МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.51.013.4:536.25:532.29
© 2008 г. В. С. ТЕПЛОВ
К ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИИ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ
Обсуждаются принципы и подходы при построении модели вибрационной конвекции в двухфазной среде, состоящей из жидкости (газа) и твердой примеси. Впервые получена замкнутая система осредненных уравнений. Система допускает предельный переход как к уравнениям вибрационной конвекции в однородной жидкости, так и к уравнениям конвекции в запыленной среде в статическом случае. При этом мерой отличия по отношению к однородной жидкости, кроме параметра оседания, который проявляется и в отсутствие вибрационных ускорений, служит введенный здесь параметр неоднородности среды, отвечающий за пульсационный перенос осредненных полей. Рассматривается задача устойчивости плоскопараллельного течения в вертикальном слое двухфазной среды при горизонтальных вибрациях вдоль слоя по отношению к бесконечно малым возмущениям. Показано, что добавление частиц в поток приводит к качественно новым эффектам, которые не могут быть предсказаны в рамках однородной жидкости.
Ключевые слова: частицы, вибрация, конвекция, устойчивость.
Первые попытки учесть влияние примеси на устойчивость конвекции были предприняты в работах [1, 2], в которых использована простейшая модель в рамках приближений Буссинеска без учета [1] и с учетом [2] оседания частиц. Рассмотрена задача об устойчивости стационарного конвективного течения среды, содержащей твердую примесь, между вертикальными плоскостями, нагретыми до разных температур. Однако, как показано в [3], система уравнений [2], вообще говоря, не является строго буссинесковой, так как содержит асимптотически большие и асимптотически малые параметры. Здесь же впервые получена непротиворечивая замкнутая система уравнений конвекции в среде с твердой примесью.
В [4, 5] указанный в [3] подход применен для вывода уравнений конвекции жидкости с примесью в условиях модуляции поля силы тяжести и рассмотрена задача устойчивости течения в вертикальном слое жидкости при горизонтальных вибрациях вдоль слоя.
В данной работе уравнения, полученные в [3-5], обобщаются на случай вибрации высокой частоты. Как и в [3-5], в основу рассмотрения положена модель, согласно которой, имеются две взаимопроникающие и обменивающиеся движением и теплом сплошные среды: несущая жидкость и облако частиц. В силу предположения о малости объемной концентрации примеси пренебрегается влиянием частиц друг на друга. Взаимодействие частиц с жидкостью описывается законом Стокса, а теплообмен происходит по закону Фурье (о границах применимости данной модели см. [5, 6]).
В данной постановке даже в случае, когда полость, заполненная двухфазной средой, совершает линейные гармонические колебания, следует ожидать новых эффектов, связанных с переносом массовой концентрации примеси. Если же пульсационное поле также неоднородно, то можно ожидать появления эффектов, связанных со взаимодействием этих двух механизмов генерации осредненного движения.
Обсудим основные подходы, применяемые при выводе уравнений высокочастотной вибрационной конвекции для случая "чистой" жидкости при поступательных вибрациях, а затем применим их при выводе уравнений для среды с пылью.
Если частота вибраций ю достаточно велика, так что ю > v/h2, где v - кинематическая вязкость, а h - характерный размер гидродинамических структур, то все процессы в системе можно разделить на быстрые и медленные. Эффективное расщепление задачи на пульсационную и усредненную части возможно, если имеются основания отбросить нелинейные члены в уравнениях пульсационной компоненты движения. Пульсационная компонента скорости по порядку величины равна скорости самого сосуда в лабораторной системе отсчета и = аю. По этой причине нелинейные члены можно отбросить, если a2(ä2/h ^ аю2, что накладывает ограничение на амплитуду вибраций: а < h.
Имеется также ограничение по частоте сверху, обусловленное использованием модели несжимаемой жидкости: длина звуковой волны должна быть много больше характерного размера. Таким образом, период вибраций должен удовлетворять неравенствам
h ■ Гh2 h2\
- ^ т ^ min —, —
С Vv х)
где с - скорость звука, х - температуропроводность.
Неоднородность температурного поля в массовых силах учитывают на основе приближений Буссинеска.
Определяя пульсационные компоненты и производя в основном порядке осреднение по "быстрому" времени, приходят к системе уравнений для осредненных полей [7].
При описании конвективных движений в среде, содержащей твердую примесь и находящейся в высокочастотном вибрационном поле, дело обстоит сложней. Во-первых, пользоваться обычными приближениями Буссинеска нельзя [3-5], так как такой подход приводит к появлению в уравнениях движения асимптотически больших и асимптотически малых параметров из-за присутствия в системе характерных времен, связанных с процессами выравнивания неоднородностей скорости и температуры. Во-вторых, при выводе уравнений в приближениях Буссинеска на основе уравнений баланса массы, импульса и энергии приходится пренебрегать эффектами генерации осредненного движения, связанными с неоднородностью плотности жидкости по сравнению с эффектами, вызванными переносом массовой концентрации примеси (так как в данном случае ускорения элементов среды не малы). Это делает невозможным осуществление предельного перехода к уравнениям [7] высокочастотной вибрационной конвекции для случая однородной жидкости. Можно заметить, что уравнения, полученные в работах [3-5], при устремлении массовой концентрации к нулю, такой предельный переход допускают.
