ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 6, с. 938-946
УДК 532.546; 536.421.
К ТЕОРИИ ИНЖЕКЦИИ ВЛАЖНОГО ПАРА В ПОРИСТУЮ СРЕДУ
© 2004 г. В. Ш. Шагапов*, И. Р. Рахматуллин**, Л. А. Насырова*
*Институт механики УНЦ РАН, г. Уфа **Бирский государственный педагогический институт Поступила в редакцию 17.11.2003 г.
Рассмотрена плоская одномерная задача об инжекции влажного пара в пористую среду. Исследовано влияние параметров, определяющих начальное состояние пористой среды, граничного давления, температуры и влагосодержания пара на темп распространения гидродинамических и температурных полей в пористой среде.
ВВЕДЕНИЕ
Один из способов добычи высоковязких битумных нефтей из подземных недр основывается на разжижении содержимого пористой среды посредством закачки теплоносителей. Наиболее простым и экологически чистым теплоносителем является влажный водяной пар, содержащий мелкие капельки воды [1-3]. Кроме того, с помощью закачки пара можно очистить коллекторы от склеротических бляшек, образовавшихся вследствие отложений твердой фазы (например, парафинов, газогидратов и льдинок) на стенки пористой среды. Здесь рассмотрена задача о закачивании влажного пара через границу пористой среды без учета эффектов, связанных с тепловым разрушением твердой фазы.
Основные уравнения. Для описания процессов фильтрации и тепломассопереноса при закачивании влажного пара в пористую среду, насыщенную газом, примем следующие допущения. Будем полагать, что скелет пористой среды несжимаем и неподвижен, пористость постоянна. При инжекции влажного пара в пористой среде образуется три зоны: дальняя, в которой фильтруется газ, насыщающий пористую среду в исходном состоянии; ближняя, примыкающая к границе нагнетания, в которой фильтруется влажный пар и промежуточная водонасыщенная, разделяющие зоны фильтрации газа и пара. Процесс фильтрации влажного пара происходит в равновесном режиме (скорости, температуры капелек и пара одинаковы, и в зоне фильтрации влажного пара выполняется уравнение Клапейрона-Клаузиуса). Эффектами, связанными с фазовыми переходами в самом скелете пористой среды, будем пренебрегать.
В рамках принятых допущений запишем уравнения сохранения масс
д( ') + дх(Рт) = (1 = 1V,1> 8(1)
где т, р; и V - пористость, плотность и скорость фаз. Нижние индексы V, I, 8, 5 здесь и в дальнейшем будут относиться соответственно к влажному пару, воде, газу и пористому скелету.
Процессы фильтрации влажного пара, воды и газа будем описывать законом Дарси
k д p
mvi = --дХ, (i = lv, l, g),
(2)
где р, к и - давление, коэффициент абсолютной проницаемости и динамическая вязкость фаз.
Уравнение притока тепла в однотемператур-ном приближении, пренебрегая связанными с ба-ротермическим эффектом слагаемыми, запишем [4, 5] в зоне фильтрации влажного пара в виде
д Т д Т д л д тл
pc д + piv civmviv Tx = дХ ГдХ J +
+ m pivl gj + v l v ^ J ,
(3)
pc = mPivClv + (1- m)Pscs, X = mXlv + (1- m)XS и в зоне фильтрации воды и газа
T дг
дТ д (г. дтл p c37 + pi^iYx = эХ(X ЭХ J'
(4)
р с = т р + (1- т )рс, X = тХ] + (1- т)Х5, () = I, 8).
Здесь Т, р^, ф - температура, средняя плотность влажного пара, массовое содержание воды в паре; рс - удельно-объемная теплоемкость системы "пористая среда-пар, вода или газ"; X - коэффициент теплопроводности системы "пористая среда-пар, вода или газ"; с, Х( = IV, I, 8) -удельная теплоемкость фаз и коэффициент теплопроводности фаз; I - удельная теплота фазового перехода. Поскольку в значения рс и X основной вклад вносят параметры скелета пористой
среды, то во всей зоне фильтрации (в зонах фильтрации пара, воды и газа) будем полагать их значения постоянными (рс ~ рс = const, X ~ Xs = const). Последнее слагаемое в (3) соответствует тепловому эффекту фазовых переходов в зоне фильтрации влажного пара.
Для средней плотности влажного пара запишем соотношение
_! = Ф + П + Ф)
"г >
Plv Pl Pv
(5)
в котором pv, р1 - плотности пара и воды в капельках. Для пара и газа примем уравнение Менделеева-Клапейрона, а плотность воды - константой
рj = rt' (j = v, g), Pi = const'
(6)
где Я] - приведенная газовая постоянная.
В зоне совместного присутствия пара и жидко сти, температура и давление удовлетворяют урав нению Клапейрона-Клаузиуса
йр _ I
т (р;1 - р-1)'
(7)
На основе этого уравнения с учетом (6) при условии р^, <§ р1 получим формулу [6], связывающую текущую температуру с давлением
Т = Т, (р) = Т *1п-1 (р*/р), (8)
где и - эмпирические параметры, определяемые на основе табличных данных для зависимости температуры насыщения от давления.
Приведенные выше уравнения дополним соотношениями на границе фазового перехода (х = х^) между зонами фильтрации влажного пара и воды, следующими из закона сохранения массы и условия теплового баланса
mр1;( vlv - ^ = mрl( vl - ^,
(9)
X
dT д x
- IX
( s)
д т
'ВТ Jw =
mр,1 (1 - Ф(S))( vl - Xw),
dx,
(10)
x(s) =
(s)
dt
движения воды и газа, а также соотношение для самой границы имеют вид
dx,
m vl = m vg = mx,
x( m) =
( m)
dt
(11)
Запишем выражения для равенства температур и тепловых потоков на границе х = Х(Ш)
Т = Т = Т
(m) >
Эx J( m) ( dx J( m)'
(12)
Постановка задачи. Пусть в исходном состоянии пористая среда, насыщенная газом, находится при давлении р0 и температуре Т0. Нагнетание осуществляется через границу х = 0 при постоянном значении давления ре. Температура закачиваемого влажного пара равна равновесной температуре при давлении ре (Ту = Ту(ре)), а величина влажности пара равна фе. Начальные и граничные условия в этом случае имеют вид
р = р0, Т = Т0 при х > 0, г = 0,
Р = ре, Т = Те = Т„(ре), (13)
ф = фе при х = 0, г > 0.
В рамках принятой выше системы уравнений эта задача автомодельна. Введем безразмерные давление, температуру и автомодельную переменную
р = p, е = Т, p =
Ро Т 0
2
Jk
(Т)
t
кТ = А, (14) рс
где к(Т) - коэффициент температуропроводности системы.
Тогда из уравнений (1) и (3) после некоторых преобразований в зоне фильтрации пара можно получить
-2p g-Pe ; ( %
Знаки "+" и "-" соответствуют тепловым потокам перед и за границей фазового перехода. На этой поверхности температуру и давление полагаем непрерывными: Т+ = Т- = Т^, р+ = р~ = Здесь и в дальнейшем нижний индекс "(у)" соответствует значениям параметров на границе фазовых переходов.
В соответствии с вышесказанным, наряду с фронтом фазового перехода, введем еще контактную границу (х = х(Ш)) между зонами фильтрации воды и газа. Условия равенства скоростей
d 2Р dp-
mр l;
2 1У dPЛ + Р ln ( Р */Р ) PJ( dp J +
I-2pdi - n dPdi]
' Jaes(P(( 2qdp пlvdp dpJ,
2pdi n dPdi = (i Ф)х -2p dp- nlv dp dp = (1-Ф)х
(15)
х
-2p
1__1Л dP _
P ln (P*/P) PJ dp
- П;
Pln (P*/P) PJ( dp
,2
dP\2 d2P +nlv dppj
ед р) = е* 1п-1( р * /р ), е;( р) =
е* ( р )
Ре^ = т р IV сыц
IV'
Р I V
р
Р 1п ( Р* / Р )'
с ¡^г —
1а —
к\
(р)
к
с То I
(Т)'
к(р) —
Рок
т^ V
при 0 <%<%м.
й %2
й %2
к1
(р)
Ре1 — т р I сп П — (ТГ к
к(р) —
Рок
(16)
РI
Р'
с I —
при
й 2е
•йе
т ^
%(5) < % < %(т).
