УДК 620.179.14
К РАСЧЕТУ ПОЛЯ ДЕФЕКТА В ТРЕХМЕРНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
В. В. Дякин, О. В. Умергалина
Предложена общая схема вычисления поля произвольного дефекта в трехмерном полупространстве, в основе которой лежит решение задачи магнитостатики только на поверхности дефекта. Выполнены расчеты для однородного нормального к поверхности металла внешнего поля.
1. В основу многих магнитостатических расчетов, особенно для теоретических исследований, удобно положить интегродифференциальное уравнение
Н (г) - V с11у[(Ц~1)Н(г/)^ = Н°(г), (1)
а 4кК
где магнитная проницаемость ц является ограниченной кусочно-непрерывной функцией координат с кусочно-непрерывными производными, поверхности, разграничивающие магнетики, считаются достаточно гладкими (ляпуновскими); Я: = 1г - г'1. Так как область £2, содержащая магнетики, зачастую считается неограниченной (например, полупространством, цилиндром и пр.), то строгое рассмотрение (1) предполагает наличие теоремы существования и единственности решения, отсутствующей в литературе для этого случая. Докажем ее в предположении, что внешнее поле Н° квадратично суммируемо в П:
ПН%:= |(Н°(г))2^г
<00,
что, как правило, выполняется в практических задачах, где внешнее поле формируется катушками или магнитами конечных размеров.
Покажем, что в пространстве квадратично-суммируемых вектор-функций Ь2(0.) решение (1) существует и единственно. Для этого сначала приведем ряд свойств оператора А
Ли: = -Уау[и(г/)^. (2)
J 4тт7?
п
Используя преобразование Фурье
й(к): = ^/ЛЮ*.
из (2) в силу равенства Парсеваля [1] имеем
Г (к, V) (к, й) ¿к
(V. Ли\2(П) = | >\2 > . (3)
то есть оператор А симметричен, а так как из (3) вытекают неравенства
то он ограничен, а в силу (3) самосопряжен и неотрицателен. При этом нижняя граница в (4) достигается на функциях, для которых divu = 0 и u\s = 0, а верхняя — на функциях u = VT, Tl . = 0 (s — граница области Q). В силу сказанного имеет место оценка
II/ - 2AII < 1, (5)
где / — единичный оператор.
Возвращаясь к уравнению (1), придадим ему следующую эквивалентную форму [2]:
TM = М, (6)
где
7М: = Л(2Н° + М - 2ЛМ); М: = (|i - 1)Н; X : = -. (7)
ц + 1
Для любых М,, M,eL2(Q) в силу (5) имеем оценку
HTM, - 7M.II < А- ИМ, -M.II, (8)
1 2 max 12' 4 '
где А,тах: = тахХ(г)<1. Следовательно, оператор Т является сжимающим, и уравнение (6), а с ним и (1), имеет единственное решение, которое в принципе может быть найдено методом последовательных приближений.
2. Теперь рассмотрим следующую задачу для уравнения (1): в полупространстве z<d,d> 0, с ц = const находится дефект конечного размера с (J. = [id = const, ограниченный гладкой поверхностью S; начало координат выбрано внутри дефекта, ось z нормальна к плоскости z = d\ область О. — полупространство с дефектом, а область, занятая дефектом, — £2^. Для ref№2d = из (1) в силу непрерывности нормальной составляющей индукции имеем
ц-1 _ г HI{p',d)dp'
Н (г) + -У—— V f
w 4тг J
471 /=W(P-P f+(z-d)2
tLz±kv f
4n\Xd J R
= (9) v ' 4m] J R
где р = (х, у) — двумерный радиус-вектор; Нп = Нп = (Н(., п.) — проекция поля на внутреннюю к поверхности 5 нормаль п.,' то есть проведенную наружу из области О,. Взяв г-компоненту (9), при г d получаем
¡Till
v ; 2 LI, J J/. Лл2 , tj _л2\
{2n((p-p'f + (d-z'ff2
(10)
При выводе формулы (10) использована формула
lim— [
£->0 2л J
£/ (pQ dp'
ÄJ:((p-p')2+e2)3/2
= /(p).
