РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 9, с. 902-905
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2:521.372.8
К ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ ЗОММЕРФЕЛЬДА
© 2015 г. В. В. Шевченко
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009, Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7 E-mail: sto@cplire.ru Поступила в редакцию 12.03.2015 г.
Получены оценочные аналитические выражения для "групповой" и энергетической скоростей поверхностной электромагнитной волны Зоммерфельда на электропроводящем цилиндре с высокой проводимостью: модели металлического провода и водяной струи.
DOI: 10.7868/S0033849415090107
1. Классическая задача о поверхностной волне на металлическом проводе, рассмотренная А. Зо-ммерфельдом в 1899 г., содержится в ряде широко известных учебных пособий (см., например, [1—5]). Эта задача была решена автором численно аналитическим методом итерации, но вычисления были проведены только для фазовой скорости волны в некоторых частных случаях. Именно в таком виде без существенных добавлений и обобщений эти результаты вошли в указанные выше пособия.
Теория поверхностных волн в прошедшем столетии активно развивалась, но только в применении к диэлектрическим волноводам и световодам. Как показано в работах [6, 7] на примере поверхностных волн на более простой (плоской) границе электропроводящих сред, в частности волны Цен-нека, эти поверхностные волны по физическим свойствам существенно отличаются от поверхностных волн на границах диэлектрических волноводов. Таким образом, отсутствие достаточно развитой теории для поверхностных волн на границах электропроводящих сред привело к явно затянувшейся задержке их практического применения в технике.
В данной работе приведено оценочное выражение для фазовой скорости, рассмотрены процедуры вычисления и получены оценочные аналитические результаты для "групповой" и энергетической скоростей поверхностной волны на высоко проводящем цилиндре, т.е. волны Зоммерфельда. "Групповая" скорость дана здесь в кавычках, поскольку в отличие от групповой скорости волн диэлектрических волноводов такая скорость на границах электропроводящих сред не имеет обычно придаваемого ей физического смысла: ее величина не равна энергетической скорости, т.е. скорости переноса волной энергии [6, 7].
2. Компоненты гармонического по времени I с частотой ю поля для волны Зоммерфельда на гра-
нице высоко электропроводящего цилиндра [1—5] представим в виде
(1)
е р = Су к !< ркр), нр = ркр), Ег = /СрКо(ркр).
Здесь опущен общий сомножитель А ехр['(юг — — у кг)] и использованы следующие обозначения: р, г — поперечная и продольная цилиндрические координаты, р > а, где а — радиус цилиндра,
^ = (|0/6 0)^2, к = ю/ с, где с = (б0ц0)-^2 — скорость света в вакууме, е0 и ц0 — параметры вакуума,
У = у -1у = (1 + р2)1/2 (2)
— комплексный коэффициент замедления скорости движения фазы волны вдоль оси цилиндра,
р = р1 -1р// — коэффициент поперечной протяженности поля волны, где р1, р// > 0; К1(ркр) и К0(ркр) — функции Макдональда (функции Бесселя 2-го рода [8] ).
Дисперсионное уравнение дляр имеет вид [2—5]
рК0(рка) = а К(рка), (3)
где а = ¡1С. В используемом здесь уточненном поверхностном импедансе Леонтовича на границе высоко проводящего немагнитного цилиндра учтен радиус кривизны поверхности цилиндра а
[9-11]:
z • -z (1
1/2
1 --L (1
2ка\ 6
1/2"
(4)
Диэлектрическая проницаемость материала цилиндра е = £1 - 1г11 понимается в обобщенном смысле, где
е// =
ст
е 0ю
(5)
а — проводимость материала. При этом считается, что в области применяемых частот поля волны для е выполняется соотношение
1 ^ |е^ е//,
где в/ < 0 для металла и в/ > 0 для воды. Из выражений (4)—(6) следует [6, 7]
а = ка А,
где
Д = 5а[1 - 8е - /(1 + 5а +5е)],
8а =■
ка V 2б
1 (
112
= й ^ 1, 2а
8е =■
2б
//
< 1,
(6)
(7)
(8)
й = [2/(юц0а)]^2 — толщина скин-слоя поля под поверхностью цилиндра.
