
и;
(М)
(М)„(М АМ)*з 1) ,
Е/ (М)а (М) У/к Б к+6(М
к=1 3
(8)
тт(М) _ V /(М) Б(М) е т 3 - X /3к Б к+6(М-1)е
(М)
к=1
Параметры акИ) удовлетворяют характеристическим уравнениям (п = 1,2,..., М):
аМ2 -а2 + р(п)(х(п) + 2|(п))-1 к2 = 0, ак")2 - а2 + р(п) (|д(п))-1 к2 = 0, (к = 2,3), /Пл = —ат (ст(п)) 1, /П2) = —а„ст^а-2, т = 1,2,
/3(п) = /3(2п) = 1, /3П = 0, № -а2, (10)
у(») I 2 , 2
/23 =а1, а^а1 +а2.
Неизвестные константы Бкп) определятся при подстановке функций (7) и (8) в трансформированные после действия преобразования Фурье граничные условия (2) и (3). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных констант:
А • С = р. (11)
Здесь C — вектор неизвестных констант, Q — фурье-трансформанта вектора заданной нагрузки
(0 = {01,02,&,0,...,0}),
' В(1) (П) 0 4
(9)
А =
А(1) (К.м) ВМ (Нм)
(м ),
(12)
В(1) (Н1) и В(М^ (НМ) — прямоугольные матрицы размера £ х 2Б и 2Б х £ (где S — размерность задачи)
соответственно. A и А(Н2 М) — квадратные матрицы, размер которых зависит от геометрических параметров задачи и определяется формулами [£(2М - 1)] и [2£(М -1)] соответственно. Например, в задаче о колебании двухслойного полупространства в пространственной постановке матрицы А и А(Н2 М) имеют размер 9 х 9 и 6 х 6. Участвующие в представлении (12) элементы представляются в виде
(/ (!)г1 / (!)г1 / (!)г1 / С1), 1 / С1), 1 / С1), 1 ^
'11 С11 '12 С21 '13 С31 '11 •>11 '12 ^21 '13 531
г (у КУ г (у '«1 /С1), 1 г М, 1
'21 С11 '22 С21 '23 С31 '21 Л11 '22 Л21 '23 Л31
В(1) (п) =
;(1) „1 ;(1) „1 ;(1) 1 '(у /1) 1 '(у
'31Л11 '32^
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.