ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 428, № 1, с. 16-19
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
К СПЕКТРАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА
© 2009 г. Т. Ш. Кальменов, Д. Сураган
Представлено академиком В.А. Ильиным 06.04.2009 г. Поступило 16.04.2009 г.
В работе для произвольной области О выписано граничное условие объемного потенциала и в случае двухмерного круга и трехмерного шара найдены собственные значении и собственные функции объемного потенциала.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА
В ограниченной области О с Rи с гладкой границей S рассмотрим объемный потенциал
и(х) = &п * /(х) = |е„ (х - у)/(у) йу = Ь_/, (1)
где
6« (х - У) =
--ln |х - У, n = 2,
2 п
1
Ч« - 2)ст«
-У
2 - n
n > 4;
здесь an — площадь поверхности единичной сферы в Rn, 6n(x — y) — фундаментальное решение уравнения Лапласа, т.е. [1]
-Дх8«(х - У) = th^-b = 5(х - У).
i = 1
дх;-
ласти Q. с плотностью
. Объемный по-
(п _ 2 К
тенциал также часто применяется в теории функций и теоремах вложения.
Поскольку фундаментальное решение е„(х — у) симметрично, вещественнозначно и имеет слабую
особенность, то интегральный оператор Ь-1 /является вполне непрерывным самосопряженным опе-
Институт математики, механики и информатики Министерства образования и науки Республики Казахстан, Алматы
ратором в Х2(О) и функция и(х) = с„ * /(х) удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа
-Д и = /, (2)
которое также называется уравнением Пуассона.
Самосопряженные дифференциальные операторы, как показано в работе [4], порождаются граничными условиями. Одним из основных результатов настоящей работы является нахождение граничных условий, которыми однозначно определяется объемный потенциал (1).
Имеет место
Тео р е ма 1. Для любой функции/ е Х2(О) объемный потенциал (1) удовлетворяет самосопряженному граничному условию
иМ _ Гс (х_ у)ди(у)й5 +
Js«(х - У) -
д «у
6«( х - У)
д «у
u (у ) dSy = 0, х е S.
(3)
Отметим, что объемный потенциал определяет
величину масс или заряда, распределенных в об/
Обратно, если функция u е W2 (Q) удовлетворяет уравнению (2) и граничному условию (3), то она
д
определяет объемный потенциал (1), где--про-
д«у
изводная по внешней нормали границы.
Доказательство. Предполагая сначала, что u е C2(Q) n C1(Q.), непосредственным вычислением при любом x е Q. находим
u (х) = 6« * /(х) = - |е«(х - у)Дуи(у) dy =
= /С - dfny-)6n (х - у )+д6д^у) и (У )Н-
- /Дуб«(х - y) и(y) dy =
а
(х) + J(d6ndp) и (У) - ^ 6« (х - y )),
= и
а
S
+
S
а
S
А
д Пу,
д
д
д
— = n1— + n2— + ... + nn— — нормальная
у дУ\ ду2 дУп
производная, а п1, п2, ..., пп — составляющие единичной нормали. Отсюда находим
4 (х) = f-^
и(У) - дд(У-)8п(X - У)) йБу - 0,
5 5пУ ; (4)
х еП.
Поскольку Дхбп(х — у) = 0 при % Ф у и
де (х_у)
Д% ——-- = 0 при % Ф у, то имеем Д%1и(х) = 0.
дпу
Используя свойства потенциала двойного слоя [2], из (4) при х ^ Б находим
/и (X ) = _ ^ +
+
u(y)(х - у)) dSy = 0,
(5)
у
S.
dv(y) д n
гп (х - у)) dSy = v (х) + Iv (х ) = 0,
Отсюда, переходя к пределу при х ^ S, получим v(x) - v^) + v(y)8»(х - y)) =
= v (х) + ^(х) |х е s = 0.
(6)
Из условия (5) имеем 1у(х)\х е 5 = 0 и поэтому из (6) следует, что у(х) = 0, Ух е Б. В силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа вытекает, что v(x) = и(х) — щ(х) = 0, Ух е П, т.е. и1 = и совпадает с объемным потенциалом. Теорема 1 доказана.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Согласно теореме 1, спектральная задача на собственные значения объемного потенциала в круге эквивалентна спектральной задаче
-A и (х) = X и (х),
Поскольку 1и(х) — решение однородного уравнения Лапласа при х е П, то, в силу единственности решения задачи Дирихле, тождество 1и(х) е 0 равносильно соотношению (5), т.е. 1и(х)\х е 5 = 0 является граничным условием объемного потенциала (1).
Далее, предельным переходом несложно показать, что формула (5) остается справедливой и для
всех и е ^2 (П).
Таким образом, объемный потенциал (1) удовлетворяет граничному условию (5).
Обратно, покажем, что если функция и1 е (П) удовлетворяет уравнению —Ди1 = / и граничному условию (5), то она совпадает с объемным потенциалом (1).
Действительно, если не так, то функция V = и — — и1 е ^ (П), где V = гп */(х) — объемный потенциал, удовлетворяет однородному уравнению Д V = 0 и однородному условию (5).
