К ТЕОРИИ ПРОХОЖДЕНИЯ ТОКА ЧЕРЕЗ ИДЕАЛЬНЫЙ ИЗОЛЯТОР
В. Ф. Елесин*
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 115409, Москва, Россия
Поступила в редакцию 3 июня 2014 г.
Найдено аналитическое решение задачи о прохождении тока через идеальный изолятор для монополярной инжекции дырок. Впервые получены зависимости тока от напряжения (ВАХ) для широкой области изменения параметров структуры (длины, концентраций дырок на границах, температуры и др.) и величины напряжения. Показано, что квадратичная ВАХ Мотта - Гарни реализуется только в определенном интервале токов от Л\ до ./2. При .7 < Л\ ток линейно зависит от напряжения V с точностью до \'л. Новый режим обнаружен при токах, больших ./2, когда ВАХ становится линейной из-за полного заполнения изолятора инжектированными дырками. Найдены постоянные интегрирования во всем интервале изменения тока и параметров структуры, а также аналитические выражения для пространственного распределения электрического поля и концентрации дырок.
001: 10.7868/80044451015010113 1. ВВЕДЕНИЕ
Явление инжекции электронов и дырок дает уникальную возможность вводить носители заряда в любые изоляторы и нелегированные полупроводники, управляя тем самым проводимостью и создавая неравновесную ситуацию. Это явление лежит в основе процессов, происходящих в светодиодах, полупроводниковых лазерах, транзисторах и др. При инжекции заряда происходит резкое нарушение электронейтральности, приводящее к ограничению тока объемным зарядом. Теория ограниченной объемным зарядом проводимости имеет фундаментальное значение, однако даже в случае монополярной инжекции в идеальный изолятор без ловушек она не является достаточно полной.
Первый результат был получен Моттом и Гарни (МГ) [1] при пренебрежении диффузией и с использованием нереалистичных граничных условий. Согласно МГ ток квадратично зависит от напряжения.
Полная система уравнений включает уравнение Пуассона и уравнение непрерывности в диффузионно-дрейфовом приближении. После исключения концентрации получаются нелинейные дпфференцпаль-
Е-таП: ЛФЕкжт'йтррЫ.ги
ные уравнения для электрического поля, которые решаются численно (см., например, [2,3]). При этом имеются математические трудности, проблемы со сходимостью, а главное, трудно охватить широкий набор параметров, чтобы составить цельное представление о ВАХ.
Существует другой подход, при котором можно свести уравнение к уравнению для функции Эйри. По-видимому, впервые это было сделано в работе [4]. Однако анализ, проделанный в этой работе [4] и последующих (см., например, [5 7]), был недостаточно полным.
Проблема состоит в определении с помощью функций Эйри постоянных интегрирования, которые меняются в широких пределах в зависимости от тока, и большого числа параметров (концентрации на контактах, длины образца, температуры и др. ).
В настоящей работе удалось преодолеть эти трудности благодаря замеченной нами формальной аналогии с задачей об энергетическом спектре квантовой ямы в электрическом поле. Впервые были найдены аналитические зависимости тока от напряжения (ВАХ) во всем интервале токов, а также зависимости постоянных интегрирования от тока и параметров структуры во всей области их изменения. Показано, что квадратичная зависимость МГ реализуется только в определенном интервале токов от ./1 до ■1-2. При 3 < 3\ ток линейно зависит от напряжения
V с точностью до V'3. Новый режим обнаружен при 7 > Зч, когда В АХ снова становится линейной и приближение МГ перестает быть справедливым. Кроме того, подучены аналитические выражения для распределений электрического поля и концентрации дырок в изоляторе во всей области изменения тока и параметров изолятора.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим простейшую модель протекания тока через идеальный изолятор (см. [1]), не содержащий свободных носителей и ловушек. Для удобства в качестве носителей возьмем дырки, ток которых имеет вид
ф
Зр — ? р (I) р
(1х
,1Р > 0.
