научная статья по теме К ТЕОРИИ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГОГОРБЫХ СОЛИТОНОВ В АКТИВНО-ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ Физика

Текст научной статьи на тему «К ТЕОРИИ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГОГОРБЫХ СОЛИТОНОВ В АКТИВНО-ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2009

УДК 532.59.032

© 2009 г. Е. А. ДЕМЕХИН, Е. Н. КАЛАЙДИН, С. М. ШАПАРЬ, В. С. ШЕЛИСТОВ

К ТЕОРИИ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГОГОРБЫХ СОЛИТОНОВ В АКТИВНО-ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ

Устойчивые локализованные нелинейные когерентные структуры, солитоны, играют ключевую роль в стохастизации процессов в активно-диссипативных средах. В работе исследуются многогорбые трехмерные солитоны модельного уравнения, качественно описывающего волновые процессы в ряде физических систем. Численно показано существование многогорбых трехмерных солитонов и исследовано их поведение. Результаты работы распространены на описание многогорбых солитонов в стекающих слоях вязкой жидкости [1]. Количественно объяснено необычное физическое явление, наблюдаемое в экспериментах [1], — устойчивые двугорбые когерентные структуры на поверхности стекающего вязкого слоя.

Ключевые слова: трехмерный солитон, устойчивость, пленки жидкостей.

1. Слабонелинейные трехмерные волны в средах с дисперсией, диссипацией и подкачкой энергии описываются модельным уравнением [2, 3]

Здесь т — параметр, характеризующий дисперсию, член со второй производной ответствен за подкачку энергии, член с бигармоническим оператором отвечает за диссипацию, нелинейный член передает энергию вверх по спектру. Решение (1.1) типа стационарной бегущей локализованной в пространстве волны, так называемый подковообразный солитон, впервые построено в [3] для важного случая т = 0. При т = 0 (1.1) описывает волновые процессы в стекающем слое вязкой жидкости для очень малых чисел Рейнольдса, (Яе ^ 0). При т ^ да (1.1) переходит в одно из обобщений уравнения КдВ на трехмерный случай. Это уравнение, кроме волн в стекающих вязких слоях, качественно описывает ряд физических процессов: уединенные волны в плазме, волны Россби, сегрегацию магмы в земной мантии, локализованные волны в жидких кристаллах.

Решение уравнения (1.1) в настоящей работе при т = 0 было численно продолжено по параметру т методом [4]. Решение искалось в виде стационарной бегущей волны, затухающей на бесконечности:

(1.1)

д^2 + 2

д2 , д2

2

д = -Сд, Н ^ 0, ^2 + С2

дт д$

(1.2)

На бифуркационной диаграмме (фиг. 1) точке 1 соответствует решение [3], точке 2 — решение типа двугорбого трехмерного солитона, а точке 3 — решение типа солито-на, комбинированного из нескольких структур. Профили волн, соответствующие точ-

Фиг. 1. Бифуркационная т - С -диаграмма многогорбых трехмерных солитонов модельного уравнения

Фиг. 2. Профили трехмерных солитонов, соответствующие точкам 1, 2, 3 на бифуркационной диаграмме (а, б, в)

кам 1—3, приведены на фиг. 2, а их сечения С = 0 — на фиг. 3. Имеется непрерывное множество трехмерных солитонов, начинающееся с подковообразного солитона [3]. Картина напоминает имеющую место для двумерных солитонов [5], однако форма их сечений С = 0 отличается от профилей двумерных солитонов. При движении вдоль бифуркационной кривой от подковообразного одногорбого солитона 1 передняя осцилляция начинает расти по амплитуде и превращается во второй горб, который в

0.6 h 0.4

-0.2

20

20

20

40

60

Фиг. 3. Сечения ; = 0 трехмерных солитонов на фиг. 2

точке 2 становится такой же амплитуды, что и первичный горб. Далее появляется плоский участок между горбами.

При движении вниз по бифуркационной кривой к точке сгущения амплитуда мно-гогорбых солитонов стремится к нулю, плоский участок между двумя горбами расширяется. Прямая m = 0 пересекает кривую существования солитонов в двух точках (1 и 2), соответствующих одногорбому и двугорбому солитонам. Скорость одногорбого солитона C = 0.621, двугорбого — C = 0.602. В случае стекающей по вертикальной поверхности пленки из всего множества солитонов могут реализовываться только два. Качественно они соответствуют наблюдавшимся в [1], но для количественного сравнения с экспериментами необходимо рассмотреть другую систему уравнений.

2. Система, описывающая трехмерные волновые процессы в вертикально стекающих вязких слоях для умеренных чисел Рейнольдса для стационарных бегущих со скоростью с волн, имеет вид [6, 7]

-с д1 + 6Щя1 дх 5 dx i h

6 д Ы = 1

5 dz\h! 55

h — + h - Д.

h J

дх

-с dp + 6 A (£ + 6Щ £_1 = 1

дх 5 5x1 h! 5 dz i h J 55L dz h

дК - p

(2.1)

-cdh + dq + dp = 0, к = дЬ + d_2

дх dx dz

5 =

Re

11/9

,7/9^ 1/3, Y 3 5y ' pv ' g

dx dz.

Re = gh0

4/3^1/3' 3V 2

с краевыми условиями для волн типа солитонов q, h ^ 1, p ^ 0 (x2 + z2 ^ <»)

Здесь слой стекает вдоль оси x, совпадающей с направлением действия силы тяжести, h — толщина слоя, q и p — расходы жидкости в направлениях x и z, S — модифицированное число Рейнольдса, y — число Капицы, Re — число Рейнольдса, а —

0

0

0

x

3

4.6

C

4.2

3.8

3.4

3.0

0

0.04

0.08

8 0.12

Фиг. 4. Бифуркационная 5 - С -диаграмма многогорбых солитонов в стекающих пленках при конечных числах Рейнольдса

коэффициент поверхностного натяжения, р — плотность жидкости, V — ее кинематическая вязкость, g — ускорение силы тяжести.

