научная статья по теме К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОВОДНИКА С ЗАГЛУБЛЕННЫМИ КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук

Текст научной статьи на тему «К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОВОДНИКА С ЗАГЛУБЛЕННЫМИ КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ»

ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 3, 2015, стр. 30-37

ФИЗИКА

УДК 539.23

К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОВОДНИКА С ЗАГЛУБЛЕННЫМИ КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ

© 2015 г. С.Н. Чеботарев1, А.С. Пащенко1, М.Л. Лунина1

Поступила 03.04.2015

Предложен метод расчета энергии деформации на поверхности полупространства полупроводниковой пластины с заглубленными квантовыми точками. Показано, что поверхность квантовой точки можно аппроксимировать ограниченным числом плоских треугольников. Это позволяет провести интегрирование функции Грина в аналитическом виде. Проанализировано распределение энергии деформации на поверхности полупространства полупроводника в зависимости от глубины залегания квантовых точек. Установлено, что увеличение глубины залегания квантовых точек приводит к смене характера распределения эквивалентных линий энергии деформации на поверхности полупространства - от квадратной к круговой. Для экспериментального исследования влияния глубины залегания квантовых точек 1пАб в матрице GaAs на возникающие упругие механические напряжения методом ионно-лучевой кристаллизации была выращена серия образцов с разной толщиной покровного слоя. На подложку GaAs(001) при температуре 580 °С наносился 0,5 мкм буферный слой арсенида галлия. Самоорганизованный рост массива квантовых точек осуществлялся из распыленного потока 1пАб при температуре подложки 480 °С со скоростью 0,2 МС/с. Толщина 1пАб "квазислоя" равнялась 2,5 нм. Затем на полученный слой 1паб квантовых точек при температуре 450 °С со скоростью 0,1 МС/с наносился покровный слой GaAs разной толщины. В результате были получены три образца с глубиной залегания квантовых точек 10, 20 и 50 нм. Наблюдавемый сдвиг характеристических /О-пиков в спектрах комбинационного рассеяния образцов InAs-QD/GaAs указывает на уменьшение механических напряжений при заглублении квантовых точек.

Ключевые слова: энергия деформации, гетероструктуры с квантовыми точками, функция Грина, ионно-лучевая кристаллизация, комбинационное рассеяние.

ВВЕДЕНИЕ

Наноструктуры с пространственным ограничением транспорта носителей заряда представляют интерес ввиду значительного потенциала их применения в оптоэлектронных устройствах - свето-диодах, лазерах и фотоэлектрических преобразователях [1]. Наноструктуры с квантовыми точками могут быть выполнены на основе непрямозонных [2-5] или прямозонных материалов [6-9]. В гете-роструктурах с квантовыми точками из-за различий параметров кристаллической решетки существует внутреннее поле упругих напряжений [10]. Эти напряжения неоднородны, так как границы раздела квантовая точка - матричный материал имеют сложную форму. Характерная деформация

1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences, Rostov-on-Don, Russian Federation), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: chebotarev.sergei@gmail.com

имеет порядок величины относительного рассогласования постоянных решеток двух материалов. Важность исследования влияния напряжений в ге-тероструктурах с квантовыми точками обусловлена следующими причинами. Во-первых, изменение элементарной ячейки вызывает смещение положений экстремумов зоны Бриллюэна; во-вторых, искажение формы элементарной ячейки обусловливает расщепление вырожденных ветвей дисперсии; в-третьих, напряжения могут приводить к появлению встроенного электрического поля вследствие пьезоэффекта [11].

Для анализа распределения напряжений в квантовых точках обычно применяют численные методы - метод конечных разностей и метод конечных элементов. Оба этих метода превращают систему дифференциальных уравнений в конечную систему линейных уравнений. Кроме указанных методов, в последнее время активно развивается аналитический метод нахождения распределения напряжений,

основанный на использовании функции Грина [12]. Отметим, что особенности применения математического аппарата для расчета функций Грина в слоистых гетеросистемах без квантовых точек можно найти в недавних работах В.В. Калинчука, например, в статье [13].

Цель представленной работы заключается в развитии аналитического подхода к расчету упругой деформации на поверхности полупространства полупроводниковой пластины с заглубленными квантовыми точками с использованием аппарата функций Грина и экспериментальной проверке некоторых выводов теории на наногетероструктурах InAs-QD/GaAs, выращенных методом ионно-луче-вой кристаллизации.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Статические деформации в анизотропном твердом теле в общем случае могут быть рассчитаны с использованием системы линейных уравнений [14]:

^У С гутп Стп екгу Е к,

Вг = еук С Ук + еуEу,

(1)

Су

г),

(2)

Су

| С у, I = у = 1,2,3, I- Е,, I =4;

и1

^ =

\и,, I =г= 1,2,3,

|ф г, I =4;

I =1 = 1,2,3, I- Ч, I =4;

| /, I

С

г/К1 "

СукЬ •, К j, к 1,2, 3,

енр • = у = 1,2,3; К = 4, Уы, • =4, к = К = 1,2,3, - еа, / = К = 4.

Введенная индексация позволяет записать системы уравнений (1) и (2) в виде

& / = С г/К1 СК1, (3)

V /,,- + = 0.

Рассмотрим математическую задачу расчета энергии деформации в окрестности квантовой точки, окруженной сплошной средой. Тензор деформации представим в виде суммы [15]

Су = Су + Су,

(4)

где V у - тензор механических напряжений, Сутп -тензор модулей упругости, В, - компоненты вектора электрического смещения, Е - компоненты вектора напряженности электрического поля, - тензор пьезоэлектрических коэффициентов, е у - тензор абсолютной диэлектрической проницаемости, Стп - тензор деформации.