(11)
которую совсем нетрудно доказать в предположении ¡Др + т) -/(р)1 ^ < соп51|х|а, 0 < а < 1, что обычно имеет место для широкого круга физических задач. Подставляя (10) в левую часть (9), приходим к уравнению
Н(г) + ——— V-
Нп(г')с18'
Я
+ •
+ -
А
2л
\dS-HX р",/')\
с1р'
л] {р-р')2+{г-с1)2 ((р'-р")2 + {<1-2")2) к ' 7-гт. )
¿лДр-р')+(*-<*)
(12)
Рассмотрим следующий интеграл из (12):
1и I
2пН (Р-- Р')2 + {*■- ((р'- Р")2 + (Л - П2) Л й-2"
3/2
2к
I-
■ I-¡г' + (г-<1Г ([-с-Гр"-р) ]: + М-2)-]1: Полагая 1: = р" - р; а: = \г - с1\\ Ь: = й - г", из (13) имеем
(13)
Да, М) = — Г 9 тг J
1 г ¿т
= ±.Ьа'\-—
2тс и г 2+п'
¿т.
(14)
Внутренний интеграл в (14) может быть вычислен на основе равенства Парсеваля — интеграл от произведения двух функций равен интегралу от произведения их фурье-образов:
где/(т) =
Ъ
(х2+а'2)"2
; *0т - И) =
3/2
а так как/(к) = е"<1к;
#(к) = , то
Ъ
где J0(x) — функция Бесселя первого рода. Следовательно, Л я, Ь, г) = 7/Ш) е-[а+ь]кс1к = 1 =
(р-р")Ч(|<М + с!-2"У
и уравнение (12) приобретает вид:
(15)
4тш . и Я J Я
. Л { Л
(16)
где Я* = д/(р-р')2+(И-г| + йг-2')2; /?0= /(рГрОЧ^)1.
Умножая (16) на п( —внутреннюю нормаль к поверхности 5 — и выходя на границу 5, по формуле классической теории потенциала [1] получаем уравнение для нормальной составляющей поля Нп на поверхности 5:
Н„ (г) + — [ Н (г') + =
1 ' "Л ' ?п. Я ?7Г Л л'Л ' Эй Я
г , \
2к
д 1
Эл.. Я
XX, г „ , Л Э 1
5 \ ' / 5
271 { "Л 7 ЪП: Я
где ге5; X. = ———. Следует иметь в виду, что ядра 1 /Я* и Ш0 регулярен*
ны на 5, при этом Я* = ^ (р — р')2 + (2с1 -г- г')2. Второй член в левой части (17) — прямое значение нормальной производной потенциала простого слоя. Таким образом, получено уравнение для нормальной составляющей поля на поверхности дефекта 5 изнутри области После решения (17) поле в любой интересующей нас точке может быть найдено из соотношения (16).
Возможно, что в некоторых задачах удобно будет заменить в уравнении (17) внутреннюю нормаль на внешнюю: п. —> -пе, Нп —> -Нп, при этом изменения в (17) очевидны.
Из вывода (17) можно сделать следующее заключение: этот прием проходит не только для полупространства, но и для другого тела с дефектом, лишь бы только бездефектная задача решалась аналитически, и
двойной интеграл типа (13) также допускал аналитическое представление.
3. В качестве практического применения формулы (17) рассмотрим поле шарового дефекта радиусом г0 с магнитной проницаемостью = 1; с1 — расстояние от центра шара до поверхности полупространства г = й. В данном случае уравнение (17) (с внешней нормалью) принимает вид
Я,.
Э г я)г=г.=.
2к-
X г „/ЙГЭ П А2 г „ , л
дг Я
ф'к
с13' =
= (1-1)
дг /г,
оЛ=
(18)
где
/\2
Д* = лх-х'у + (у-у')2 + (2с1-2-2,у = |г' - г, - Б|;
л2
г' = (х\ у', /у, Г, = (х, у, -2); г, = г, Б = (0, 0, 20). В краткой записи уравнение (18) имеет форму
Я. + ЩНг - ХЩНг = (1 - \){Нг° - ХЦНг°),
(19)
где вид операторов Щ,к=\, 2, 3, следует из (18), и они рассматриваются на функциях классов:
Я 6^(5); | Н,х!8 = 0; Я°е^(/?2).
(20)
В приложении даны оценки норм этих операторов:
„з
\\W.W < 1/3; ПШ1 <
3(1-8)'
\щ\\ <
/2 (1-е)'
£= 7'
(21)
которые указывают на то, что:
а) при возникновении дефекта (е « 1) изменение правой части формулы (18) более существенно, чем влияние члена И^Яг в левой части;
б) имеется возможность развить теорию возмущений для малых е, то есть в том случае, когда малый дефект расположен на конечном расстоянии от поверхности или конечный дефект — на большом расстоянии от поверхности; кроме того, результаты теории возмущений могут рассматриваться как тестовые при численных расчетах.
