ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА, ДИАГНОСТИКА,
ИСПЫТАНИЯ
УДК 621.833
© 2004 г. Шишкин C.B., Махутов H.A.
К РАСЧЕТУ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЛОМАТЕЛЯ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ
Рассмотрен приближенный и уточненный расчет ломателя с эффектом памяти формы методом термомеханических диаграмм. Для описания термического фор-мовосстановления силового элемента используются уравнения полубезмомент-ной теории изотропной цилиндрической оболочки при неосесимметричном нагру-жении и теории плоского изгиба колец.
В настоящее время для безвзрывного разрушения породы на горных разработках и бетонных конструкций в строительстве при аварийных работах и ремонте разработано несколько типов гидравлических и механических ломателей. Однако их широкое применение ограничено из-за низкой надежности в эксплуатации. Вследствие простоты конструкции, компактности и отсутствия подвижных частей достаточно перспективным является термомеханический ломатель, хотя он и уступает по силовым характеристикам аналогичным гидравлическим и механическим образцам. Его конструкция представляет из себя обычную трубу из никелида титана или связку трубчатых секций для отработки непрямолинейных отверстий и специальный электронагреватель.
Принцип работы ломателя на эффекте памяти формы поясняется на рис. 1. Силовой элемент в исходном состоянии при нормальной температуре имеет овальное поперечное сечение 1. При обжатии трубы по образующим между двумя плоскостями ей задается предварительная максимальная деформация порядка 10%, в результате которой поперечное сечение становится близким к круглому 2 (рис. 1, а). Далее деформированный силовой элемент с небольшим зазором помещают в скважину (рис. 1, б). При нагреве выше интервала температур обратного мартенситного превращения сплава труба стремится восстановить свою первоначальную форму, т.е. перейти к овальному сечению, что и обуславливает ее силовое воздействие на плиту или породу. Термическое формовосстановление трубы в условиях противодействия показано на рис. 1, в. Для реализации следующего цикла нагружения силовой элемент снова должен быть предварительно продеформирован. Для его изготовления обычно берется трубная заготовка из сплава ТН1, которая после механической обработки и прессования с целью получения овального профиля подвергается специальной термообработке.
Стандартный диаметр скважины на горных разработках составляет 40, ..., 100 мм, т.е. наибольшая величина радиального перемещения силового элемента при свободном термическом формовосстановлении равна 3, ..., 7 мм. Хотя податливость бетона и горных пород за некоторым исключением при разрушении невелика, проблема увеличения хода ломателей является весьма актуальной.
Прежде чем перейти к определению силовой характеристики ломателя, вычислим его радиальное перемещение V(0) в результате предварительной деформации изгибом. Полагаем, что деформированный силовой элемент приобретает идеально круглое поперечное сечение. При обжатии эллиптической трубы 1 в круглую 2 (рис. 1, а)
Рис. 1
перпендикулярно большой осп ее срединная поверхность в исходном состоянии описывается уравнением
-1 [ r + V (0)]2cos2 9 + -1 [ r + V (9)]2 sin2 9 = 1, (1)
a b
где r - радиус срединной поверхности трубы после деформации; a, b - большая и малая полуоси эллипса соответственно; 0 - угол между направлением отсчета радиального смещения и осью OX.
Решая уравнение (1) относительно V(0), получаем
V(0) = ab£ - r, где £ = (Vb2cos20 + a2sin20)(2)
При радиальном изгибе нерастяжимой трубы е0О) = 0 с толщиной стенки h наибольшая деформация на ее поверхностях описывается равенством
e0z) = (h/2r)[V(0) + V"(0)] при z = h/2. (3)
Выражение (3) при подстановке в него (2) и второй производной по 0 перепишем в виде
r [ 1 + (2 r/h )e(VH)] = ab£[ 1- (a2- b2 )£2cos20 + (3/4)( a2- b2 )2 £4sin20],
где e(VH) - объем памяти формы при заданной деформации радиальным изгибом [1]. Следовательно, при 0 = 0 и e0z) = e(VH) имеем r[1 + e(VH) (2r/h)] = a[2 - (a/b)2].
