ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ . м , ь
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА '"л><», j Ba^r-is;,
Том 144,№2 , август, 2005
; Л'-Pj •!:?.!}« ч.. '„4 i Л
••У Да;-,, - .h. ( .4.
©2005 г. М. Бойти*, Ф. Пемпинелли*, ч< ь -,
А. К. Погребков*, Б. Принари*
К СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ДВУМЕРНО ВОЗМУЩЕННЫМ ПРОИЗВОЛЬНЫМ , " ОДНОМЕРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ к
В рамках подхода расширенной резольвенты рассматривается нестационарное уравнение Шредингера, потенциал которого является возмущением произвольного одномерного потенциала посредством убывающей двумерной функции. Приведены соответствующие модификации решений Иоста, опережающих и запаздывающих решений и спектральных данных, а также соотношения между ними.
Ключевые слова: метод обратной залами рассеяния, резольвентный подход, уравнение Ка-домцева-Петвиашвили. .>•.■• - , . >
"■".'-.af'rtiiCil.riV^- ..J,., , ,-i, ,, ,, . . : -
1. ВВЕДЕНИЕ ;
• к -uv .-.Ли- .. .-
Уравнение Кадомцева-Петвиашвили в версии, которая называется КП1, имеет вид
„ ' №'l" (ut — 6ииХ1 + UX1X1X1)X1 = Зих2х2 Ht «ат Tt (1.1)
и является (2 + 1)-мерным обобщением известного уравнения Кортевега-де Фриза (Кдф) [1], [2]. Как следствие, уравнение КП1 допускает решения, ведущие себя при бесконечно удаленных х подобно решениям уравнения КдФ. Например, если ui(t,xi) удовлетворяет уравнению КдФ, то u(t,x\,x2) — u\{t,xi + ¡1x2 + 3fj?t) является решением уравнения КП1 при произвольной константе fj, € К. Поэтому естественно рассматривать такие решения уравнения (1.1), которые убывают на бесконечности по всем направлениям, кроме некоторых одномерных лучей, вдоль которых решение ведет себя как ui. Хотя уже около тридцати лет известно, что уравнение КП1 интегрируемо [2], его общая теория далека от завершения. Действительно, в работах [3] задача Коши
*DipartimentodiFisica, Universitadi Lecce and SezionelNFN, Lecce, Italy. ■ - ■ ^ /, ¡ .; E-mail: boiti@le.infn.it, pempi@le.infn.it, prinari@le.infn.it
'Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, ул. Губкина 8,119991, Москва, Россия. E-mail: pogreb@mi.ras.ru
/
258
М. ВОЙТИ, Ф. ПЕМПИНЕЛЛИ, А.К. ПОГРЕБКОВ, Б. ПРИНАРИ '-НХПЧ
для КП1 с быстроубывающими начальными данными была решена с помощью метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) на основе спектрального анализа нестационарного оператора Шредингера
A(x,x';q) € S'. Дт стандартный закон i
dx) = idx + di - и(х), х = (х1, х2),
(1.2)
задающего вспомогательную линейную задачу для уравнения КП1. Однако, как известно, стандартный подход к спектральной теории оператора (1.2), основанный на интегральных уравнениях для решений И оста, неприменим для потенциалов с одномерным
г,
асимптотическим поведением. ;ч„
В работах [4] был предложен метод расширенной резольвенты как способ построения обобщения МОЗР, позволяющего изучать спектральную теорию операторов с нетривиальным асимптотическим поведением на пространственной бесконечности. Здесь мы рассматриваем случай, когда имеется только одно направление неубывающего поведения, а именно, когда M-víi'í'-» R
' Ф «(*) = «i(®i) + «2(®i,ar2)» й;{>) (1-3)
поэтому без потери общности мы выбрали константу ц = 0 (общий случай восстанавливается за счет галилеевой инвариантности уравнения (1.1)). Спектральная теория для простейшего примера потенциала в (1.2) была развита в работе [5], в которой для уравнения КП1 была рассмотрена задача Коши с начальным условием типа (1.3), причем U\(ii) являлось значением при t = О односолитонного решения уравнения КдФ, a U2(x) - гладкой, вещественной, быстроубывающей функцией на (xi,^-плоскости. В работе [5] была рассмотрена прямая задача и с помощью модифицированных интегральных уравнений было показано, что модифицированное решение И оста в дополнение к стандартному скачку на вещественной оси спектрального параметра к имеет также скачок на отрезке мнимой оси комплексной k-плоскости. Однако в этой статье некоторые существенные свойства решений Иоста и соотношения между ними были даны без доказательства. В работе [6] задача была полностью решена в рамках подхода расширенной резольвенты для случая чисто односолитонного потенциала ui. Здесь мы даем обобщение этих результатов на случай, когда ui(ii) в (1.3) - произвольный гладкий, вещественный и быстроубывающий по х\ одномерный потенциал. Для краткости некоторые результаты приведены здесь без доказательств, которые можно будет найти в [7]. Там же будут выведены характеристические уравнения для спектральных данных и исследованы их свойства.
