ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2011, том 37, № 3, с. 233-241
ДИНАМИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.9.01
К ТЕОРИИ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ. 1. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОН-ИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И ПРАВИЛА СУММ © 2011 г. В. Б. Бобров
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва, Россия Поступила в редакцию 09.04.2010 г. Окончательный вариант получен 24.08.2010 г.
В рамках концепции псевдопотенциала электрон-ионного взаимодействия дано строгое описание диэлектрической проницаемости е (ю) полностью ионизованной плазмы в области частот ю > Vе1, где V е1 — характерная частота электрон-ионных столкновений. При этом последовательно учтены эффекты взаимодействия и вырождения в электронной и ионной подсистемах. Найдены асимптотики для эффективной частоты столкновений v(ю) и функции перенормировки у (ю) плазменной частоты, установлены правила сумм для диэлектрической проницаемости е (ю).
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время возрос интерес к исследованию высокочастотной диэлектрической проницаемости (ДП) плазмы б (ю). Это обусловлено двумя обстоятельствами. С одной стороны, имеются экспериментальные данные по исследованию отражения электромагнитных волн от неидеальной плазмы, полученной в установках по ударному сжатию вещества (см., например, [1, 2] и цитированную там литературу). Теоретическому исследованию этих данных посвящено большое количество работ (см. [1—7] и цитированную там литературу). С другой стороны, активно развивается молекулярно-динамическое исследование классической двухкомпонентной плазмы (Classical Two Component Plasma — CTCP), берущее начало с работы [8]. Особенный интерес вызывает область частот ю в окрестности плазменной частоты юp [8—12]. При этом высокочастотную ДП б (ю) для частот поля ю > vei, где vei — характерная частота электрон-ионных столкновений, можно представить в виде [13, 14]
в(ш) = 1 -4(l + YH - , (1)
ю V ю !
где юp — плазменная частота, действительные функции у (ю) и v(®) определяются электрон-ионным взаимодействием (см. ниже). Величина y (ю) "перенормирует" массу электрона в определении плазменной частоты юp, а величина v(®) имеет смысл эффективной частоты электрон-ионных столкновений в плазме.
Вместе с тем теоретическое исследование высокочастотной ДП е (ю), практически полностью сосредоточено на вычислении эффективной частоты столкновений v(ю), в то время как анализу функции Y (ю) не уделяется должного внимания. При этом значение величины у (ю) может оказать существенное влияние как на результаты исследования оптических свойств плазмы, особенно в окрестности плазменной частоты ю р, разделяющей в проводнике зоны отражения и поглощения, так и при анализе спектра плазменных колебаний в СТСР. Кроме того, исследование функции Y (ю) имеет общетеоретическое значение. Как видно из (1), величина Y (ю) определяет высокочастотное разложение действительной части ДП
Яе б (ю) по степеням ю 2 (так называемое "мо-ментное" разложение). В [15—17] авторы обратили внимание, что в системе с кулоновским взаимодействием "моментное" разложение ограничено тремя членами. Остальные члены такого разложения "расходятся". Поэтому в настоящей работе проведен анализ функции Y (ю), которая имеет большое значение, особенно в области высоких частот ю. На основе этого анализа дано строгое обоснование правилам сумм для ДП е (ю) полностью ионизованной плазмы. Использование при выводе концепции псевдопотенциала электрон-ионного взаимодействия позволило точно учесть межионное и межэлектронное взаимодействие при произвольном вырождении.
1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И НЕКУЛОНОВОСТЬ ЭЛЕКТРОН-ИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В рамках теории линейного отклика частотная дисперсия ДП б (ю) для двухкомпонентной плазмы, состоящей из электронов (индекс е) и ионов (индекс /), определяется соотношением [18]
В (ш) = 1 -4 - 4 , (2)
ю2 ю 4пв2 ( 1 Zi
* (z) = l^l - -х
3V l me ,
ю
2
(3)
X L^ßlq2Uei (qi)Uei (?2)Л^ (Qi,Q2,Z) ,
q1 *=0q2 #0
ЛeiiQb q2, Z) = ^((v^iK^h))z , (4)
((A\B))z = -i Jexp(izt){[A(t),B(0)])dt,
ю p =
Z
V a
4nzle 2n,
\ 1/2
(5)
ma
q^0
. 4ne ' 3V
■1 - ^ I (nanb)1/2 Zq2^ (q)^ (q) - (0). m m,) ^
q*0
Определения (4)—(6) следует понимать в термодинамическом пределе: V ^ да, (Na)^ да, na = (Na)/V = const, где Na — оператор полного числа частиц сорта а. Подчеркнем, что соотношения (2)—(6) являются точными.
