МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. А. В. АЗАРОВ К ТЕОРИИ СЕТЧАТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК
Сетчатые оболочки, образованные системой ребер, используются в настоящее время при строительстве сооружений различного назначения. В последние годы геодезические сетчатые конструкции, изготовленные из современных композитных материалов методом намотки, находят все более широкое применение в ракетно-космической технике в качестве переходных отсеков ракет, корпусов космических аппаратов и несущих элементов космических платформ, имеющих форму цилиндрических или конических оболочек. Сетчатые композитные оболочки рассматриваются в качестве перспективных элементов конструкций крыла, оперения и фюзеляжа пассажирского самолета, имеющих достаточно сложную форму. В настоящей работе получены общие уравнения теории сетчатых композитных оболочек и рассмотрены их возможные упрощения.
Ключевые слова: композитные материалы, сетчатые конструкции, теория оболочек.
1. Введение. Общая теория сетчатых оболочек, основанная на классических гипотезах, построена в работах [1, 2], где представлена также обширная литература по расчету сетчатых строительных конструкций. В последние годы для изготовления сетчатых конструкций используются композитные материалы, армированные стеклянными и углеродными волокнами [3, 4]. Высокая прочность и жесткость современных волокон, обеспечивающая хорошую весовую эффективность композитных сетчатых конструкций, состоящих из ребер, армированных в осевом направлении, сочетается с относительно низкой сдвиговой жесткостью, что вызывает необходимость учета деформации сдвига, игнорируемой гипотезами классической теории оболочек [1, 2]. Теория композитных сетчатых пластин, пологих и цилиндрических оболочек, учитывающая деформацию сдвига, построена в работах [5, 6]. В настоящей работе получены уравнения общей теории композитных сетчатых оболочек и рассмотрены ее упрощенные варианты.
2. Статические соотношения. Рассмотрим оболочку, состоящую из системы ребер, изготовленных из композитного материала методом автоматической намотки (фиг. 1). Силы и моменты, действующие в ребре, показаны на фиг. 2, где п и , — главные центральные оси сечения ребра, N — осевая сила, Qn и Qt — поперечные силы, Мп и М, — изгибающие моменты и Н — крутящий момент. Поскольку оболочка состоит из системы одинаковых ребер, используем континуальную модель, предполагающую осреднение ребер по поверхности оболочки. Усилия и моменты, действующие в эквивалентной гладкой оболочке, представлены на фиг. 3, где показана срединная поверхность оболочки, отнесенная к ортогональным координатам а, в, совпадающим с главными направлениями поверхности.
Фиг. 1
n
Фиг. 2
Усилия и моменты, действующие в оболочке (фиг. 3), связаны с силами и моментами, действующими в ребрах (фиг. 2), составляющих угол ф с осью а, следующим образом:
Na = (Nc2 - Qtsc)/a, Nр = (Ns2 + Qtsc)/a Nae = (Nsc + Qtc2)/a, Npa = (Nsc - Qts2)/a
Qa = (Qn/a) c, Qe = (Q„/a) s (2.1)
Ma = (Mnc2 - Hsc)/a, Me = (Mns2 + Hsc)/a
Mae = (Mnsc + Hc2)/a, Mpa = (Mnsc - Hs2)/a
May = (Mt¡a) c, Mpy = (Mja) s, s = sin ф, c = cos ф
где a — расстояние между ребрами, отсчитываемое по нормали к их осям. Уравнения равновесия элемента оболочки, показанного на фиг. 3, имеют вид
Ц = La(N) + A!A2 (Qa/R + Pa) = 0
"в М„,
в М
Фиг. 3
¿2 = ) + л1 л2 (ер /я2 + Рв) = о
ц =д- Ша )+|- (АОв)-Л1Л2 да ор
' Иа +N
1
+ та = о
- Ру 1 = 0
Ц = Ьв(М) - Л1Л2 (Мау/Я1 + Ов - те) = 0
¿6 = N„13 - Ива +
ва
Мв - Мт + лЛ (га (2Ма. >+| (Л1Мв' >1-0
Ьа(Г) (Л1Га) - Гр д-Л + (ЛГеа) + Гар ^
да
да дв
дв
(2.2)
(2.3)
ЫГ) = ^ Шв) - Га ^ + ^ иГав) + Гва М ^ 2 в дв да 1 в ва да
В уравнениях (2.2), (2.3):
Ра = Ра - Яа, Рв = Рр - Яр , Ру = Ру - Яу
та = ^ (Яа - Ра) , тв = ^ ( ~ ) Г = Г (И, М)
Здесь и Я2 — главные радиусы кривизны поверхности, к — толщина оболочки, р и q — нагрузки, действующие на наружной (у = к/2) и внутренней (у = —к/2) поверхностях оболочки в направлениях координатных осей, определяемых нижним индексом. Заметим, что наличие в уравнениях (2.2) моментов Мау и Мру, действующих на элемент оболочки (фиг. 3) и порождаемых изгибающим моментом М, (фиг. 2), свидетельствует о том, что эти уравнения соответствуют так называемой несимметричной теории упругости [7]. При выводе уравнений (2.2) не учтено естественное кручение осей ребер.