При 5 ^ 0 решение (2.1) асимптотически переходит в (1.1), (1.2) при т = 0, причем

Решение (2.1) типа одногорбого солитона было получено в [4]. В настоящей работе многогорбые решения (1.1), (1.2) при т = 0 были рассмотрены как предельный случай системы (2.1) при 8 ^ 0 и продолжены па параметру в сторону конечных 8; применялся численный метод [4]. На фиг. 4 в координатах 5 - с показана бифуркационная диаграмма для системы (2.1). Эта диаграмма напоминает полученную в [8] для двумерных солитонов. При 8 = 0.03 скорость и максимальное отклонение от жесткой стенки для одногорбого солитона соответственно с = 3.262, Итах = 1.147, а для двугорбого с = 3.250, Итах = 1.131.

В работе [1] экспериментально исследованы трехмерные локализованные структуры в вертикально стекающих пленках вязкой жидкости. В качестве рабочей жидкости использован спиртовой раствор плотностью р = 931 кг/м3, кинематической вязкостью V = 2.7 • 10 6 м2/с, поверхностным натяжением а = 0.03 кг/с2, у = 404. В частности, было обнаружено необычное физическое явление: двугорбые трехмерные со-литоны, существование которых подтверждено настоящей теорией. На фиг. 5 показано сравнение профилей экспериментально полученного трехмерного двугорбого солитона с теоретическим, Яе = 2.2, что в пересчете дает 8 = 0.03. Экспериментальные скорость и амплитуда волны соответственно с = 102 мм/с, а = 0.03 мм; теоретические — с = 113 мм/с, а = 0.025 мм. Теория не только качественно подтверждает су-

И ~ 1 + 8Н(%, С), д ~1 + Е3а(^, о + е6б2(^, О р ~ е6Р(^, С), £, = ех, с = 3 + Е3С, £=>/158

а

Н

Фиг 5. Профили двугорбого солитона экспериментального (а) [2] и теоретического (б)

ществование многогорбых трехмерных солитонов, но и дает характеристики двугорбого трехмерного солитона, количественно соответствующие эксперименту.

3. В некоторых точках полученное решение меняется довольно быстро, и это вступает в противоречие с принятым для вывода системы (2.1) предположением о длинноволновом характере течения, поэтому полученное решение подставлялось в исходные

уравнения Навье—Стокса, затем уравнения в пространстве ¿2 проектировались на функцию у = 1 (т.е. фактически проводилось усреднение уравнений по поперечной координате). Полученная невязка относилась к инерционным членам уравнения. Наибольшая ошибка имеет место в сечении % = 0, так как там решение меняется наиболее резко, поэтому эта относительная невязка приводится для этого сечения.

На фиг. 6 приведено сечение % = 0 типичного трехмерного одногорбого солитона при 8 = 0.09. В точках 1—6 указанным выше способом подсчитывалась невязка е0. Непрерывная кривая экстраполирована по точкам 1—6. Результаты приведены ниже:

N 1 2 3 4

5 0.001 0.011 0.015 1.09

В точках 1—4 ошибка весьма мала (порядка 1% от инерционных членов), в то время как в зоне коротковолновых осцилляций 5, 6 ошибка имеет порядок инерционных членов и весьма плохо описывает решение. Этот факт известен для двумерных волн [9].

Заключение. Существование двумерных многогорбых солитонов в активно-дисси-пативных нелинейных средах — хорошо известный как экспериментально, так и теоретически факт [5, 8], опирающийся на теорему Шильникова. В настоящей работе

Фиг 6. Типичный трехмерный одногорбный солитон: а — общий вид, б — сечение 7 = 0, в — невязка длинноволнового решения в точках 1—6

теоретически показана возможность решений типа трехмерных многогорбых солито-нов в указанных выше средах. Такие решения численно построены для модельного слабонелинейного уравнения [2], качественно описывающего волновые процессы в ряде физических систем. Теоретический анализ обобщен для количественного описания наблюдавшихся в экспериментах [1] многогорбых трехмерных солитонов на поверхности стекающей пленки жидкости. Получено количественное соответствие эксперименту.

Работа частично финансировалась грантами РФФИ (№ 05-08-33585, № 06-08-96637)-р_юг_а, № 06-01-96647-р_юг_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеенко С.В., Атипин В.А., Гузанов В.В., Маркович Д.М., Харламов С.М. Стационарные уединенные трехмерные волны на вертикально стекающей пленке жидкости // Докл. РАН. 2005. Т. 405. № 2. С. 193-195.

2. Toh S., Iwasaki H., Kawahara T. Two-dimensionally localized pulses of a nonlinear equation with dissipation and dispersion // Phys. Rev. A. 1989. V 40. №9. P. 5472-5475.

3. Петвиашвили В.И., Цвелодуб О.Ю. Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238. № 6. С. 1321-1323.

4. Калайдин Е.Н., Власкин С.Ю., Демехин Е.А., Каллиадасис С. О трехмерных солитонах в стекающей пленке жидкости // Докл. РАН. 2006. Т. 406. № 1. С. 44-46.

5. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. К теории солитонов в системах с диссипацией // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 3. С. 91-97.

6. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 1. С. 43-51.

7. Демехин Е.А. Шкадов В.Я. О трехмерных нестационарных волнах в стекающей пленке жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5. С. 21-27.

8. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости // Вест. МГУ. Сер

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»