ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 3, 2015, стр. 30-37
ФИЗИКА
УДК 539.23
К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОВОДНИКА С ЗАГЛУБЛЕННЫМИ КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ
© 2015 г. С.Н. Чеботарев1, А.С. Пащенко1, М.Л. Лунина1
Поступила 03.04.2015
Предложен метод расчета энергии деформации на поверхности полупространства полупроводниковой пластины с заглубленными квантовыми точками. Показано, что поверхность квантовой точки можно аппроксимировать ограниченным числом плоских треугольников. Это позволяет провести интегрирование функции Грина в аналитическом виде. Проанализировано распределение энергии деформации на поверхности полупространства полупроводника в зависимости от глубины залегания квантовых точек. Установлено, что увеличение глубины залегания квантовых точек приводит к смене характера распределения эквивалентных линий энергии деформации на поверхности полупространства - от квадратной к круговой. Для экспериментального исследования влияния глубины залегания квантовых точек 1пАб в матрице GaAs на возникающие упругие механические напряжения методом ионно-лучевой кристаллизации была выращена серия образцов с разной толщиной покровного слоя. На подложку GaAs(001) при температуре 580 °С наносился 0,5 мкм буферный слой арсенида галлия. Самоорганизованный рост массива квантовых точек осуществлялся из распыленного потока 1пАб при температуре подложки 480 °С со скоростью 0,2 МС/с. Толщина 1пАб "квазислоя" равнялась 2,5 нм. Затем на полученный слой 1паб квантовых точек при температуре 450 °С со скоростью 0,1 МС/с наносился покровный слой GaAs разной толщины. В результате были получены три образца с глубиной залегания квантовых точек 10, 20 и 50 нм. Наблюдавемый сдвиг характеристических /О-пиков в спектрах комбинационного рассеяния образцов InAs-QD/GaAs указывает на уменьшение механических напряжений при заглублении квантовых точек.
Ключевые слова: энергия деформации, гетероструктуры с квантовыми точками, функция Грина, ионно-лучевая кристаллизация, комбинационное рассеяние.
ВВЕДЕНИЕ
Наноструктуры с пространственным ограничением транспорта носителей заряда представляют интерес ввиду значительного потенциала их применения в оптоэлектронных устройствах - свето-диодах, лазерах и фотоэлектрических преобразователях [1]. Наноструктуры с квантовыми точками могут быть выполнены на основе непрямозонных [2-5] или прямозонных материалов [6-9]. В гете-роструктурах с квантовыми точками из-за различий параметров кристаллической решетки существует внутреннее поле упругих напряжений [10]. Эти напряжения неоднородны, так как границы раздела квантовая точка - матричный материал имеют сложную форму. Характерная деформация
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences, Rostov-on-Don, Russian Federation), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: chebotarev.sergei@gmail.com
имеет порядок величины относительного рассогласования постоянных решеток двух материалов. Важность исследования влияния напряжений в ге-тероструктурах с квантовыми точками обусловлена следующими причинами. Во-первых, изменение элементарной ячейки вызывает смещение положений экстремумов зоны Бриллюэна; во-вторых, искажение формы элементарной ячейки обусловливает расщепление вырожденных ветвей дисперсии; в-третьих, напряжения могут приводить к появлению встроенного электрического поля вследствие пьезоэффекта [11].
Для анализа распределения напряжений в квантовых точках обычно применяют численные методы - метод конечных разностей и метод конечных элементов. Оба этих метода превращают систему дифференциальных уравнений в конечную систему линейных уравнений. Кроме указанных методов, в последнее время активно развивается аналитический метод нахождения распределения напряжений,
основанный на использовании функции Грина [12]. Отметим, что особенности применения математического аппарата для расчета функций Грина в слоистых гетеросистемах без квантовых точек можно найти в недавних работах В.В. Калинчука, например, в статье [13].
Цель представленной работы заключается в развитии аналитического подхода к расчету упругой деформации на поверхности полупространства полупроводниковой пластины с заглубленными квантовыми точками с использованием аппарата функций Грина и экспериментальной проверке некоторых выводов теории на наногетероструктурах InAs-QD/GaAs, выращенных методом ионно-луче-вой кристаллизации.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Статические деформации в анизотропном твердом теле в общем случае могут быть рассчитаны с использованием системы линейных уравнений [14]:
^У С гутп Стп екгу Е к,
Вг = еук С Ук + еуEу,
(1)
Су
г),
(2)
Су
| С у, I = у = 1,2,3, I- Е,, I =4;
и1
^ =
\и,, I =г= 1,2,3,
|ф г, I =4;
I =1 = 1,2,3, I- Ч, I =4;
| /, I
С
г/К1 "
СукЬ •, К j, к 1,2, 3,
енр • = у = 1,2,3; К = 4, Уы, • =4, к = К = 1,2,3, - еа, / = К = 4.
Введенная индексация позволяет записать системы уравнений (1) и (2) в виде
& / = С г/К1 СК1, (3)
V /,,- + = 0.
Рассмотрим математическую задачу расчета энергии деформации в окрестности квантовой точки, окруженной сплошной средой. Тензор деформации представим в виде суммы [15]
Су = Су + Су,
(4)
где V у - тензор механических напряжений, Сутп -тензор модулей упругости, В, - компоненты вектора электрического смещения, Е - компоненты вектора напряженности электрического поля, - тензор пьезоэлектрических коэффициентов, е у - тензор абсолютной диэлектрической проницаемости, Стп - тензор деформации.