' 2. СЛУЧАЙ ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА ю/ г-г .<■;.
w
2.1. Основные объекты резольвентного подхода. В этом разделе мы даем краткий обзор основных элементов подхода расширенной резольвенты. Дальнейшие детали заинтересованный читатель может найти в [4]. Пусть А(х, х'\q) принадлежит пространству S' обобщенных функций умеренного роста от шести вещественных переменных х = (xi, Х2), х' = (х\, х'2) и q = (91,92)- Мы называем A(q) оператором с ядром
если интеграл суще дать обратным в те ничный оператор в ¿-функцией. Сущее ется следующим об с ядром А{х,х') = альные операторы, вводим расширение оператору А мы con
А{х
где х, х', q € К2 и qi S'{ Е6).
Сопоставим каж
Если A{q) - диффе ратное (2.2), А(х,2 оператора B(q) выи
1
где Aá - оператор, пользовать обознач
Расширение L(q]
где в соответствии
а ядро оператора V
Г
А(х,х';д) € 5'. Для операторов А(д) и £?(<?) сядрами А{х,х'\д) иВ(х,х';д) мы вводим стандартный занон композиции едевкн?? £АЛ!гнэи«^й«>ен}.кяннэу-г к.,таз,:ет
вии ,<хг и
(АВ)(х, х';д) = / йх" А(х, х"; д) В(х", х'; д), (2.1)
если интеграл существует в смысле обобщенных функций. Оператор А может обладать обратным в терминах этой композиции, АА~1 = I или А-1 А = I, где I - единичный оператор в 5', 1(х, х'\д) = 8(х - х'), а 8{х) = ¿(х1^(хг) является двумерной ¿-функцией. Существенный для нас подкласс в этом пространстве операторов получается следующим образом. Пусть А = А(х,дх) означает дифференциальный оператор с ядром А(х,х') = А(х,дх)6(х - х'). В дальнейшем мы рассматриваем дифференциальные операторы, коэффициенты которых являются гладкими функциями от х. Мы вводим расширение дифференциальных операторов, т.е. каждому дифференциальному оператору А мы сопоставляем оператор А(д) с ядром
А(х, х'\ д) = А{х, дх + д)6(х - х') = е^х~х">А(х, х'), (2.2)
где х,х', д € К2 и дх = 91x1 + <22^2 • Такие ядра, очевидно, принадлежат пространству 5'(К6).
Сопоставим каждому оператору А(д) с ядром А(х, х'; д) его "хэт-ядро"
" ' ' " А(х,х';д) е"(х~х')А(х,х,;д). „ (2.3)
Если А(д) - дифференциальный оператор, то это равенство задает соответствие, обратное (2.2), Л(х, х'\д) - А(х, х'), и для любого (не обязательно дифференциального)
оператора В(д) выполняются следующие соотношения:
-.л},/V 1-Г'...- <■•--- ,>>?>Я-*Ь *
(АВ)(х,х'-,д) = А(х,дх)В(х,х';д)'' . (В1)(х,х'-,я) = Ал(х',дх,)В(х,х';д),
где Ал - оператор, дуальный к Л. В дальнейшем для равенств типа (2.4) мы будем использовать обозначения ^ . ,
---------л?.н) ли СЧ ,
АВ=АВ, ВА = ВА. (2.5)
¿подтата* змнодн]
Расширение Ь(д) оператора С(х, дх) из (1.2) дается посредством соотношения
^ ™ Цд) = Ь0(д) -и, - - ^ - ^ (2.6)
где в соответствии с (2.2) ¿о имеет ядро ( /
Ьо(х,х';д)=\1(дХ2+д2) + (дХ1+д1)2}б(х-х'), <т^ (2.7)
'•г и • » ...