Для преодоления указанных трудностей в качестве уравнений, подлежащих усреднению, примем уравнения динамики двухфазной среды в условиях вибрации конечной частоты [4, 5]. В данной системе все параметры сбалансированы, а уравнения [4, 5] -это уравнения [8], обобщенные на случай среды, содержащей твердую примесь. Кроме этого, здесь нет необходимости учитывать отдельно эффекты генерации осредненного движения, связанные с неоднородностью плотности жидкости.
Другое отличие указанного подхода состоит в применении метода осреднения (см., например, [9]). В силу того что в уравнениях движения появляются дополнительные слагаемые, связанные с присутствием твердой примеси, для получения равномерно пригодного разложения необходимо предположить, что осредненные поля не зависят от быстрого времени, тогда как в случае однородной жидкости эти условия получаются автоматически.
Данный подход приводит к замкнутой системе осредненных уравнений вибрационной конвекции, осуществляющей предельный переход при устремлении массовой кон-
центрации к нулю, к уравнениям вибрационной конвекции [7], а в отсутствие вибраций к уравнениям работы [3] для конвекции в запыленной среде.
1. Осредненная система уравнений высокочастотной вибрационной конвекции в запыленной среде. Ограничимся рассмотрением такой ситуации, при которой концентрация примеси не зависит от координат. При этом уравнение для массовой концентрации примеси в [4] можно исключить из рассмотрения, а к управляющим параметрам добавится ее равновесное распределение ¡0. В этом случае уравнения [4] примут вид
(1 + ¡о)^ + (и г—) и г! = - —Р + Ли г + ОтТХ + ^ —иг
(1+ B ^)(^ + (u f V) f = рA Tf + SB^Y—Tf (1.1)
—uf = 0, us = uf - SY, Ts = Tf Y = g + nAcos(Qt)
Кроме массовой концентрации примеси в задаче присутствуют еще семь безразмерных параметров
Gr = Pr = V, A = ™L, Q = D = —, B = C S = DGa^
v2 X 8 v P f о Cf 2 h
Здесь Gr - число Грасгофа, Pr - число Прандтля, безразмерные A - амплитуда и Q -частота вибраций, D, B - отношения плотностей, B - теплоемкостей фаз и S - параметр оседания.
При устремлении частоты вибраций к бесконечности (ю ^ го), как видно, безразмерные амплитуда и частота вибраций становятся асимптотически большими параметрами (A ^ го, Q ^ го).
Во всех переменных величинах выделим пульсационную, быстро меняющуюся компоненту и медленную часть, характерные времена изменения которой велики по сравнению с Q-1. Возникает иерархия времен, что делает естественным применение при усреднении метода многих масштабов [10]. В соответствии с основной идеей метода введем последовательность времен т = Qt, t0 = t,.....Тогда производную по времени,
а также искомые поля скорости, температуры и давления представим в виде рядов
f df t0
Здесь
Uf= < u;> + u i + ..., Tfi = < Tt) + T i + ..., P i = < P > + P i + ... (1.3)
где угловыми скобками обозначены осредненные компоненты величин.
При подстановке разложений (1.2) и (1.3) в (1.1) во всех уравнениях будут фигурировать осциллирующие и "плавные" слагаемые. Средние значения осциллирующих слагаемых за время периода вибраций обращаются в нуль, осредненные же поля за это время меняются очень мало. Эти слагаемые должны, очевидно, уравновешиваться в каждой из этих двух групп в отдельности.
Собирая слагаемые одного порядка малости, в основном порядке для пульсацион-ных компонент получим
du
(1 + ^o)Q ат0 = - Vp-1 + A(Si>V<uo> + Gr<To)n)cos(т) (1.4)
ft= "эГ + эГ+-"' = ufo + Tf = Tf° + Tn+-> P = P-i + po + ... (I-2)
(1+ B + UqV< T 0>) = A nV< T 0) cos (т) (1.5)
В уравнениях для пульсаций (1.4), (1.5) везде, за исключением слагаемого u0V<T0), которое является причиной регулярного осредненного течения в "чистой" жидкости, фигурируют только функции медленного времени. Будем считать пульсационные компоненты малыми по сравнению с осредненными частями. Этому можно предложить следующее обоснование. Поскольку в данном случае полагаем, что частицы распределены равномерно по всему объему дисперсной среды, каждой дисперсной частице в среднем соответствует некоторый регулярный объем несущей фазы (например, в виде куба или шара вокруг дисперсной частицы). Движение внутри этого объема в среднем будем полагать таким же, как и вокруг остальных частиц элементарного макроскопического объема, т.е. предположим, что существует некоторая регулярная турбулентность или некоторая "почти периодичность" микропараметров в пространстве с линейным периодом, равным средне
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.