К ТЕОРИИ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ НА ДВУМЕРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Б. Я. Балагуров*
Институт биохимической физики им. Н. М. Эмануэля Российской академии паук
1193:Ц, Москва, Россия
Поступила в редакцию 8 сентября 2011 1".
Предложена теория рассеяния частиц малой энергии Е на двумерном потенциале произвольной величины. Для решения соответствующей задачи использовано разложение по системе собственных функций с нулевой энергией. Найдены явные выражения для амплитуды ¿¡-рассеяния и для уровней слабосвязанных л-состояний. Полученные общие формулы иллюстрируются точно решаемым примером.
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение разнообразных физических явлений, связанных с поверхностями [1], привело к необходимости решения квантовомеханических задач в двух измерениях. Одной из них является задача об упругом рассеянии частиц на двумерном потенциале. Эта проблема с различных точек зрения рассматривалась в работах [2 6]. Фазовая теория упругого рассеяния частиц применительно к двумерному случаю предложена в работе [2]. Другие вопросы общего характера наличие полюсов в амплитуде рассеяния, их связь с дискретными уровнями энергии, двумерный аналог теоремы Левинсона и т. д. обсуждались в работах [3 6].
Задача о рассеянии медленных частиц на двумерном аксиально-симметричном потенциале рассматривалась в книге [7]. Приведенное в [7] выражение для амплитуды «-рассеяния /о дает функциональную зависимость величины /о от энергии при к Я -С 1 (Я радиус действия потенциала). В это выражение входит некоторая феноменологическая константа, которую следует определять, решая уравнение Шредингера при нулевой энергии. В работе [8] такая задача была решена для «слабого» потенциала с помогцыо теории возмущений, что позволило найти в этом приближении явное выражение для амплитуды «-рассеяния. Кроме того, для энергии слабосвязанного «-состояния в [8] была получена формула, уточняющая известную порядковую оценку [7]. В [9] результаты работы [8] обобщены на слу-
Е-таП:Ьа1ар;иго\гйч1еот.chph.ras.ru, byabalagurovifflmail.ru
чай слабого двумерного потенциала, не обладающего аксиальной симметрией.
В настоящей работе феноменологическая константа, входящая в выражение для амплитуды «-рассеяния медленных частиц, найдена для акси-алыго-симметричного потенциала произвольной величины. Для решения уравнения Шредингера при е = 0 применен подход, основанный на квантовании амплитуды потенциала см., например, [10], где этот метод достаточно подробно рассмотрен для одномерного случая. (Сходный, но более формальный подход был предложен в работах [11 13]. В то же время проблемы, затронутые в [10] и в настоящей работе, в [11 13] не рассматривались.) В данной работе сначала исследуются основные свойства двумерных собственных функций С„(р) при нулевой энергии. Решение уравнения Шредингера при е = 0 ищется с помощью разложения волновой функции по системе {Сп.(/?)}• В результате упомянутая выше феноменологическая константа (и, следовательно, амплитуда «-рассеяния /0) выражается через характерные для данного потенциала параметры.
В работе найдены также явные выражения для уровней энергии еп слабосвязанных «-состояний вместе с предэкспоненциальными множителями. В согласии с [3] оказывается, что, как и в трехмерном случае, амплитуда рассеяния /о имеет полюсы при е = еп. Для проверки справедливости общих формул рассмотрен точно решаемый пример двумерная квантовомеханнческая система с «прямоугольным» потенциалом. В этом случае могут быть найдены как точные выражения для амплитуды рассе-
2 ЖЭТФ, выи. б
1041
яния н уровней энергии связанных состояний, так и система собственных функций {С,?.(р)}- Показано, что для этого потенциала результаты, полученные в рамках двух разных подходов, совпадают.
2. СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ Е = О
Рассмотрим двумерную квантовомеханнческую систему частицу в поле потенциала U(p). Представим потенциальную энергию в виде U(p) = u°v(p), где u° амплитуда потенциала, а безразмерная функция v(p) задает его форму. Стационарное уравнение Шредингера для частицы с энергией е запишем в виде
Ч2ф(р) + еф(р) = ас(р)ф(р), (1)
где е = ъпе/h2, a = 2mu0/fi2. При стандартном подходе [7] в качестве объекта квантования выбирается энергия. Для потенциала притяжения (а < 0) при этом определяются (если они есть) уровни энергии £t, связанных состояний. В этом случае полную систему образует совокупность волновых функций дискретного (е < 0) и непрерывного (е > 0) спектров.
Возможен, однако, альтернативный подход, когда квантуется амплитуда потенциала см., например, [10], где рассмотрен одномерный случай. Соответствующие собственные функции fv{p) регулярны и удовлетворяют уравнению
V'V,(p) + £<рЛр) = av<-'(p)w(ph (2)
где at, собственные значения. Величины Çi,(p) и at, зависят от энергии: = ip„(e;p) и = а:„(е), причем < 0 при е < 0. Система функций {çt,(p)} ортонормирована согласно соотношению
j¥,1 (Р) Ч?Лр) НР) dp = ¿AW, (3)
где 4>tl{p) и 4>t,{p) относятся к одной и той же энергии.
Для потенциала притяжения (а < 0) уровни энергии связанных состояний ev = £t,{n) определяются нз уравнения
а:„(е) = а. (4)
Волновая функция i'i'ÎPЬ отвечающая уровню энергии выражается через <pv(p) при е = (см. [10]).
Предполагается, что система {^/(р)} образует полный набор, так что выполняется соотношение полноты в виде
V(p) 5>„(р)^(р')=*(р-р'ь (5)
и
где функции 4>i,{p) и tpv{p') относятся к одной и той же энергии.
Рассмотрим более подробно свойства собственных функций «-состояний в аксиалыго-симметрич-ном потенциале v(p) = v(p) при пулевой энергии. Не зависящие от угла функции С,?(р) = <А?.(0\р) регулярны и удовлетворяют уравнению
C(p) + ^-C(P) = a,?KP)G(P)) (6)
г
где А„ = а„(0) ^ 0 соответствующие собственные значения. На функции С,?(р) наложим условие рСп(р) 0 при р —¥ ос. В этом случае функции Сп(р) и Ст(р) будут ортогональны с весом v(p), если А„ ф А т . Поэтому соотношение ортонормированно-сти системы { G? (Р)} в отсутствие вырождения имеет вид, аналогичный (3):
ОС
j Qi{p) Cm (р) t'(p) pdp = Snm. (7)
0
При p R, где R радиус действия потенциала (см. формулу (10)), в уравнении (6) можно пренебречь правой частью. Решением получившегося уравнения, удовлетворяющим условию рСп(Р) ~~^ 0 при р —¥ ос, является С„(р) = const, так что
Них С„Ы = й(ос)^0. (8)
р—> ОС!
Собственные значения А„ определяют критические значения амплитуды потенциала = = (Н2/2т)Хп, при которых по мере углубления ямы возникают новые уровни с нулевой энергией связи. В двумерном случае связанное состояние существует в сколь угодно слабом потенциале притяжения. Поэтому одно нз собственных значений (припишем ему номер п = 0) при е = 0 равно нулю. Соответствующая собственная функция сводится к постоянной величине: Со(р) = Со = const, так что
п = 0: Ао = 0, Со = (9)
Здесь R определяется как
оо
R2 = 2 jv(p)pdp. (10)
"о
Остальные собственные значения отличны от нуля и, как отмечалось выше, отрицательны.