а ядро оператора II равно - г-^« \мква>гзг. л .¡и: ютэуг
и (х, х';д) = и(х)6(х — х'), „гыыьрп-^с (2-8)
I
I
260
М. БОИТИ, ф. ПБМПИНБЛЛИ, А.К. ПОГРЕБКОВ, Б. ПРИНАРИ
причем функция и(х) всегда полагается вещественной. Основным объектом нашего подхода является (расширенная) резольвента М(д) оператора Ь(д), которая определяется как оператор, обратный к оператору Ь:
ЬМ = МЬ = I.
(2-9)
Мы опускаем здесь для краткости дополнительные условия, гарантирующие единственность расширенной резольвенты как решения уравнений (2.9), ссылаясь, например, на работу [6]. Хэт-ядро (см. (2.3)) расширенной резольвенты "голого" оператора ¿о задается как
М0(х, х'-, д) = / [в(х2 - х'2) - 0(£>э(к) - Ы] Ф0(®, к)Ф0(х', к), (2.
2тгг Укэ=д1
10)
где Ф0(1,к) = е~иЮх, Ф0(:г,к) = и
¿(к) = (к,к2), к = кй + гкэ6
(2.11)
- двухкомпонентный вектор. Мы используем полужирный шрифт для обозначения комплексных переменных. Для любого к 6 С функции Фо(я, к) и Фо(я, к) являются решениями нестационарного уравнения Шредингера (1.2) и удовлетворяют свойству сопряжения Ф0(х, к) = Ф0(х, к). Используя обозначения (2.5), равенства (2.9) для случая нулевого потенциала можно записать в виде ~Ё0Ма(д) = Мо(д)= I, которое показывает, что Мо(д) - двупараметрическое семейство функций Грина уравнения (1.2) и дуального к нему.
Из (2.10) непосредственно следует, что при д\ ф 0 ^
-.г-г* дМ0(д)
дд дМ0{д)
ш=г- ( Ы(/2а(к) - д2) ф0(к) ® Ф0(к),
1 ^ укэ=91
(2.12)
^ = [ Ля*(/2Э(к) - д2)Ф0(к) ® Ф0(к), (2.13)
<% 27гг Укэ=д1
где ¿20 _ мнимая часть второй компоненты вектора, введенного в (2.11), а прямое произведение определено стандартным образом как оператор с ядром
(Ф0(к) ® Фо(к))(х, *') = Ф0(х, к)Ф0(г', к).
С помощью Мо резольвента общего оператора Ь из (2.6) также может быть определена как решение интегральных уравнений
м = М0 + М0иМ, М = М0 + МиМ0. (2.14)
Снова ссылаясь на работы [4], отметим здесь, что основной инструмент для исследования свойств резольвенты выводится из тождества -'.-{¡г
М' -М = -М'{Ь' - Ь)М, £ -ндарл-а (2.15)
где № - другой оператор типа (1.2) и М' - его резольвента. Это тождество Гильберта (мы называем его так по аналогии со стандартной спектральной теорией операторов) используется для исследования свойств непрерывности и дифференцируемости резольвенты по д-переменным.
п
[ объектом нашего под-которая определяется
| (2.9)
атирующие единствен-сылаясь, например, на го" оператора ¿о зада-
|(х,к)Ф0(^',к), (2.10)
(2.11)
г для обозначения ком-э(х,к) являются реше-оряют свойству сопря-иства (2.9) для случая *С о = I, которое пока-рина уравнения (1.2) и
>Ф0(к),
(2.12)
(2-13)
в (2.11), а прямое про-зм
же может быть опреде-
(2-14)
грумент для исследова-(2.15)
о тождество Гильберта )й теорией операторов) «ренцируемости резоль-
2.2. Резольвентный подход в случае одномерного потенциала. Ниже в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.