МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. В. А. БАБЕШКО, О. М. БАБЕШКО, О. В. ЕВДОКИМОВА, А. Г. ФЕДОРЕНКО, В. Л. ШЕСТОПАЛОВ
К ПРОБЛЕМЕ ПОКРЫТИЙ С ТРЕЩИНАМИ В НАНОМАТЕРИАЛАХ
И СЕЙСМОЛОГИИ
Излагается метод исследования напряженно-деформированного состояния блочных структур, свойственных материалам с покрытиями, в том числе наноматериалам, в предположении, что покрытие состоит из двумерных горизонтально расположенных разнотипных блоков, контактирующих по границам между собой. Покрытие расположено на поверхности трехмерной линейно деформируемой подложки. Рассматриваемые блочные структуры находятся под внешним воздействием, в частности, вертикальным гармоническим. Это свойственно также строениям литосферных плит, исследование напряженно-деформированного состояния которых служит целям получения информации о сейсмичности территорий. Топологический подход [1] в настоящей работе детализируется и позволяет получить новые интегральные уравнения, дающие возможность изучать напряженно-деформированное состояние таких блочных структур.
Ключевые слова: блочные структуры, напряженно-деформированное состояние, покрытия, трещины, внешние формы, псевдодифференциальные уравнения.
Не повторяя достаточно детально изложенные в [1] особенности топологического решения граничных задач, свойственные рассматриваемой блочной структуре, остановимся на исследовании граничной задачи для следующей системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение блочной структуры при вертикальных гармонических воздействиях. Сохранив обозначения работы [1], имеем
уравнение для некоторого блока Ь покрытия, Ь = 1,2,..., В, занимающего область 0.Ь с границей ЗО.Ь.
Иь (5x1,5x2) «зь - £5ьЙь = ^зь (1)
Иь( -/аь -/а,2)изь = (езь(«1 +а2) )изь
2 , 2Ч2
изь = ?2«3Ь, Озь = ¥г £зь, Ь = 1,2,..., В Здесь изь — амплитуда вертикальных перемещений пластины
61Ь = 0.5(1 ^ь), 8 2Ь = 0.5(1 + V Ь), 8зь = ЙЬ2 /12
12 12
2 1 -V Ь _1 -V Ь
64Ь - ® рЬ—~—, 65Ь - „ ,
Еь ЕЬЬЬ
64Ь - ® РЬ
\+ ¿Щъ | ^ [ Оцл + ¿М-\йхъ йхх) \ йхъ йх1у
¿и^ъ ¿и2ъ ¿Щзъ I о ¿Щзъ
gзb = Ь\^ + + 1 + хз = 0
^ ах1 ах2 ахз) ахз
Здесь для пластин приняты обозначения: А, ^ — параметры Ламе, V — коэффициент Пуассона, E — модуль Юнга, h — толщина, р — плотность, ю — частота колебаний, g3b, 1зъ — значения контактных напряжений и внешних давлений, действующих вдоль оси x3 в области 0.ь; Е2 = ^2(04, а2) — двумерный оператор преобразования Фурье.
В локальной системе координат {х1х2 х3} с плоскостью (х1х2), совпадающей со срединной плоскостью пластины, осью Ох3, направленной по нормали к пластине, осью О^, направленной по касательной к границе, осью Ох2 — по нормали к границе, граничные условия могут быть заданы любыми двумя из представленных ниже четырех соотношений, а именно в виде вертикального перемещения на границе
изъ = /1(5П ь) (3)
поворота срединной плоскости вокруг оси x1:
д изъ /дх2 = /2(ЭП ь) (4)
момента изгиба на границе
М = -О
^д из д из^ _ ЕН
—Y + v—^ 1= /з(д^ъ), О =-Т (5)
дх1 дх2) 12(1 -V )
V
перерезывающей силы на границе
е = -о
+ (2 -У)-^ | = /4(5Пъ) (6)
дх2 дх1 дх2 ,
В качестве деформируемого основания-подложки, на которой находятся пластины-покрытия, описываемого краевой задачей (1), можно принимать различные модели. Это могут быть деформируемое полупространство, слой, многослойное полупространство, в том числе анизотропное, вязкоупругие среды. Во всех перечисленных случаях соотношения между напряжениями на поверхности слоистой среды gkb, к = 1,2, з и перемещениями uk, к = 1,2, з, имеют вид (2), со свойствами
от
и(х1, х2, хз) = —- [ [К(а1, а2, хз)0(а1, а2)е 1('а'х'} йа1йа2 4п2 -1 -1
—от
(а, х) = а1х1 + а 2 х2 (7)
К = \Ктп\, т,п = 1,2,з, К(а1,а2,0) = О(А *), А = ^а2 + а2 ^да
где Кк5 (а1, а2, хз) — аналитические функции двух комплексных переменных а^ в частности, мероморфные, их многочисленные примеры приведены в [2, 3].