Согласно принятой гипотезе о нерастяжимости трубы е0°) = 0, запишем второе уравнение равенства периметров окружности и эллипса 2nr = n[1,5(a + b) - Jab ]. Вводя обозначения n = a/b и X = 1 + 2re^*1 /h, получаем r%/b = n(2 - П2), 2r/b = 1,5(1 + n) -- Vn . Отсюда окончательно имеем
4n3-(8-3x)n -2^Vn + 3X = 0. (4)
Решение трансцендентного уравнения (4) нетрудно получить одним из известных методов последовательных приближений.
Для примера определим величины a и b для трубы с h = 4 мм и r = 28 мм при объеме памяти формы при изгибе на сжатой поверхности e^*1 = -0,10. Из уравнения (4)
при X = -0,4 получаем n = 1,53. Отсюда a = 1,1734 r = 32,85 мм; b = 0,7669 r = 21,47 мм, т.е. V(0) = 4,85 мм.
Ок, МПа 750
450
150
Рис. 2
В результате стесненного термического формо-восстановления происходит радиальное перемещение трубы на величину Ж2у(9) (рис. 1, в), т.е. для идеально круглого отверстия перемещения поверхности скважины Ж1(0) в плоскости Х0У равно Ж1(0) = = W2J(0) - 5, где 5 - технологический радиальный зазор между силовым элементом и поверхностью скважины.
Из-за силового противодействия разрушаемой породы, или бетонной плиты часть заданной деформации силового элемента ломателя остается недовос-становленной, т.е. W2f(0) = КуУ(0) - W2s(0), где К^- коэффициент полноты формовосстановления трубы в свободном состоянии при отсутствии противодействия; W2s(0) - остаточное смещение силового элемента вследствие его недовосстановления. Отсюда, условие совместности перемещений трубы и поверхности скважины можно записать так
Wl(0) - W2S(0) = ЩУ(0) - 5. (5)
Для решения уравнения контакта (5) входящие в него смещения необходимо выразить через искомую контактную нагрузку #(0) при воздействии ломателя на поверхность скважины. Полагаем, что смещение поверхности скважины удовлетворяет гипотезе упругого Винклеровского основания W1(0) = Х#(0), где X - упругая податливость породы или строительной конструкции.
Связь между смещением W2s(0) и контактным давлением #(0) можно установить на основе термомеханической диаграммы, т.е. зависимости реактивных напряжений возврата ой от величины деформации недовосстановления е5 [2]. Отметим, что величина реактивных напряжений существенно зависит от вида заданной деформации [1-6]. Поэтому условия задания и восстановления деформации силовым элементом ломателя и образцами при определении диаграммы должны быть идентичными. Методика построения данной термомеханической кривой при заданной деформации колец радиальным изгибом изложена в работе [1]. Соответствующие зависимости для сплава ТН1 в степенной (1) и квазилинейной (2) форме приведены на рис. 2. Для получения упрощенного (приближенного) решения представим диаграмму в линейном виде (3)
„ _ Т7С(И)
Ок - ,
(6)
где Е - термомеханический аналог секущего модуля упругости.
При описании экспериментальной кривой в квазилинейном виде с параметрами Ой(0) и Е* (рис. 2) величина Е в равенстве (6) равна
(7)
: + О /р(и) + ° й(0)/ьV •
Очевидно, что при использовании соотношений (6) и (7) расчетная величина усилия ломателя оказывается заниженной.