Для тонкого цилиндра при |рка| <§ 1 дисперсионное уравнение (3) принимает вид
д = 2Д,
д(ка)
где д = р2 = д' - /д//, д/ > 0 при р' > р", д" > 0 (см. Приложение).
Это уравнение решается методом итерации [1, 8]:
(9)
// „//
дп = 2А
1п-Щ +
(ка)
дп-1.
(10)
где порядок итерации п = 1,2,3..., при этом используется начальное значение
д0 = 2А
1п
1.26
(11)
-1 д''с
1 /
(12)
"Групповую" скорость вычислим другим способом: на основании выражения для
/.,.// йю
V „ = V „ + IV „ =
йу)-1
с I у + ю— I , й(ку) \ йю!
(13)
при этом согласно (2) имеем 2уй у/й ю = йд/йю.
Далее, дифференцируя по величине ю левую и правую части дисперсионного уравнения (9), по-
лучим
йд 2й ю
1П-Щ _ 1
д(ка) и, следовательно,
-1
й А
д_й А
йю 2А - дйю
^ = с
1+д+д ^ Л _ д 2 А йы\ 2А
-1
(14)
(15)
где на основании (8) без учета малых членов выс шего порядка в этом разложении имеем
ю йА ^ _ю йЪа ^ _ 1 Айю 5а йю 2
(16)
При выводе этого выражения учтено, что а и е/ для металла и соленой воды можно считать не завися-
1012 с-1 и ю
1010с-1 со-
щими от частоты при ю ответственно [5, 12].
В итоге, учитывая только члены старшего порядка, получим
V. * с(1+- 3д) * (. - 4)с,
(17)
откуда следует, что для групповой скорости можно использовать оценочное выражение
V. = V/ = (1 - 4 д д) с.
(18)
_ (ка)
Итерация проводится до результата, при котором |дп+1 - дп\ < |дп| с нужной точностью. Обычно здесь требуется 2-3 шага (порядка) итерации.
3. Фазовая скорость, как и "групповая", при вычислении по обычной процедуре оказывается, для поверхностных волн на границах электропроводящих сред, комплексной величиной. Чтобы эти скорости имели физический смысл, их приходится доопределять одним из двух возможных эквивалентных (совпадающих в старших членах разложений по степеням малых величин) способов [6, 7]. Для фазовой скорости, например, здесь можно применить способ, в котором используется оценочная величина для у/, вычисленная по формуле (2) с учетом только членов старшего порядка малости. В результате получим
Это выражение позволяет вычислить "групповую" скорость так же, как и фазовую (12), на основании результатов численного решения дисперсионного уравнения (9)—(11).
4. В работах [6, 7] показано, что энергия пограничной поверхностной волны под границей в высоко проводящей среде фактически не распространяется вместе с волной, а просто поглощается в среде. Для стационарных токов в проводе подобный эффект отмечен в [1]. В результате энергетическую скорость волны, т.е. скорость переноса волной энергии, можно получить на основании выражения
V = —
Ve Ж'
где Р — поток мощности, переносимый волной вдоль границы вне среды, а Ж — перемещаемая вместе с волной линейная плотность энергии волны на единице длины вдоль границы также вне среды, усредненные по времени величины. В
(19)
/
904
ШЕВЧЕНКО
рассматриваемом случае мощность и плотность Зоммерфельда на высоко электропроводящем энергии поверхностной волны вдоль и вне грани- тонком (с малым радиусом: \pka\ < 1 ) цилиндре:
цы высоко проводящего цилиндра с компонентами поля, представленными выражениями (1), имеют вид
P = п jRe(EX)pdp = Z 0 Y/GIi(p, ka),
a
W = n Jls 0 (MpI 2 + N2 ) + И 0 Kl2 ]pdp =
= Hi g
[(M2 + 1)I i( p, ka) + \p\21 o( p, ka)],
где
G = A exp(-2y//kz), k
Ii(p, ka) = J|Ky(prf rdr,
ka
œ
Io(p, ka) = J |K)(pr)|2 rdr.