Эти соотношения называются функциями влияния.
В тех случаях, когда уравнения, описывающие поведение среды основания известны, элементы матрицы-функции К(а^, а2,0) удается вычислить. Когда нет таких уравнений, функции влияния могут быть получены экспериментально.
В качестве примера рассмотрим скалярный случай вертикальных колебаний пластины. Тогда функциональное уравнение [1, 4, 5] граничной задачи для этого случая, представленное для описанной ранее пластины как для многообразия с краем, расщепляется для каждого блока и дается соотношением [1]:
ИД - 1Щь, - аь )и зь = (ЕзДац + а^)2-еАЬ)изь =- | (Йь + е56Е2<Язй + 'зь)
(8)
зоЬ
Ь = 1,2,..., В
Здесь юь — участвующая в представлении внешняя форма, имеющая вид
®ь = Езье
'(а,х)
д3Щь а д2Щь
--'а 2-
дх■
дх-
2 диз
дх2
з
д изь
2
д изь
- аг-^ + га2изь + 2 " ¡*зь - 2'аг 2
дх1 дх2
дх1
йх1 +
дзизь . д2изь 2 дизь . з —— га1 _ 2Ь -а1^Ь + га1изь
дх1
дх1
дх1
йх-
щ = Езье
'(а,х)
Л-1
г'а2МБ 1 - QБ 1 - (а2 + vа2)дизг + га2[а2 + (2 - v)a2]u3r
дх2
йх1
Граница блока, как указано выше, может иметь разного характера свойства контакта с соседними блоками или быть свободной. Это свойство должно быть внесено в представление псевдодифференциального уравнения.
Для его построения отыскиваются корни коэффициента функционального уравнения (8) и затем выполняется требование автоморфизма применительно к функциональному уравнению, вычисления формы-вычета Лере [6].
В результате получаются псевдодифференциальные уравнения.
Допустим, одна из частей границы блока (0.Ьг) является прямой. Тогда построенная на этой части группа псевдодифференциальных уравнений принимает вид [1]:
РГ1^)/- | {«а21-Б~1МГ - Б-
\ дПьг
- (а21- + vа2)дизг + г'а21_[а21_ + (2 - v)а2]uз,. [е'а1Х1йх{ + дх2
(9)
+ | (ЙЬ + £5ьР2(£зь + 'зь)) = 0, а2 = а21-, ^ е дП1
ЗПЬ \ЗПЬг I
Р^)/ - | |'а22-Б-1МГ - Б-
\ дПЬг
- („22- + га2) д, + а 22_[а 22- + (2} е*^ +
дх, I
+ | (ЙЬ + £5ьР2(^зь + 'зь)\ = 0, «2 = а22-, е ЗОь\ЗПЬг I
Ьг
Здесь Р 1 — обратные операторы к одномерному преобразованию Фурье.
+
В подынтегральных функциях должно быть принято
а21- = -V(а[)2 -V-".4ь/"зь, а22- = ^(аУ'^е«/^ (10)
Если граница не является прямой, то можно считать, что рассматривается малая зона этой границы. Аналогичный вид имеют другие группы псевдодифференциальных уравнений на других участках границы. Характерным является свойство главного оператора содержать все типы граничных условий, которые может иметь на границе пластина [5, 7, 8] при вертикальных колебаниях, аналитические выражения которых даются соотношениями (3)—(6). Выписав все псевдодифференциальные уравнения для каждого участка границы и для каждого блока, внеся в них соответствующие граничные условия и решив извлеченные из псевдодифференциальных уравнений интегральные уравнения, получим представление решений в каждом плоском блоке из соотношений
Щь = [ъ( - 1аи, - г'«^)]-1 ] - { ®ь + Ъь^зь + %)) (11)
\ аоь I
Найденное представление изь (10) двумерной блочной структуры приравнивается значению изь (7 ) при хз = 0 трехмерной блочной структуры и в результате получается интегральное уравнение для определения контактных напряжений между покрытием и подложкой, несущее информацию о концентрации напряжений в литосферной плите от вертикальных воздействий.