Представим силовой элемент ломателя в виде изотропной, цилиндрической оболочки при неосесимметричном нагружении. Согласно полубезмоментной теории Власова В.З. [7] ее окружная деформация Ф(р; 0) описывается дифференциальным уравнением
Э4д (р ; 0 ) _Н
1
Эр4
+ ; 0)] - - т-7Р(р; 0),
12 г
ЕН
(8)
где Ь - —4 + -Э04 Э0
2'
Р(р; 0)
°3Р 1
2 п 3 г 00
22 0 Р2 + 0 Рз
гЭрЭ0 ' г2Э02
- дифференциальный оператор Власова В.З. и функция поверхностной нагрузки.
2
4
Так как поверхностная нагрузка симметрична относительно плоскости 0 = 0, то компоненты нагрузки р1, р2, р3 можно разложить в бесконечные косинусоидальные ряды
Рг = Рг 0+ X Р * ^ к0' 1 = 1 2' 3 (9)
к = 1
Подставив (9) в функцию поверхностной нагрузки, получаем
р(Р; 0) = X p ksin k0 = X
íki~ kdp2k ~ к2Л r2P1k + Г d р - Рзk 2
sinke. (10)
к = 1 к = Л' ' ' ^
Внесем выражение (10) в правую часть уравнения (8) и будем искать решение в виде ряда
<ö(p; e) = ^ Fk(p) sin к e, (11)
к=1
где Fk(p) - функция только от р.
В результате подстановки (11) в (8) оно распадается на бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
X ^ + ±-Fk(k2-1 )2 sink9 = -1X pksink0, (12)
dp4 12r J
к =1L "f J
где к-ое уравнение системы (12) имеет вид
4
d Fk (р) л r,4„ Рк (р) ла4 ,2,4,,2 .Л,,,
-Т~ + 4PkFk(Р) =--FT- пРи 4Рк = hk (к - 1) (12r ) •
d р4 Eh
Полагаем, что контактное давление между силовым элементом и отверстием в плите не зависит от р, т.е. q(p) = const и распределяется по углу по закону косинуса q(0) = qmaxcos 0 при -0О < 0 < 0О и п - 0О < 0 < п + 0О, где угол ±0О соответствует границе контакта между трубой и скважиной. Представим контактное давление в виде симметричного ряда
q(0) = q0 + ^ qk cos k0. (13)
к = 2,4, 6...
Для определения qQ проинтегрируем правую и левую части равенства (13) от О° до 36О°. Получаем qQ = (2/n)qmaxsin0О. Для определения qk умножим обе части равенства (13) на cos к0 и проинтегрируем от О° до 36О°. Получаем qk = (2/n)rakqmax, юк = = [sin(k + 1)0о/(к + 1)] + [sin(k - 1)0о/(к - 1)].
Таким образом, ряд (13) перепишем в виде
?(9) = nk^maxj sin90 +
k = 2,4, 6.
sin (k +1 )90 sin (k -1 )90
k+1 k-1
cos k9 k (14)
С учетом соотношения (14) при р2 = р3 = 0 функцию поверхностной нагрузки (10) можно описать уравнением
^ 3
2 к V
k
P(p; 9) = X -т qmaxsin k9
nr
k = 2, 4, 6.
Поскольку напряженно-деформированное состояние трубы не зависит от р, т.е. d4Fk(p)/dp4 = 0, то из уравнения (11) следует Fk = -24qmaxr4rak/n£h3k(k2 - 1)2 = const. Отсюда находим радиальное смещение силового элемента
W (9) _ dd(9) _ q max v
Ws(9) _--иг _ L
sin (k + 1 )90 sin (k -1 )90
+ -
^ к=2^к+1 к-1 \кг-1) При 0 = 0 это выражение перепишем в виде
24 г4яях ^ юк 5шах( 0) = -^ У —-к-5. (15)
пЕЙ к = 27б...(к 2-1)
Условие совместности перемещений (5) достаточно рассмотреть относительно их амплитудных значений. Подставляя в него равенство (15) с учетом осесимметричной части Ж25(0) = (2#шахг /лЕй^ш 0О и податливости породы, определяем вели
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.