Компоненты тензора деформации С у и вектора напряженности электрического поля связаны с компонентами вектора смещения и,у и электрическим потенциалом соотношением

где С*у - компоненты тензора напряжений, обусловленные несоответствием параметров кристаллических решеток матричного материала и квантовой точки, Су - компоненты тензора внешних напряжений, наблюдаемых за пределами квантовой точки.

Подставляя полученное выражение (4) в соотношение (3), получим

(5)

или

^ и С гик СКь

Vи = Сиш ( Ск1 - ХСК).

(6)

Ег = - Фг.

Равновесное состояние удовлетворяет условию

% г +/у = 0,

Вг,у - Ч = 0,

где/ - объемная сила, ч - заряд электрона.

Проведем унификацию обозначений с целью упрощения записи громоздких математических выражений, рассматриваемых далее по тексту: |vу, и =у = 1,2, 3,

В,-, / =4;

Здесь параметр, | = 1, если рассматриваемая координата находится внутри квантовой точки, и | = 0 в противном случае.

Внутри квантовой точки справедливо выражение

С/К1и К, 1г Сг/К1 СК1, г .

(7)

Правая часть выражения (7) является, по сути, эквивалентной силой

/и = - С/К1 СК1, г. (8)

Компоненты вектора смещения в направлении могут быть найдены интегрированием произведения трехмерной точечной функции Грина и эквивалентной силеы /, заданной выражением (8):

/

ик ( Л) = - I и у (х, Л)[ СуЫ С/т] г х).

Проинтегрируем полученное выражение по частям и, отмечая, что функция сы отлична от нуля только внутри квантовой точки, получим

ик(3) = У^Х1 (х; 3)СуыС*ы(х)ЛУ(х).

V

Компоненты тензора напряжений с* внутри квантовой точки являются константами. В этом случае можно перейти к интегрированию по поверхности, преобразовав выражение (9) к виду

uk(d) = CijlmCm У Ukj(x; d)n¡(x)dS(x),

U (x; d ) = U3 (x; d ) + ■

J- f

2r2J

(G1) j = (B B),.

Собственные матрицы А и В, входящие в выражения (11) и (12), находятся через собственные векторы а и Ь:

Для нахождения упругих напряжений, вызванных несоответствием параметров кристаллических решеток матричного материала и квантовой точки, необходимо найти производные трехмерной функции Грина:

dU(x; d) SU3(x; d)

(9)

dxj

dxj

r

^ Г

2r2 J

A * G2< g,. > Ax d6.

где я,-(х) - вектор внешней нормали к границе квантовой точки.

Воспользовавшись выражениями (4) и (9), найдем тензор упругой деформации:

1кР (3) = |тЫс,ы У [ ик, (X; 3)+ (10)

+ кк(X; 3)] п1 (х)(х).

Тензор напряжений внутри и за пределами квантовой точки можно найти из соотношений (5) и (6). Далее воспользуемся введенным в работе [16] понятием трехмерной функции Грина, заданной для полупространства, ограниченного углом 6 е [0, г]:

A * G 1 Aт d6, (11)

где Л* и Лх - соответственно комплексно сопряженная и транспонированная собственные матрицы Штро [17]. Величина G1 находится из соотношения

Компоненты G2 находим из выражений ( G 2) « =

=_( B ^ B) j_

{- p*x3 + Pjd3 - [(x 1 -d1)cos 6 + (x2 - d2)sin6]}

(g 1H = diag[cos6, cos6, cos6] Gg2 H = diag[sin6, sin6, sin6]

( g3 H = diagp2, pз]

Предположим, что квантовую точку любой формы можно аппроксимировать конечным числом плоских треугольников. Для любого треугольника площадью А можно переписать выражение (9) в виде

Uj ( d ) = Cijim C*m У Uj (x; d ) dS (x ). (13)

А

Подставляя (11) в (13) и изменяя порядок интегрирования, получим:

uk (d):

1

2Г2

Cijlm T/m n

У A * y G1 dA (x)

(12)

Ax d6.

- p*x3 + Pjd3 - [(x1 - d1)cos 6 + (x2 - d2)sin6]

здесь pj - собственные функции Штро. Введенные в обращение собственные матрицы, а также собственные функции Штро могут быть найдены из соотношения [18]

[ Q + p ( R + R т)+ p2 T ] a = 0,

где Qik = Ciakb n a n R ik = Ciak3 n да Tik = Ci2k3 . При

этом (n 1, n2) = (cos 6, sin 6), a = 1,2 и 3 =1,2. Собственный вектор b выражается через собственный вектор a как

b = (Rт + pR) a = - ■!( Q + pR) a.

(14)

Очевидно, что с учетом (12) для интегрирования (14) достаточно найти

/

dj, 6 ) = dA (x)

(15)

-р*х3 + ру33 - [(X1 - 3 1)СОБ6 + (х2- 32)БШ6] " (16)

Область интегрирования А может быть найдена через координаты ее вершин следующим образом. На рисунке 1 геометрически показан способ перехода от трехмерной общей системы координат к двумерной локальной системе координат. Координаты (х1, х2, х3) и (р1, р2, р3) и выражаются через

S

S

А

0

Интегрируя (17) в указанных пределах, получим:

x 1 — x 01

x 2 — x 02 =

.x 3 — x 03

a11 a 12 a13 a21 a 22 a23

a31 a 32 a33

Fx(d, 6)

J_

fx

fx 12 +f л f h +f3

f2- fx 12/h ln\ fx 12 +f

- fx 1f f h +f3

ln I

f +fx l x/h \- fx 11 +f

F2(dj, 6

Jx

1

ln

1

f h +f3

f2+fx l x/h^\f 11+f3 f h +f3

Рис. 1. Взаимосвязь между к

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук»