ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 532.5:533.6.011.5
© 2015 г. Х.Ф. Валиев, А.Н. Крайко, Н.И. Тилляева
К ТЕОРИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ И ИХ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АНАЛОГОВ
В приближении идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа рассмотрены осесимметричные конические течения (КТ) без закрутки и их нестационарные цилиндрически и сферически симметричные автомодельные аналоги с показателем автомодельности единица. В рассматриваемых течениях наряду с ударными волнами в рамках классической модели (мгновенное тепловыделение, с обеих сторон от разрыва нулевой толщины — совершенный газ в общем случае с разными показателями адиабаты) допускаются детонационные волны Чепмена—Жуге (В^). Основные новые элементы, связанные с КТ, — введение в известные течения и объединение нескольких КТ в одно. Объединению нестационарных автомодельных аналогов КТ предпосланы построение и анализ ряда новых решений. Оригинальны и все объединения нестационарных аналогов. Систематизация используемых подходов и опирающийся на них теоретический анализ иллюстрируются примерами численного построения изучаемых течений в плоскостях их независимых переменных. Иллюстрации включают линии тока (для КТ), траектории частиц (для нестационарных аналогов), С+- и С--характеристики и их огибающие, ударные волны и В^.
Осесимметричные конические течения (КТ) идеального газа и их нестационарные цилиндрически и сферически симметричные аналоги занимают важное место в теоретической газовой динамике [1—5]. Основополагающий вклад, внесенный в изучение КТ А. Буземаном, А.А. Никольским, Г.Г. Чёрным и другими исследователями [6—10], получил дальнейшее развитие, в том числе в ряде недавних публикаций [11—13]. При этом особое внимание было уделено КТ с детонационными волнами Чепмена— Жуге (В^) и объединению КТ [12, 13].
Аналоги КТ — автомодельные нестационарные цилиндрически и сферически симметричные течения с равным единице показателем автомодельности — также изучались многими исследователями [2, 14—23], причем, как правило, вне связи с КТ. При этом течениям с детонационными волнами (В^, включая большое внимание уделялось изначально [2, 14—16, 22].
Ниже при рассмотрении сначала КТ, а затем их нестационарных аналогов в развитие исследований, выполненных ранее [12, 13], специальные усилия направлены на объединение конических или автомодельных одномерных нестационарных течений, в большую часть которых предварительно введены DWJ. Ряд новых решений получен при построении автомодельных аналогов КТ.
1. К теории конических течений с детонационными волнами Чепмена—Жуге и их объединение. Пусть х и у — цилиндрические координаты, и и и — проекции на них лежащего в меридиональной плоскости вектора скорости V незакрученного потока, V = |У| — модуль его скорости, а все термодинамические параметры газа (давление р, плотность р, удельные энтальпия Н и энтропия я и скорость звука а) — известные (в общем случае
разные до и после DW) функции двух из них (газ двупараметрический). Двупарамет-рическая термодинамическая модель согласуется с известной "классической" моделью DW [2]. В этой модели принимается, что вне DW химические реакции отсутствуют, а в DW сгорание горючей смеси протекает мгновенно с фиксированным тепловыделением, причем с обеих сторон от DW — разрыва нулевой толщины — газ совершенный, возможно, с разными постоянными теплоемкостями и их отношениями (показателями адиабаты) у.
В стационарных течениях идеального двупараметрического газа все его термодинамические параметры — известные функции V, s и полной энтальпии H = h + V®/2. В КТ интенсивность каждой DWj или ударной волны (SW) постоянна, в любом коническом секторе непрерывности параметров, образуемом SW и DW, значения s и H — константы, т.е. в таких секторах КТ изоэнергетично и изэнтропично и как следствие этого — безвихревое. Уравнения стационарного осесимметричного безвихревого течения сводятся к двум уравнениям для компонент скорости u и и. Это — уравнение неразрывности и равенство нулю нормальной плоскости ху компоненты вихря (в осесимметрич-ном течении без закрутки другие компоненты вихря — тождественные нули) [1—5]:
(и2 - a2)ди + 2тди + (и2 - а2}ди - а2 и = 0, ди-до = 0 (1.1)
дх ду ду y ду дх
Если число Маха М = V/a > 1, то система (1.1) имеет два семейства характеристик (С+ и С-), вдоль которых выполняются уравнения [5]
d±У = tg(0 ± d±0 Т ± sin 9sin^ 0
dx dx V dx y cos(0 ± ц)
± *
dx=dx+te(0±^) ду
dx дх ду
Здесь и далее верхние (нижние) знаки плюс и минус отвечают С+ (С—)-характеристи-кам, 9 — угол вектора V с осью х, а ц — угол Маха: sinp = 1/M.
Поместив начало координат в центр коничности, перейдем к полярным координатам лф, где r — расстояние от центра коничности, а ф — угол, отсчитываемый от оси х. Учтем, что x = rcosф, y = лзтф, а параметры КТ — функции только угла ф или компоненты u вектора V. Тогда уравнения (1.1) сведутся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям [1—5]
dф N du „ 2 „2 „2 , . ч2 ,Л ,ч
— = — = -^ф, N = а - Vn , Vn = (и sin ф- u cos ф) (1.3)
du а2u du
где Vn — нормальная к лучу ф = const (далее "лучу ф") компонента V. Если разность N< 0, то эта компонента сверхзвуковая и по данному лучу можно направить ударную или детонационную волну. За SW (за пересжатой DW все так же) [1—5] разность N > 0, а за DWj разность Nj+ = 0. Луч ф, на котором N > 0, ни SW, ни DW быть не может. В соответствии с этим, следуя [11, 13], КТ или их части, в которых N> 0, будем называть "конически дозвуковыми", а в которых N< 0, — "конически сверхзвуковыми".