где р(х) концентрация дырок, ер(х) электрическое поле, удовлетворяющее уравнению Пуассона,
(1
_р
(1х
4ттвр
(2)
Здесь введены следующие обозначения: к диэлектрическая проницаемость изолятора, в, /1р, Юр соответственно заряд, подвижность и коэффициент диффузии дырок, причем согласно соотношению Эйнштейна
л - вТ ир — ^ /1р.
В качестве граничных условий выберем задание концентраций на контактах:
р(0)=ро, р(1)=р1-
(3)
Отметим, что из уравнения непрерывности заряда вытекает независимость тока 7Р от координаты.
Задача состоит в отыскании зависимости тока 7Р от напряжения \'р,
Ур =
„(1х.
(4)
Введем новые переменные е(х), п(х), 7, V
?р(х) = ёе(х), р(х) = - —п(х),
3Р =
/V
8тг К'1 Г"
2 квТ
(5)
Система уравнений (1) (3) принимает вид
(1п (1х'
7 = 2 пе
(6)
п(0)=по, п(1) = т. (8)
Подставляя (7) в (6), находим первый интеграл уравнения для е(х):
е1 = 7.1: + С,
(9)
где С постоянная.
Граничные условия для поля принимают вид
2(0) = п0 + С, е2(1) = тц + С + 7/.
(Ю)
Впервые В АХ идеального изолятора была найдена в работе Мотта и Гарни (см. [1]) в пренебрежении диффузией при
С = 0, е(0) = 0.
(1) Тогда легко получить из (9)
= 71/'2!:1/'2
7 =
9
4 73
(П)
известную квадратичную зависимость тока 7 от напряжения V (ВАХ). Из (11) следует соотношение
п(0) =
71/'2 2.1:1/5
ОС,
которое находится в явном противоречии с точным граничным условием (10).
Решение уравнения (9) обычно проводится довольно изощренными численными методами [2,3], но не дает полной картины ввиду присутствия в задаче большого числа параметров.
Существует другой подход, указанный впервые в работе [4]: свести уравнение (9) к уравнению для функций Эйри. Однако в [4] и последующих работах [5 7] проведенные анализы были неполными и с использованием численных методов в связи с трудностями учета граничных условий при применении свойств функции Эйри.
В настоящей работе эти трудности удалось преодолеть благодаря замеченной нами формальной аналогии с задачей об энергии квантовой ямы в электрическом поле.
Введем новую функцию
и (х) = ехр
:(х')(1х'
(12)
уравнение для которой совпадает с уравнением Шредингера
■и" + (Е -У(х))и = 0, У(х) = 7.Г (13)
0 I
Рис.1. Квантовая яма с «полем» .7
с граничными условиями
(°) = ( — ) = "о - Е.
Чп =
= щ - Е + Л,
если положить
С = —Е, V (х) = Jx, е(х) = —и' /и.
(14)
(15)
(16)
Нетрудно убедиться, что эта задача аналогична задаче о квантовой яме с барьерами высотой щ (при .г = 0) и щ (при .г = Ь) в «электрическом поле» 3 (рис. 1). Единственное отличие (причем при определенных условиях весьма существенное) состоит в том, что логарифмические производные и'/и входят в граничные условия (14) и (15) квадратично. Эта аналогия играет эвристически полезную роль при решении задачи.
Общее решение уравнения (13) хорошо известно [81
и(х) = ЛА1(-г) + Ш(-г),
с = Ё = Е/32/?\
(17)
где А1 (—г) и В1( —г) функции Эйри.
Проблема состоит в отыскании коэффициента А и «энергии» Е в широком интервале параметров /¿о, П[, /ив зависимости от тока 3.
Чтобы использовать различные асимптотики функций Эйри для отыскания коэффициента А и энергии Е(Е), удобно рассмотреть следующие области изменения тока:
1. ток равен нулю, равновесный случай;
2. малые токи, 31 < I//2;
3. большие токи, 31 > I//2.