Рассмотрим теперь действие операторов = 1, 2, 3, на соответствующие функции: а)
'Г г
-Ц
2п{
дг Я
к
■-Ч-
7ж J
гя^^-^ббО'го2-^«')0 1
где 5, — единичная сфера; | = г/г0. В (22) использовано разложение ядра
у
-р—- при г = г' = г [3] по сферическим гармоникам, которые опреде-
471 |г - г |
лены следующим образом [3]:
rUs:=
f //'(Г°,'f'=f н(г0, У) Yi(i') dS(22)
У,Л) = ^(6. Ф) = J {21л+11{1~^[РГ{со^)е-\
у 4 п(/ + т)! Р,т(cosG) = (-1 )m(sin6)'"£/mP/(jc)/dx"'l_c=cose, т> О,
cosG) = (_i)-H РН (cos Q), т < 0, (23)
(/ + И)!
Р,(х) — полиномы Лежандра; / = 0,1, ..., а \т\ < I. Из (23) следуют свойства:
(-1 гга® = -
= = <24)
б) При вычислении W2Hr учтем следующее: так как Ir' - г,1 < D, то
1 = у 1
с R* ¿2/ + 1
1 Ir'-nfUr'-rO^CD)
4nR' £¿21 + 1 DM ' (25)
И </
Но У/ш(Б) = 5m ол/ (2/ + l)/47i, поэтому, используя (24) и теорему разложения [3]
lr'-r,iy/i0(r'-.-,) =
Ч 1/2
= v^Z
2/ + 1__(/!)
~ [(2а+ 1)(2/-2а-1) (a-p)!(a + p)!(/-a + p)!(/-a-p)!J
|Р|<а
х гаУа р (г) г''-аУ;_а (г'), а = min(a, I - а), (26)
получаем
/=2 а=1
a=l |P|<a
где
V
а22-2'
I 1/2
а 4у-а,р [(2а + 1) + (2/-2а + 1)
сг*сг*\ ; с„т =
п\
т\ (п — т)\
. (28)
в) Полагая г' = (*', у', с!) = (р', <£) и используя разложение по сферическим гармоникам ядра 1/4гс1г - г'1 при г' > г —» г0, получаем
W =
1 Э г Я°(р', d)dp'
——— f
2ndr^(p-pf + (z-d)
= 2 у 0 rfalJJ f
2/ + 1 J 1=1 ilT1 Д2
И</
„//+1
(29)
где /•' = л/ f>'2 +d2; cosö' = dir', YJг') = У,т(0', ф').
г) В качестве источника внешнего поля возьмем полубесконечную тонкостенную катушку (модель большого соленоида) с осью, перпендикулярной плоскости z = d и проходящей через центр дефекта. В приложении показано, что в случае, когда радиус катушки значительно больше размеров дефекта и глубины его залегания, внешнее поле почти однородно в области дефекта. По этой причине в качестве простейшей модели принимаем Н° = (О, О, Я0). При этом Я°(г = г0) = Я0cos6, а из (29) следует:
1
W3Hz°= Я^/е'"1 P,(cos0)j Р,{х) x'~2dx = Н° cos9, (30)
/=1 о
так как Р;(х) и х1'2 имеют одинаковую четность, то интеграл отличен от нуля лишь только при 1=1. Поэтому правая часть уравнения (19) принимает вид
(1 - Х){Нг° - ЩН?} = (1 - Х)2Н°cosÖ.
(31)
д) решение (19) ищем в виде Я. = (1 - Х)2Н°Н, к = /г(соз0). Так для /г получаем уравнение
(/ + XW.)h - \2WA = cos0,
(32)
где, согласно (22),
1 ~ г
(/ + XW])h = -^(2l + l + X)Pl(cosQ)hl, h,= j h (x) P,(x) dx, (33)
/=i
а из(28)следует
1=2 a=l
Используя ортогональность полиномов Лежандра Р и их нормировку ПРл112 = 2/(2« + 1), с учетом (33) и (34) из (32) получаем систему уравнений
X { 2п + Х 5п,т - К = 5П|, „=1,2, (35)
с симметричной матрицей Апт = гп+тС"п+п/2п+т, С"п+т = Стп+т.
Полагая кт = хт/^ 2 + (\ + Х)/т и разделив (35) на ^ 2 + (1 + Х)/п, получим
где
Ё{5п.т~Кп,т}хт = 5Л>1//ЗТХ, и = 1,2,...,
ш=1
К =
п,т
1 2_л+т+1/чл
Л £ С„.
2 +
Х + 1
2 +
А. + 1
/я
т. л*
(36)
(37)
Соотношение (36) в краткой записи можно понимать как функциональное уравн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.