Компоненты тензора деформации С у и вектора напряженности электрического поля связаны с компонентами вектора смещения и,у и электрическим потенциалом соотношением
где С*у - компоненты тензора напряжений, обусловленные несоответствием параметров кристаллических решеток матричного материала и квантовой точки, Су - компоненты тензора внешних напряжений, наблюдаемых за пределами квантовой точки.
Подставляя полученное выражение (4) в соотношение (3), получим
(5)
или
^ и С гик СКь
Vи = Сиш ( Ск1 - ХСК).
(6)
Ег = - Фг.
Равновесное состояние удовлетворяет условию
% г +/у = 0,
Вг,у - Ч = 0,
где/ - объемная сила, ч - заряд электрона.
Проведем унификацию обозначений с целью упрощения записи громоздких математических выражений, рассматриваемых далее по тексту: |vу, и =у = 1,2, 3,
В,-, / =4;
Здесь параметр, | = 1, если рассматриваемая координата находится внутри квантовой точки, и | = 0 в противном случае.
Внутри квантовой точки справедливо выражение
С/К1и К, 1г Сг/К1 СК1, г .
(7)
Правая часть выражения (7) является, по сути, эквивалентной силой
/и = - С/К1 СК1, г. (8)
Компоненты вектора смещения в направлении могут быть найдены интегрированием произведения трехмерной точечной функции Грина и эквивалентной силеы /, заданной выражением (8):
/
ик ( Л) = - I и у (х, Л)[ СуЫ С/т] г х).
Проинтегрируем полученное выражение по частям и, отмечая, что функция сы отлична от нуля только внутри квантовой точки, получим
ик(3) = У^Х1 (х; 3)СуыС*ы(х)ЛУ(х).
V
Компоненты тензора напряжений с* внутри квантовой точки являются константами. В этом случае можно перейти к интегрированию по поверхности, преобразовав выражение (9) к виду
uk(d) = CijlmCm У Ukj(x; d)n¡(x)dS(x),
U (x; d ) = U3 (x; d ) + ■
J- f
2r2J
(G1) j = (B B),.
Собственные матрицы А и В, входящие в выражения (11) и (12), находятся через собственные векторы а и Ь:
Для нахождения упругих напряжений, вызванных несоответствием параметров кристаллических решеток матричного материала и квантовой точки, необходимо найти производные трехмерной функции Грина:
dU(x; d) SU3(x; d)
(9)
dxj
dxj
r
^ Г
2r2 J
A * G2< g,. > Ax d6.
где я,-(х) - вектор внешней нормали к границе квантовой точки.
Воспользовавшись выражениями (4) и (9), найдем тензор упругой деформации:
1кР (3) = |тЫс,ы У [ ик, (X; 3)+ (10)
+ кк(X; 3)] п1 (х)(х).
Тензор напряжений внутри и за пределами квантовой точки можно найти из соотношений (5) и (6). Далее воспользуемся введенным в работе [16] понятием трехмерной функции Грина, заданной для полупространства, ограниченного углом 6 е [0, г]:
A * G 1 Aт d6, (11)
где Л* и Лх - соответственно комплексно сопряженная и транспонированная собственные матрицы Штро [17]. Величина G1 находится из соотношения
Компоненты G2 находим из выражений ( G 2) « =
=_( B ^ B) j_
{- p*x3 + Pjd3 - [(x 1 -d1)cos 6 + (x2 - d2)sin6]}
(g 1H = diag[cos6, cos6, cos6] Gg2 H = diag[sin6, sin6, sin6]
( g3 H = diagp2, pз]
Предположим, что квантовую точку любой формы можно аппроксимировать конечным числом плоских треугольников. Для любого треугольника площадью А можно переписать выражение (9) в виде
Uj ( d ) = Cijim C*m У Uj (x; d ) dS (x ). (13)
А
Подставляя (11) в (13) и изменяя порядок интегрирования, получим:
uk (d):
1
2Г2
Cijlm T/m n
У A * y G1 dA (x)
(12)
Ax d6.
- p*x3 + Pjd3 - [(x1 - d1)cos 6 + (x2 - d2)sin6]
здесь pj - собственные функции Штро. Введенные в обращение собственные матрицы, а также собственные функции Штро могут быть найдены из соотношения [18]
[ Q + p ( R + R т)+ p2 T ] a = 0,
где Qik = Ciakb n a n R ik = Ciak3 n да Tik = Ci2k3 . При
этом (n 1, n2) = (cos 6, sin 6), a = 1,2 и 3 =1,2. Собственный вектор b выражается через собственный вектор a как
b = (Rт + pR) a = - ■!( Q + pR) a.
(14)
Очевидно, что с учетом (12) для интегрирования (14) достаточно найти
/
dj, 6 ) = dA (x)
(15)
-р*х3 + ру33 - [(X1 - 3 1)СОБ6 + (х2- 32)БШ6] " (16)
Область интегрирования А может быть найдена через координаты ее вершин следующим образом. На рисунке 1 геометрически показан способ перехода от трехмерной общей системы координат к двумерной локальной системе координат. Координаты (х1, х2, х3) и (р1, р2, р3) и выражаются через
S
S
А
0
Интегрируя (17) в указанных пределах, получим:
x 1 — x 01
x 2 — x 02 =
.x 3 — x 03
a11 a 12 a13 a21 a 22 a23
a31 a 32 a33
Fx(d, 6)
J_
fx
fx 12 +f л f h +f3
f2- fx 12/h ln\ fx 12 +f
- fx 1f f h +f3
ln I
f +fx l x/h \- fx 11 +f
F2(dj, 6
Jx
1
ln
1
f h +f3
f2+fx l x/h^\f 11+f3 f h +f3
Рис. 1. Взаимосвязь между к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.