МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Б.В. НЕРУБАЙЛО, Л.Г. СМИРНОВ, О.А. СТРУКОВА
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Рассматривается напряженно-деформированное состояние тонких конических оболочек при произвольном распределении по оболочке температурного поля. Получены уравнения общей теории, основанной на принятии только классических гипотез Кирхгофа - Лява. Однако ввиду их сложности построение точного решения задач аналитическими методами вызывает значительные или вообще непреодолимые трудности. Поэтому здесь краевые задачи формулируются для вытекающих из них упрощенных дифференциальных уравнений. Полное напряженно-деформированное состояние строится путем "склеивания" решений этих уравнений. Такой подход - метод асимптотического синтеза - оказался эффективным как при рассмотрении оболочек положительной и нулевой кривизны [1, 2], цилиндрических [3], так и конических [4, 5]. Здесь он иллюстрируется на примере произвольного температурного поля, причем, задача приводится к решению дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и с правой частью, содержащей функцию Хевисайда, дельта-функцию, а также их производные.
1. Постановка и пути решения задачи. В случае принятия только классических гипотез Кирхгофа-Лява для тонкой конической оболочки получаем следующую систему трех дифференциальных уравнений относительно продольного, окружного и нормального перемещений u(r, ß), u(r, ß), w(r, ß):
Li1u + Li2v + L¡3w = ai(1+ v)atT*(r, ß) + b¡athT**(r, ß), i = 1, 2, 3
Ln =
d2 + 1 - v d_
dr2 2r2sin2 edß2
1 d 1 . + ----, L12 =
r
1
r dr
L13 = ctg^ -j2l, L2! = 2rske
V r d r r2
2r sin e
2
(1+ v)
dr dß
3 - v d_ r dßj
(1+ v)
dr dß
3 - v d_ r dßj
L
1-vd2
2
22
L
23
2 d r2 r2sin2 edß ctg e d с
1-vf 1 d 1 А . 2
2 + - V r Tr + 1 +2 C
2
1 d
r sinedß ctg2e
(2- v)
1-2v d2
dr2 rd r r 2sin2 edß2 r2 1 d3 2(1- v) d "
dr2dß r drdß r2sin2edß3
t efvd 1
1 = ctg ef r Tr +1
dß
(1.1)
L32 =
ctg e d с
r2sinedß cose
(2- v)
3 d2
4 d
+
dr2dß r2sin2 edß3 rdrdß r2 dß_
2
3
r
3
3
L
1
33
ctg2 0 +
ctg2 0
1 д
ai - дг' a2 - sin 0др'
Гд2 1 д 1 + - — +
д r2
a3
22
r sin 0др
2(1- v) д2 1 д 2(1- v)
r2sin2 0 дв
2 r дг
2
r sin0
- 1 b1 = b2 = 6 r sin 0д в
и 6
Ьз--6
í д2 1 r +
д2 д +
v
22 2 6 Ctg 0
с - —V
12 r
д r2 r sin2 0дв2 д rJ
Искомые усилия и моменты выражаются через перемещения посредством дифференциальных зависимостей:
Tx (r,e) -
T2(r, в) -S(r, в) -Qi (r,в)
E6
1-v/ Eh
дu ví 1 ди t „
-r- + -1 -—7-5-ñ + u + w ctg 0 д r r V sin 0дв
1-v/ Eh
1 í 1 ди t „
_ I ~—Б-Ш + u + w ctg 0 r V sin 0дв
E6 1 - v
д u E6
+v -
дr 1 - v
atT*(r, в) atT*(r, в)
(1.2)
2 (1 + v) 1
1 дu ди v + -
_r sin вдв д r r_
и так далее
r r д^1 1 дН
r v G1- G2 + r д r +sin 0дв
дН
1 í 1 дС2
Q (r, в) - -ттг + 2H + r^
V! rVsin0 дв дr
Записанные уравнения являются, по-видимому, наиболее полными в настоящее время уравнениями общей теории конических оболочек [6].
В (1.2) через T1, T2, S, G1, G2, H, Q1, Q2 обозначены продольное и кольцевое усилия, сдвигающее усилие, продольный и кольцевой изгибающие моменты, крутящий момент и перерезывающие силы. Здесь r - продольная координата: расстояние от вершины конуса вдоль образующей оболочки; в - окружная безразмерная координата; 20 - угол при вершине конуса; 6, E, v - толщина, модуль упругости, коэффициент Пуассона; at -коэффициент линейного температурного расширения; r0 и R0 - координаты по r, соответствующие границам оболочки (r0 < R0) (фиг. 1).
Температуру T(r, в), которая в силу тонкостенности оболочки принимается линейно изменяющейся по толщине, представим в виде двух компонент: постоянной по толщине оболочки и имеющей перепад.
T*(r, в) - [T1(r, в) + T2(r, в)]/2, T**(r, в) - [T1(r, в) - T2(r, в)]/2 (1.3)
где T1(r, в), T2(r, в) - температура внутренней и внешней поверхностей оболочки, соответственно.
Принимаем, что нагрев осуществляется на участке образующей r1 < r < r2 (фиг. 1). Температурное поле представим в виде ряда
T*(Лв) - T*(r)Ф(в) - T*9(r)£Фпcosпв
п - О
T**(Лв) - T**(r)ф(в) - T**Ф(г)^Фпcosпв
(1.4)
(1.5)
п-О
2
2
r
r
Фиг. 1
В частном случае кусочно-постоянного распределения температурного поля в разложениях (1.4), (1.5) функцию cos пв следует заменить на cos tuft, а для ф(г) и фп получаем:
k в0 2
ф(г) = Q(r- r1) - Q(r- r2), ф0 = —, фп = n^sinknp0 (n = 1, 2, 3, (1.6)
где Q(r) - функция Хевисайда; ф0, фп - коэффициенты ряда Фурье при разложении функции температуры вдоль контура; k - количество нагретых областей, равномерно расположенных вдоль контура в одном поперечном сечении оболочки r = const со средним диаметром оболочки D , так что ширина нагретой области вдоль контура находится, как произведение p0D.
Система уравнений (1.1), как нетрудно заметить, эквивалентная одному уравнению восьмого порядка, имеет достаточно сложную структуру, а ее аналитическое интегрирование связано с известными трудностями, которые к настоящему времени остаются, видимо, непреодолимыми.
Одним из наиболее привлекательных путей получения достаточно точных и в то же время легко поддающихся численной реализации решений является применение методов асимптотического синтеза (МАС) напряженно-деформированного состояния, предложенных для цилиндрических оболочек [3], которые обобщаются на случай конических оболочек [4, 5].
Первый МАС основан на условии обеспечения минимума асимптотической погрешности и применении уравнений полубезмоментной теории и теории краевого эффекта при "малых" номерах гармоник разложений вида (1.4-1.5), а уравнений Власова-Донел-ла - при "больших" номерах п.
Второй МАС заключается в использовании при "малых" и "больших" номерах гармоник уравнений четвертого порядка по продольной координате (полубезмоментной теории, краевого эффекта, уравнений типа плоской задачи теории упругости и изгиба пластины), а при средних номерах - уравнений типа Власова-Доннелла.
Третий МАС основан на применении уравнений только четвертого порядка по продольной координате, к которым относятся уравнения краевого эффекта, уравнения полубезмоментной теории, уравнения типа плоской задачи теории упругости и изгиба пластины.
Методы вытекают естественным образом из асимптотического анализа уравнений общей теории, асимптотической и действительной погрешностей решений на основе приближенных уравнений.
Уточним понятия "малые", средние и "большие" номера гармоник.
В первом МАС граница "склеивания" приближенных решений легко устанавливается исходя из условия обеспечения минимума асимптотической погрешности, которое приводит к зависимости
4
n
(2/k4)T3 (R/h) (1.7)
Округленное до ближайшего целого числа значение n, найденное по этой формуле, обозначим через n. Отметим, что с целью получения этой зависимости можно также воспользоваться условием четкого разделения корней характеристических уравнений для полубезмоментной теории и краевого эффекта, что было сделано в работе [4] наряду с использованием условия минимума асимптотической погрешности.
Во втором методе при "больших" номерах гармоник возможна замена уравнений Власова-Доннелла уравнениями четвертого порядка для тангенциального и изгибного состояний. Для установления значения номера ряда, при котором такая замена правомерна, справедлива формула:
4 4 2 5/2
n =(2/k )(1-V2)(R/h)5/2 (1.8)
Округленное до ближайшего целого числа значение n, найденное по формуле (1.8), будем обозначать через n*.
Таким образом, имеем два характерных значения n (n = n, n = n*), разделяющих полный интервал изменения номеров гармонического ряда на "малые" (n < n, средние (n < n < n*) и "большие" (n > n*) номера гармоник.
Для перехода к уравнениям полубезмоментной теории, описывающим основное состояние оболочки, и к уравнениям краевого эффекта в исходной системе уравнений (1.1) и соотношениях (1.2) следует принять сильные неравенства, обобщающие критерий В.В. Новожилова [7] на случай конических оболочек:
(для основного состояния)
(1.9)
(для краевого эффекта)
где функция f(r, в) обозначает любую величину в оболочке (перемещение, усилие, момент).
Очевидно, что при таком подходе подлежат расщеплению и краевые условия. Так, при использовании полубезмоментной теории и тангенциального состояния они записываются относительно продольного и окружного перемещенией, нормальных и сдвигающих усилий, а в случае краевого эффекта и изгибного состояний - относительно нормального перемещения, угла поворота, момента и перерезывающей силы. Уравнениям Власова-Доннелла соответствуют те и другие одновременно.
Здесь полное напряженно-деформированное состояние конической оболочки представляется, следуя третьему МАС, в виде основного состояния, простого краевого эффекта (n < n*), изгибного и тангенциального состояний n > n* + 1. Причем третье из них имеет место при перепаде температуры по толщине, а последнее при наличии температурного поля, постоянного по толщине оболочки.
Поскольку в случае конических оболочек проблема может быть сведена к линейным дифференциальным уравнениям с полиномиальными коэффициентами, удобно искать решение соответствующих однородных уравнений в виде степенных рядов; причем в случае изгибного да и тангенциального состояний независимые решения однородного уравнения представляют собою простые степенные функции [4]. И если все независимые решения однородного уравнения известны, то с помощью функции Грина можно построить частные решения, соответствующие температурным воздействиям, которые находят отражение в правой части уравнений задачи. А функция Грина для линейных дифференциальных уравнений, если известны решения однородного уравнения, находится с помощью простых процедур, что и учитывается в краевом эффекте. Получить простое аналитическое частное решение в случае изгибного состояния дает возможность преобразование Меллина. Для расчета основного состояния частное решение ищется в виде степенных рядов с помощью разложения правой части в степенной ряд с предварительным приближением функции Хевисайда и ее производных. При этом используется приближенное представление дельта-функции.
2. Осно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.