3. РАВНОВЕСНЫЙ СЛУЧАЙ (7 = 0), п0 = Щ
В отсутствие тока решения уравнения (13) и, е(х), п(х) имеют вид
и = Асх\)(гкх) + ехр (—¿кх), к2 = Е, Асх\)(гкх) — охр (—гА\г) Асхр(гкх) + схр(-гкх)'
п(х) = -
(Л ехр(//.\г) + охр(—¿А'х))"
Коэффициенты А и к2 = Е находим из (8):
4 Ак2
(18)
п о =
щ =
4 Ак2
(Л + I)2'
, Л = Лохр(2Ш).
(19)
+
В случае щ = щ получаем
А = схр(-гН), к2
п(х) =
соя2 (А-(лг —1/2))' Коэффициент к находим из уравнения
СОЯ' у
~1Г
По Г2
У =
кI
(20) (21)
(22)
Полагая параметр п012 бесконечно большим (п012 —>-оо), получаем
п(х) =
2 //2 7Г //
СОЯ 7Г
1
/
(23)
(24)
что совпадает с результатом работы [9], но при этом п(0) = п(1) = оо.
Если параметр пд!2 1, но конечен, имеем
п(х) =
2 //2 7Г //
5ш2 {7{х ^Р
(25)
Из формулы (25) видно, что концентрация дырок быстро уменьшается вглубь изолятора на расстоянии порядка дебаевского радиуса г о = 1/ у^о •
В обратном предельном случае щ!2 -С 1, находим
п0 соя'
п(х) =
СОБ^
к2 = Ек п0. (26)
Это означает, что дырки заполняют изолятор, так как / -С го- Этот предел не представляет интереса для задачи иижекции носителей в изолятор и далее его не рассматриваем.
Выражения (23) и (26) для «энергии» имеют квантовую интерпретацию: в случае щ!2 Э- 1 «энергия» (23) совпадает с энергией первого уровня квантовой ямы размером / и бесконечными барьерами (н0 I//2); при п012 -С 1 «энергия» (26) почти совпадает с высотой одинаковых барьеров [10].
Решение уравнения (13) иногда удобно представить в другой форме:
и = sin (кх + 6), к2
п(х) =
siir (кх + 6)
(27)
(28)
Для равных концентраций по = щ находим 6 в виде
■тг кI
6 =
2 2
(29)
В этом случае (Е = 0) концентрация дырок описывается выражением
1
п(х) =
(.r+1/vW
(33)
из которого наглядно видно, что дырки распределены в области х < г о = 1 /
Нетрудно убедиться, что при щ12 < 1 существует решение с Е < 0. Положив в (30) и (31) к = 'щ, 6 = г\6\, получим уравнение для д:
sir у
1
nj/"2
= — - y = (JL
(34)
В случае щ12 < 1 имеем снова (32). Для очень малых П[12 -С 1 находим ц, Е и п(х) в виде
Ч ■
2/111 \щГ2
Е =
1
In2
1
п(х) =
<Г
sir цх
(35)
(36)
4. РАВНОВЕСИЕ (7 = 0), щ < п0
Рассмотрим ситуацию разных концентраций п0 ф щ, щ < по (разных «барьеров»). Если воспользоваться решением в форме (28), то граничные условия для определения 6 и к имеют вид
п0 =
к2
siir 6
ГЦ =
к2
siir (kl + 6)
(30)
Полагая щ!2 -4- ос, найдем 6 и уравнение для к:
к
6 =
siir у 1
9 = 79 ' У = " ''
У2 ГЦ!1
(31)
Из (31) следует, что с уменьшением щ12 (от щ!2) «энергия» Е = к2 уменьшается от (тг//)2, что связано с разной высотой «барьеров» н0 и щ (как в квантовой яме, где она уменьшается до (тг/2/)2 [10]).
Но в нашей задаче «энергия» уменьшается до нуля при п//2 = 1, что обусловлено появлением нового решения из-за наличия квадратов величин в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.