Применив формулу Грина к функции V е е ^ (П), как и выше, убеждаемся в том, что
|бп (X _ у)Ду^у) йу = v(X) + ^ v(у) _
и(х)
|б2(х - у)
ди(у)
дПу
dSy +
f
б2(х - y)
(7)
u(y)dSy = 0,
(8)
где б2(х - у) = - — 1п\х - у\. 2 п
Имеет место
Теорема 2. Собственные значения Х^ двумерного объемного потенциала в круге задаются формулой
Xkj =
где к) — корни трансцендентного уравнения
11( к)
к/к(^к)) + -2-(Л_ 1 (иТ) _ Л + 1(иГ)) = 0. (10)
Собственные функции, соответствующие собственному значению Хку-, образуют полную ортогональную систему и представимы в виде
[К
(k).
k = 0, 1,
j = 1, 2,..., (9)
kj
= Jk (j 5) ek, г = Д
+ х2
ф = arctg -
Ух е Q.
где Jk — функция Бесселя.
S
S
S
S
5
п
S
КАЛЬМЕНОВ, СУРАГАН
18
Краткий ход доказательства. Применяя к уравнению (7) метод Фурье и положив и(г, ф) = ^(г)Ф(ф), получаем две одномерные краевые задачи [2, с. 391]:
-Ф'' = |Ф, Ф(ф) = Ф(ф + 2п), (12) г(гЯ')' + (Хг2 - |)Я = 0, |Я(0)|<да. (13)
Собственные значения и собственные функции задачи (12) можно легко вычислить (тригонометрические функции):
!к = к2, Фк(ф) = -кв'"*, к = 0, 1, ... (14) л/2 п
Переходя к полярной системе координат, граничное условие (8) можно переписать в виде
и ( 8, Ф ) + 2 4 п
181п (2 82 (1 - со;(у - ф))) х
(15)
х д и( р, у ) др
р = 5
йу - 1 1*8д 1п ( 8 + р - 28 р ео; ( у - Ф ) ) 4^ др
и(8, у) йу = 0.
р = 5
2
п
0
2
п
Отсюда с учетом формулы
11п(1 - со;у)йу = -2п 1п2,
0
п
11п(1 - со;у)в'"чйу = -2П, " Ф 0,
2п
| Ф" (у) йу
=0
(см. [5]), непосредственным вычислением получим
кЯ"(г) + гЯ"(г) | г = 5 = 0 , к Ф 0,
Я0(г) - г1пгЯ0(г) |г = 5 = 0.
(16)
Таким образом, относительно Як(г) имеем следующую самосопряженную задачу:
г(гЯ'к)' + (Xг2 - к2)Я" = 0, \Я"(0)|<ю, (17) "Я"(г) + гЯ"(г) | г = 5 = 0, к Ф 0, Я0(г) - г1пгЯ0(г) |г = 5 = 0.
(18)
| (к)
) + }('к-1 (}) - Шк))) = 0, } = 1, 2,..., к = 0, 1, ..., где к) = л/х"} 8 — корни уравнения (19).
(19)
Следовательно, собственные функции ику =
= 1к8) ортогональны и полны в Х2(О), и
поэтому других собственных значений и других собственных функций задача (7), (8) не имеет.
Теорема 2 доказана.
Теперь рассмотрим задачу объемного потенциала на собственные значения для трехмерного шара О = {х: |х| < 8} с R3. Согласно теореме 1, спектральная задача на собственные значения объемного потенциала в трехмерном шаре эквивалентна спектральной задаче
-Д и (х) = X и (х),
(20)
и (х)
|бз(х - у )
^ +
дпу у
+ ^ и (у) = 0, х е 5, (21)
где бз(х - у) =
1
4 п| х - у|
Отметим,что решение задачи Як = /к( лД г) (17), (18) имеет полную ортогональную систему в Ь2(г, 0, 8) (см. [2]), где Хку- находится из трансцендентного уравнения
Теорема 3. Собственные значения Ху трехмерного объемного потенциала в шаре задаются формулой
ч =
(1 + 1/2)-, 2
82
-, I = 0, 1, 2, ..., } = 1, 2, ...,(22)
где !1 +1/2) — корни трансцендентного уравнения
( 21 + 1)' +1/2(|1 +1/2)) +
,(1 + 1/2)
('1-1/2 (К/1 +1/2)) - '1+3/2(1} +П). (23)
(1 + 1/2К
2
п
0
0
5
5
+
Собственные функции, соответствующие собственному значению Ху, образуют полную ортогональную систему и представимы в виде
ukj = Ji +1/2 (TV) *7(ф> 0),
(24)
где
?7(ф, 0) = р"(cos0)cosmф, m = 0, 1, 2,..., l, Y"(ф, 0) = Pm(cos0)sin(|т|ф,) m = -1, -2, ..., -l; l = 0, 1, 2, ...,
суть сферические функции, р1 — присоединенные полиномы Лежандра, а (r, 0, ф) — соответствующие сферические координаты.
Замечание. Из асимптотики корней уравнений (10) и (23) можно убедиться, что собственные значения задач (7), (8) и (20), (21) имеют та-
кие же асимптотики, как собственные значения задача Дирихле для уравнения Лапласа.
Авторы благодарят академика В.А. Ильина за внимание и помощь к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
3. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991. 368 с.
4. Отелбаев М, Кокебаев Б.К., Шыныбеков А.Н. // ДАН. 1983. № 4. Т. 271. С. 1307-1311.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведении. М.: Наука, 1971. 1098 с.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.