2y/c
i+|Y|2+kli
01
/ 1,1/ 1/ /2 //2ч
Yx = 1 + -q' --(q' - q" ),
2 о
1 + IY2 = 2 (1 + i q/ +1 q "2
v, =Î1 - й 101 I c,
где при |рка| <§ 1 согласно полученным в Приложении результатам имеем
- M
2Sa
(1 -Sa -8е)arctg
//
q
/
v p = I1 - 2 q ' I c
v, = (1 -1 q/1 c,
(20)
(28)
1 -1 f arctg 4
4 8a
c,
где q = q1 - iq//
(21) нения (9)—(11).
(22)
(23)
(24)
где I01 = I0(p,ka)/I1(p,ka). С учетом того, что согласно (2)
(25)
оценочное выражение для энергетической скорости принимает вид
(26)
(27)
V ' -а Ч J
решение дисперсионного урав-ПРИЛОЖЕНИЕ
Поскольку K*(pr) = Kn(p*r), то на основании [13, с. 48] получим
In(p, ka) = J| Kn(pr )|2 rdr = ka
ka
= J Kn(pr)Kn(p*r)rdr =
ka
2 *2 p - p
ка
Интегралы в (23) вычислены в Приложении. Там же приведены результаты для случая, когда выполняется соотношение |рка| <§ 1.
На основании (19)-(21) для энергетической скорости получим
х [pKn_1(pka)Kn(p*ka) - p*Kn_1(p*ka)Kn(pka)].
Отсюда при n = 1 имеем
I1( p, ka) =
ka
2 *2 p - p
x [pK0(pka)K1(p*ka) - p*K0(p*ka)K1(pka)],
а при n = 0, используя равенство K_ 1 (pka) = K1 (pka), получим
10(p, ka) =
ka
2 *2 p - p
x [pK1(pka)K0(p*ka) - p*K1(p*ka)K0(pka)]. Далее при |pka| <§ 1 согласно [8] имеем
K1(pka) = —, K0(pka) = ln1-123 pka pka
//
и, введя p1 = q = q/ - iq// = |q| ехр(-г'ф), ф = arctg ^y
q
q/,q// > 0, на основании (8), (9) получим i
I1 =
4q// |q|
, 1.26 1.26 qln-- - q*ln-
Im
2q " |q|
Iq =
q ln
q(ka)
1.26 q(ka)2
q" |q|
q*(ka) _
(1 + 8 a +SE),
Для сравнения сопоставим полученные оценочные выражения для фазовой, "групповой" и энергетической скоростей поверхностной волны
4q
//
1.26 1.26 ln-2 - ln-
_ q*(ka)
q(ka) _
//
—l~Ti ln q = -Kj arctg (q1 4q q* 2q// q/
ve =
a
2
X>
=
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
2. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957.
3. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966.
4. Семенов Н.А. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1973.
5. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.
6. Шевченко В.В. // Журн. радиоэлектроники. 2013. № 7. http://jre.cplire.ru/jre/jul13/7/text.pdf
7. Шевченко В.В. // РЭ. 2015. Т. 60. № 4. С. 358.
8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1980.
9. Леонтович М.А. // Сб. Исследования по распространению радиоволн. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
10. Рытов С.М. // ЖЭТФ. 1940. Т. 10. № 2. С. 180.
11. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука, 1969.
12. Альперт Я.Л., Гинзбург В.Л., Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн. М.: Гостехтеориздат, 1953.
13. Прудников А.П., БрычковЮ.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 198
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.