йе
— -2^ + 2р^(т)^ ,
й %2
Р — тР8С8 ' Р
В-5 Р
(17)
С8 — с пРи ^(т) < % <
%(т) = Х(т/2л*/к ) г .
тактной границей. Следовательно, из-за фазовых переходов на этой границе и значительного различия плотностей влажного пара и жидкости их линейные скорости могут сильно различаться.
Из условия (8) и (10) с учетом закона Дарси (2) на границе фазовых переходов (% = %(5)) получим
(йР)- - п( йР р Iй% ^ Л й% у (5)
П/1 ^ I — 2£(*),
Р±
Р^'
йе)+ й
йе)-
5)
При получении (15) предполагалось, что слагаемое pJp¡ много меньше единицы (состояние влажного пара достаточно далеко от критического).
Из уравнений (1) и (4) после аналогичных преобразований в зоне фильтрации воды и газа имеем
й2р _ п й2 е _ % йе йРйе — 0' - - 2 — -2 % й% -Ре1й^ й% '
тр1( 1-Ф^Щ +2^0
(18)
(19)
1а
Ч 5)
Аналогично из условий (11) и (12) на контактной границе (% = %(т)) имеем
2 ^(т) — ^0-т)'
(20)
'й-э)- — (й-)+
Vй<Цт) Vй<^(т) .
Из начальных и граничных условий (13) следует
р — 1, е — 1 при % — -, Р — Ре, е — е е — еа( ре), (21)
ф — Фе при % — 0.
Проинтегрировав уравнения (16), описывающие фильтрацию воды и температурные поля, для распределений давления и температуры в этой зоне получим
Р — Р(5) + (Р(5) -1 )
%(5)-% %(т) -
( 5)
| ехр(-(% - а%(т))2)й%
Здесь %(5) и %(т) - автомодельные координаты границ, определяемые выражениями %(5) = Х(5-/2л/ к(Т) г,
б — е(5) + (б(т) - е(5))
| еХР (-(% - а%(т))2)й%
(22)
В дальней зоне фильтрация газа идет при поршневом режиме вытеснения водой. Поскольку вязкость газа обычно на порядок ниже вязкости воды <§ то, как следует из закона Дарси, градиент давления (и тем самым перепад давления) в зоне фильтрации газа будет значительно ниже, чем в зоне фильтрации воды. Поэтому в дальнейшем в зоне фильтрации газа давление Р будем полагать постоянным и равным начальному давлению р0 (р = р0 или Р = 1). Отметим, что аналогичное утверждение неверно в общем случае для зоны фильтрации пара, хотя динамическая вязкость пара также значительно ниже, чем у воды. Это связано с тем, что х = Х(5) не является кон-
а — т р ¡с I при %(5)<%<%
з( т)
и аналогично для распределения температуры зоне фильтрации газа -
Р= 1,
| ехр(-(% - р%(т)}2)й%
е — 6(т) + ( 1- 6(т)Г-т-
| ехр(-(% - р%(т)}2)й%
при %(т)<%<-.
(23)
%
Граничные условия (18) и (19) на границе фазовых переходов с учетом аналитических решений (22) могут быть приведены к виду
Э.»- Л; (й( - т)) =0
2р (й й ) (9 (т) - 9 (у)) Х
— (й(у) - т)) 9 - ( р ) Х
Ц/; 9Д Р;)
ч2ч
Х еХР (-(й(;) - ай(т)) ) ^
Х й--+
й(т)
| ехр(-(й - ай(т))2)йй
2 т р » Та 9 ( Р » )
( 1- ф(;})(й0) - й(т)) =
(24)
Из условий (20) на контактной границе с учетом решений (22) и (23) имеем
2 т) = -Л/
( 1- Р(у))
(й(т) - 5})
(25)
(9(т) - 9(;))-
ехр (-(й( т) - ай( т))2 )
(т) (У^йТт)
| еХР (-(й - ай(т))2)йй
= ( 1- 9(т))-
ехФ ( -( й (т) - Р й (т) ) 2 )
| ехр(-(й - Рй(т))2)йй
й(т)
(26)
После некоторых преобразований отсюда можно получить выражения, связывающие значения автомодельной координаты контактной границы й(т) и температуры 9(т) на этой границе с ав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.