Умножим обе стороны уравнения (6) на рйр и проинтегрируем от 0 до ос. В результате, с учетом условия рСп(р) 0 ПРИ Р ос, получим
ОС
пф 0: 1<;„(р)г(р)р<1р = 0. (11)
"о
Это равенство, согласно соотношению (7), является также следствием ортогональности собственных функций Со и Сп(р) при п ф 0. Введем функцию Грина
С0(р, р' )=в(р- р') In р + 9{р' - р) In р', удовлетворяющую уравнению
ff2Gq (р, р') 1 дСо(р, р') 6(р - р')
др2
р др
р
(12)
(13)
В формуле (12), как обычно, в(х) = 1 при х > 0 и в(х) = 0 при .г < 0. Функция Грина (12) симметрична по своим аргументам: Со(р-р') = Со(р'-р)- С помощью функции Со(р.р') дифференциальное уравнение (6) обычным образом приводится к интегральной форме:
ир) = й(ос) + А„ I Со(р,р'Кп(р') '<(р')р<¥. (14) "о
Как и в случае е ф 0, предполагаем, что система собственных функций {С,? (Р)} полна. Это позволяет провести разложение произвольной функции /(р) по этой системе:
}\р) = £ фф (р) = СоСо + £ С„й (р), (15)
п п> О
оо
Сп = Iпр) Сп(р) г(р) рйр, и = 0,1,2,... (16)
"о
Умножим уравнение (6) при п ф 0 на А~1/(р) рйр и проинтегрируем от 0 до ос. В результате после двукратного интегрирования по частям получим
оо
пф 0: Сп = ^~1 [йЫ-й(ос)] х "о
X [р/"(р) + /'(р)]ф. (17)
При выводе (17) считалось, что проинтегрированные выражения равны нулю, что может накладывать определенные ограничения на поведение функции /(р) при р —¥ 0 и р —¥ ос.
ем
Для функции f(p) = Go(p.p') согласно (13) име-pf"(p) + f'(p) = 6(p-p'h
так что
пф 0: С„ = [Сп(р') — й(ос)]. (18)
Л П.
Поэтому для функции Грина получаем следующее разложение:
Go(p,p') = $ / G0(p'j)v(t)tdt
Y,Up,);Uoc)up). (i9)
Ля
п> О
Поскольку Go(p-p') lnp при р' —¥ р, из (19) находим
оо
In/) ц! I G0(pJ)v(t)tdt + "о
+ Y^ [с»(р) - С»(оо)] Сп{р)
в> О
Ал
Умножим (20) на v(p) pdp и проинтегрируем по всем р. В результате с учетом (7) и (11) получим «правило сумм»
В=1
А,,
L
Ti
R2
L.
(21)
где
In v(t)tdt
v(p) pdp (22)
безразмерная константа (L ~ 1). При выводе (21) использовано соотношение
G0(pJ)v(t)tdt
v(p) pdp =
оо
= L + (2 I lntv(t)tdt (23)
с L из (22).
Для функции
f(p)= / G0(p,t)v(t)tdt
имеем
p.f"(p) + Г(Р) = v(p)p,
так что Сп = 1(,п(оо)/Со ПРН п Ф 0- Поэтому в этом случае получаем следующее разложение:
Go(.sJ)v(t)t(lt
(25)
п>0
При р = 0 из (25) с учетом равенства (23) следует еще одно «правило сумм»
ОС
( г ■■лг ■ *
(26)
^ С»(0)С»(оо) = ь
п=1
Ал
с Ь из (22). Соотношения (21) и (26) могут использоваться для проверки правильности вычисления величин А„ и Сч(р)-
3. АМПЛИТУДА з-РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим рассеяние плоской волны е'кх на двумерном аксиально-симметричном потенциале. Соответствующая волновая функция ф(р) подчиняется уравнению (1) с е = к2 и и(р) = и(р). Для медленных частиц (к Я -С 1) существенно только «-рассеяние [7]. В этом случае в области расстояний р И , когда в уравнении (1) можно пренебречь правой частью, волновая функция имеет вид (см. задачу .X1'7 к § 132 книги [7])
ф = е
/ /. :г
(27)
где /о искомая амплитуда «-рассеяния, Я¿1^(г) функция Ханкеля. При малых г для Н^^г) имеем
7Г 21 '
(28)
где 1п7 = С = 0.577... постоянная Эйлера, так что при кр -С 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.