а
в
3. Соотношения упругости. Для вывода соотношений упругости, соответствующих уравнениям (2.1) и (2.2), воспользуемся смешанным вариационным принципом. Запишем условия минимума потенциальной энергии системы ребер, обеспечивая условия статической возможности рассматриваемых состояний введением в функционал энергии условий равновесия (2.1) и (2.2) с помощью множителей Лагранжа, в качестве которых используются соответствующие перемещения и деформации:
г' = Яli
(и2+q2+QL+Ml+Ml+H2 л
B C„ Ct Dn Dt Ds j
+ Lu + L2V + L3W + L4Q a + L5ep) + L69 у + + £a[Na - (Nc2 - Qtsc)/a] + sp[Np - (Ns2 + Qtsc)/a] +
+ £ap[Nap - (Nsc - QtC2)/a] + spa[Npa - (Nsc - Qts2)/a] + (3Л)
+ кa[Ma - (M„c2 - Hsc)/a] + Kp[Mp - (M„s2 + Hsc)/a] + + Kap[Map - (Mnsc + Hc2)/a] + Kpa[Mpa - (Mnsc - Hs2)/a] + + ¥ a (Qa - Qnc/a) + V p(Qp - Qns/a) + и„ (Mщ - Mtc/a) + + Юр (Mpy - Mts/a)} dade
В функционале (3.1) B — осевая жесткость ребра, Сп, Dn, и Ct, Dt — сдвиговые и изгиб-ные жесткости ребра в плоскостях ns и ts (фиг. 2), Ds — жесткость ребра при кручении; операторы L определяются уравнениями (2.2); и, и, w — перемещения элемента оболочки в направлении осей а, в, у (фиг. 3); 9а, 9р, 9у — углы поворота элемента оболочки в плоскостях ау, Ру, ав; ва, вр, вар, вра — деформации срединной поверхности; ка, кр, кар, кра — изгибные деформации оболочки; уа, ур — деформации поперечного сдвига; юа, юр — деформации, связанные с поворотом элемента оболочки вокруг оси у.
Минимизация функционала (3.1) по силам и моментам, действующим в ребре, позволяет получить следующие выражения для этих сил и моментов:
и = B[£ac2 + £ps2 + (£ap + £pa)sc], Qn = Cn (yac + V^) Qt = Ct[(eв - ea)sc + eapc - epas ]
Mn = Dn[Kac2 + кps2 + (кap + Kpa)sc], Mt = Dt (roac + rops)
H = DS[(Kp - Кa)sc + Кapc2 - Kpas2]
Подставляя эти равенства в выражения (2.1) для усилий и моментов, действующих в оболочке, получим соотношения упругости рассматриваемой теории:
И a = B11£ a + B12sp + B13£ ap + B14s pa И p = B21s a + B22sp + B 23s ap + B24spa N ap = B3l£ a + B32S p + B33^ ap + B34^ pa И Pa = B 41s a + B 42s p + B43s ap + B44s pa Qa = C11V a + C12V p , Qp = C21V a + C22V p
Ma = DUK a + D12K p + D13K ap + D14K pa (3.2)
М р = Б21к а + Б22к в + Б23к ар + Б24к ва Мав = В31К а + Яз2К р + Б^К ар + Б^К ра М ва = Б41к а + Б42к в + Б43к ар + Б 44к ва Мау = + ^12®^ , МРу = ^21®а + ^22®р
Входящие в эти соотношения коэффициенты жесткости имеют вид В11 = (Вс2 + С^2)с2/а, В12 = (В - С,)s2с2/а В13 = (В - С,)sc /а, В14 = (Вс2 + С^2)sc/а В22 = В2 + С ,с2/а, В23 = В2 + С ,с 2)sc/a В24 = (В - С,)sЗс/а, В33 = В2 + С,с2)с2/а В34 = (В - С,)s2с2/а, В44 = (Вс2 + С^2)s2/а
Сп = ^с2/а, С12 = С^с/а, С22 = С^2 /а (.3)
Бп = (Бпс2 + Dss2)с2/а, Б12 = ( - Бs)s2с2/а
Б13 = (Бп - Ds)sc3/а, Б14 = (Бпс2 + DsS2)sc/a
Б22 = (БnS2 + БsC 2)s2 /a, Б23 = (БnS2 + БsC 2)sc/a
Б24 = (Бп - Бs)sЗс/а, Б33 = (БnS2 + БsC2)с2/а