Лучи ф = фЛ0, на которых в КТ разность N = 0, удовлетворяют первому уравнению (1.2), т.е. имеют направление С+- или С—-характеристики. Чтобы они были характеристиками, этого, однако, мало. В дополнение на таких лучах должно удовлетворяться "условие совместности" — второе уравнение (1.2) с верхними или нижними знаками. Для КТ это эквивалентно выполнению равенства 9 = 0 или и = 0. Если же, как за DWJ, разность N = 0, а и ф 0, то такой луч — огибающая характеристик.
КТ может примыкать к равномерному набегающему потоку по С+- или ^-характеристике, на которой N = и = 0. Чтобы раскрыть неопределенность N/ и в первом уравнении (1.3), нужно представление для N при малых и. Для его получения с учетом зависимости а от Vв КТ совершенного газа продифференцируем по и выражение для N. Исключив из результата с помощью соотношений (1.3) производные йф/йи и йи/йи, придем к уравнению
N = N sin 2(р - 9) + Vx+i oí du и sin2 ц cos р
2 tgp + V^-sin(p - 9) (1.4)
Опираясь на уравнения (1.3) и (1.4), найдем, что вблизи начальных ^-характеристик, т.е. при малых и
ы 2 тл2 - У + 1 ТЛ , , пУ + 1 - (4У + 6)0О82 Ц0 ,, ^
N = а - Уп х -У0и + (у + 1)^-——^-— и 1п | и| + Си (1.5)
0 2ео84 ц0
Здесь С — произвольная постоянная, нулевой индекс метит параметры набегающего потока, а верхний (нижний) знак плюс или минус отвечает С+ (С-)-характеристике. Дальнейшие подробности отхода от начальных характеристик приведены ранее [13]. Согласно представлению (1.5), особая точка N = и = 0 уравнения (1.4) — узел.
Построение КТ начинается от известного или частично известного "начального" луча ф при известном направлении изменения р. Если равномерный (набегающий) или иной конический поток, к которому по начальному лучу ф (С±-характеристике, SW или О^) примыкает данное КТ, и ось х направлены слева направо, то угол ф при интегрировании от такого луча уменьшается, а в зависимости от задачи лучи ф попадают в первый или во второй квадрант, определяя знаки ^ф и правой части второго уравнения (1.3).
В конически сверхзвуковом течении по лучу ф можно направить SW. Тогда при известных параметрах перед SW (без индексов) для параметров за ней (с индексом плюс) в силу законов сохранения справедливы формулы
(Y - 1)V + 2а V
е+ =ф- arctg(Y 1)\i;+ , V+ = , u+ = V+ cos e+
(y + I)v„Vt cos(ф-e+)
U+ = V+ sin e+, p+ =p2YV"2 -(Y- 1)а 2, p + = (Y + 1)2P v"22 (1.6)
Y(Y + 1) (Y - 1)V„ + 2а2
N+ = а+ - V„2+ =-(y- 1)V" + 2а N > 0, Vn = Vsin^-e), VT = Vcos^-e)
(Y + V
Как сказано ранее, энтальпия и скорость звука горючей смеси до DW (без индексов) и продуктов детонации за DW (с индексом плюс) даются формулами
2 2 h = -а_ + д, а2 =YP, h+ = -0+-, а+ =Ы± (1.7)
Y-1 Р Y + -1 Р+
Постоянная q в формуле для h определяет тепловыделение при сгорании горючей смеси в DW.
Направление в КТ по лучу р DWj требует, чтобы величина q была строго определенной. В рамках уравнений (1.7) законы сохранения, справедливые на DWj, дают для q = qj выражение
Фиг. 1
Y+N2 ,/2 2ч 2N + (y + wn at 2 тAsk /1
qJ = -2 + (Y -Y+)—5--—f^, N = a - V < 0 (1.8)
2 Y 2( Y + - 1)Vn2 2 y 2( Y- 1)(Y + -1)
При этом параметры с индексом J+ за DWj определяются формулами
0 J + =ф- arctg Y+(a 2 + Y ^, Vj + = ,, Uj + = Vj + cos 9 j+
Y(Y + + 1)V„VT cos(9-0 J+)
J = Vj + sin 0j+, pj+ = p a ^ + Y \ , pj+ = y(y+2+1)P V4 , N j + = aJ+ - VnJ + = 0
Y(Y + +1) Y+(a + Y Vn)
(1.9)
с теми же Уп и Ух, что в формулах (1.6). Если у+ = у и N = 0, то согласно формуле (1.8) ^ = 0, а нормальная к "В^^" скорость потока Уп1+ равна скорости звука, т.е. такая волна — "В^" и без тепловыделения.
Выполнение формул (1.6) для SW или формул (1.8) и (1.9) для В^, однако, еще не гарантирует реализации КТ с этими волнами. Для этого нужно (см. ниже), чтобы угол 0 за ними не был отрицательным.
За SW в первом квадранте (фиг. 1, а, сплошная кривая — линия тока) и > 0, отношение N/ и положительно, ^ф > 0 и в силу первого уравнения (1.3) для уменьшения угла ф компонента скорости и должна уменьшаться. Тогда в силу второго уравнения (1.3) растет компонента скорости и, и как результат при положительной для ф > 0 правой части уравнения (1.4) растет и разность N. С удалением от SW, за которой ф > 0+, и и
угол ф уменьшаются, а и, tgQ = и/u и угол 9 растут. В результате разность ф — 9 уменьшается до нуля, и на луче ф = 9 выполняется условие непротекания Vn = 0. Следовательно, этот луч — образующая конуса, определением полуугла при вершине которого заканчивается построение КТ.
Основные особенности КТ с DWj в первом квадранте установле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.