Как показано в [1, 9—12], псевдодифференциальные уравнения в методе блочного элемента или, что то же самое, в топологическом методе, являются своего рода "диспетчерами" граничной задачи. Они позволяют уже просто получать интегральные уравнения всех типов условий на границе для данной граничной задачи. Рассматривая построения в локальной системе координат, продемонстрируем это на примере главного оператора, соответствующего прямолинейному участку границы или уплощенной локальной ее зоны, если она криволинейная.
Один из подходов решения исходной граничной задачи состоит в следующем [1]. Вначале решается задача для блочной структуры покрытия.
В результате решение будет зависеть от неизвестных контактных напряжений под блоками и от функционалов от них.
После этого исследуется контактная задача по определению контактных напряжений под блоками, которые будут зависеть от своих же функционалов. Последние находятся из линейной системы, строящейся на последнем этапе, путем использования контактных напряжений. Для этого подхода необходимо извлечь соответствующие интегральные уравнения из псевдодифференциальных. Для сформулированной граничной задачи должны задаваться на границе два граничных условия. Допустим, заданы граничные условия (3) и (4). Тогда, применив к системе псевдодифференциальных уравнений (9) оператор Г1(а1), получаем систему уравнений вида
Тц?! + ТП7.1 = -(Т^з + 71424 + 01) - --Й112 (12)
Т21%1 + Т22%1 = —(Т2з2з + Т2424 + 02) - —^212 Здесь приняты обозначения
Т11 = ''а 21-[(1 -V ь )а2 +
Т12 = [(1 -V ь)а2 — 4ъ£зЪ1]
Т21 = 'а22—[(1 -VЬ)а2 4ь£зЬЬ] Т22 = [(1 -Vь )а2
71з = «а 21-Б_1, Т2з = «а 22-Б_1, Т14 = Т24 = Б-1
= ^(аОиз, ^ 2 = Ц(аОдиз, гз = ^(аОМЬ, г4 = ^(а^
дх2
Решим систему уравнений (12) относительно Z\, 12 и получим соотношения в форме *1 = А-21(^212Т12 - ^112Т22) = ^112^з + ^212^4 + ^112©1 + ^21202
г2 = АГ21(^112?21 - Л212?11) = ^гз + ^412^4 + ^з12©1 + ^41202 (13)
^12 = Т11Т22 - Т12Т21
Вновь подействуем на эту систему уравнений оператором р-1(х1). В результате получим систему интегральных уравнений, представимую как
I [и112(х1 - ^1)М + и212(х1 - ^1)Q]d= /1(х1) - Р112(х1)
дПг
| [[12(х1 - ^1)М + и412(х1 - ^l)Q]d^ = /2(х1) - Р212(х1) до (14)
х1 е Пг, Р112(х1) = Р1-1(х1)(Ж112б1 + ^21202)
Р212(х1) = Р1-1(х1)(Жз1291 + ^41282), игкт(х1) = ^(х^У.кт
Допустим, на границе задаются два других граничных условия, например, (3) и (5), т.е. изЬ и М. Тогда аналогичная (12) система уравнений принимает вид
(15)
Тп£1 + 71згз = -ГЬг 2 + ?14г4 + 01) - -Яцз
Т21г1 + Т2згз = -(Т22г2 + Т24г4 + 02) - -^21з
Ее решение можно записать в форме
г1 = А-з1(^21з?1з - ^11зТ2з) = Уцз12 + ^21зг4 + ^Ш01 + ^21з02
гз = АГз^ЛизТг! - Л21з7и) = Узиг2 + ^шг4 + ^ш01 + ^^ (16)
А1з = Т11Т2з - Т1зТ21
Повторяя предыдущий алгоритм, но уже для этих выражений, приходим к системе уравнений, допускающих представление
да.
и11з(х1 диз + и21з(х1 - ^1)Q
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.