Б34 = (Бп - Бs) s2с2/а, Б44 = (Бпс2 + БsS2)s2/а
¿и = Б,с2 /а, ^12 = Б^с/а, ^ = Б^2/а
4. Геометрические соотношения и постановка задачи. Соотношения, связывающие обобщенные деформации с перемещениями и углами поворота, получаются в результате минимизации функционала (3.1) по усилиям, действующим в эквивалентной гладкой оболочке. В результате получим
1 ди , . 1 ди , . , , ^
е „ =---+ А12и + —, Ей =---+ А21и + —
а А1 да 12 Я1 в А2 др 21 Я2
1 ди , Л а 1 ди , , , п
£ав=а да+А12и — , £ра = а дв+А21и
К а = Т^ + А120р, Кр = 1- + А219 а А1 да А2 др
1 д9в 9У 1 д9 9У
Кав = 1 - А129а , кра = -1д9а- А219р (4.1)
А1 да Я1 А2 др Я2
9 _ и 1 дw 9 _ и 1 дм
Я1 А1 да Я2 А2 др
1 59 9р 1 59 9а
Ю„ =--- + —, Юв =--- + —
A1 да R1 e А2 дв R2
а 1 дА1 1 5A2 ,.
А12 =--А12 =--2 (4.2)
А1А2 дв А1А2 да
Таким образом, получена полная система уравнений теории сетчатых композитных оболочек, состоящая из 30 уравнений (2.2), (3.2) и (4.1), которые включают 30 неизвестных функций, т.е. 12 усилий и моментов N, Q, M; 12 обобщенных деформаций б, к, у; три перемещения u, и, w и три угла поворота 9. Система имеет 12-й порядок по переменным а и в и соответственно требует 6 граничных условий для каждого края оболочки. Статические граничные условия для края а = const предполагают задание усилий Na, Nap, Qa и моментов Ma, Map, May. Геометрические граничные условия требуют задания на этом краю перемещений u, и, w и углов поворота 9a, 9р, 9у. Система учитывает специфическую для композитных конструкций деформацию сдвига ребер при изгибе и неклассические эффекты, связанные с поворотом элемента оболочки относительно нормали к ее поверхности.
5. Оболочки, состоящие из системы ребер. Полученные выше уравнения описывают оболочку, образованную одной системой ребер, составляющих угол ф с осью а. Реальные оболочки состоят из нескольких систем ребер. Наиболее сложная из изготавливаемых в настоящее время включает четыре системы ребер с углами ф: = ф, ф2 = —ф, ф: = 0, = 90° (фиг. 4). Особенности структуры отражаются только в выражениях (3.3) для коэффициентов жесткости, в которых ф и a заменяются на ф; и a, жесткости ребер приобретают индекс i и осуществляется суммирование по i. Как правило, в сетчатых композитных оболочках существуют две симметричные системы спиральных ребер с углами +ф и —ф (фиг. 1). Для такой структуры в соотношения (3.3) надо подставить B13 = B14 = B23 = B24 = 0, C12 = 0, D13 = D14 = D23 = D24 = 0, S12 = 0. Для оболочки вращения, состоящей из симметричных спиральных ребер с углом ф, меридиональных (ф = 0) и кольцевых (ф = 90°) ребер (фиг. 4), коэффициенты жесткости (3.3) имеют вид
Bn = ^(B9c2 + Cfs2)c2 + ^, B12 = B34 = -1(B9 - Cf )s2c2
a9 a0 a9
В22 = 2 + С?с 2)S2 + В90, В33 = — (В^2 + Сфс 2)с2 + С°
аф а90 аф ' а0
90
аФ а90
2 о С 0 2 0 С 90
С11 = Спфс2 + ^, С22 = -2- Cnфs2 + Ь-,
аф а0 аф а9
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.