На мнимой оси при hz = iOn, Qn = 2nnT запаздывающая функция Грина Ле1 (qb q 2, z) совпадает с соответствующей температурной (индекс T)
функцией Грина Лт (, q2, Ю.„) (это обычная процедура для последующего применения температурной диаграммной техники теории возмущений [20])
ЛI( q2, ) = ((< ^К^)) 1Пп ■ (7)
Вычисление функции Лт (7) основано [21, 22] на разложении по параметру V е/ /ю. В высокочастотном пределе Vе1 /ю <§ 1 при вычислении функ-
т
ции Ле/ (14) достаточно ограничиться первым
членом такого разложения, который отвечает
т
учету в функции Лег вклада только "несвязных" диаграмм, которые не соединены между собой "линиями взаимодействия". Тогда
Лт (, ъ 2, гП „) =
= Т^ХТе (, г(Пп + ат) Хи (, гат)
-Q2
TZTi (qi, i(Qn + а m )XTie (qi, ia m ) S
(8)
qi,Q2'
где uab (q) — фурье-компонента потенциала взаимодействия частиц сортов a и b (см. ниже),
a V + +
«q = ap-q/2,a 0>+q/2,a, V и apa - опеРатоРы Рождения и уничтожения заряженных частиц сорта a с импульсом йр и спиновым числом а, угловые скобки (...) обозначают усреднение в большом каноническом ансамбле для КС из заряженных частиц различных сортов, которые характеризуются зарядом zae, массой ma, химическим потенциалом ц a и средней плотностью числа частиц па, так что выполняется условие квазинейтральности
^ zaena = 0. Здесь m° — так называемый второй
момент высокочастотного разложения ДП s (ю), совпадающий с длинноволновым пределом второго момента m2 (q) продольной ДП & (q, ю) [19],
m2° = lim m2 (q) =
(6)
am =2nmT, m = 0,+1,...,
lit (qi, i&n) = V{{n^)}in - температурная
функция Грина "плотность—плотность" для частиц сортов а и b. Подставляя (8) в (4), находим
где
У №n ) = -
4ne
-L - ^ I t x
m„
mi
х X 92 К (я)2 {Хее (, К^п + «т) ХТ (, ) -ат 4 ' (9)
(я, + а
т ) Хг'е
В свою очередь, для функции х1ь (я, г^п) можно записать уравнение (см., например, [23]), связанное с выделением неприводимых по одной линии взаимодействия иаЬ (я) в "я-канале" частей, называемых парциальными поляризационными операторами П аЪ (я, &п),
ХаЪ (Я, '^п)=ПаЪ (Я, /^п) +
+ (я, /°-п )иса (я) ХМ (я, /&п ) • (10)
ей
Для двухкомпонентной плазмы из системы уравнений (10) следует (а Ф Ъ)
Хаа = Б-1 {П^^ — иъъ (я)(ПааПъъ -ПаъПЪа )} , (11)
ХаЪ Б аЪ
+ иаЪ (я)(П
аа
П ЪЪ П аЪП Ъа )} ,
(12)
где б (я, /О.«) — диэлектрическая проницаемость двухкомпонентной плазмы
Е = 1 - ХУаьПъа - (и^ - ^е^)(ПееПЙ - Пе/П/е) • а,Ъ
a
0
a
Здесь необходимо сделать важное замечание. Если рассматривается двухкомпонентная плазма, состоящая из точечных электронов и ионов, последнее слагаемое в соотношении (13) обращается в нуль в силу равенства
ыЦд) - иее (д)ии (д) = 0, иаЬ (д) = . (14)
д
Однако такое рассмотрение в реальности возможно только для плазмы при очень высоких температурах, когда под зарядом иона понимается заряд соответствующего ядра. В большинстве случаев речь идет об электрон-ионной плазме, состоящей из "обобществленных" валентных электронов "верхних оболочек" атома и ионов, представляющих собой ядро с локализованными на нем электронами "внутренних оболочек". Тем самым электрон-ионное взаимодействие не сводится к чисто кулоновскому взаимодействию (14), так как необходимо учитывать "внутреннюю" структуру иона. Это может быть сделано путем введения в рассмотрение "форм-фактора" иона (д) (по аналогии с форм-фактором атома, вводимого при рассмотрении рассеяния быстрых электронов на атоме [24]),
F
] (q) = jn (г) exp (—iqr) dr, lim Ft (q) = 0,
lim F (q) = zc - Zi,
q^0
(15)
где ne (r) — плотность электронов "внутренних оболочек", локализованных на ядре с зарядом zce. Тогда согласно (15) потенциал взаимодействия uei (q) "обобществленных" электронов с "неточечными" ионами имеет вид
uei(q) = - Zi (q) = zc - F (q),
q (16)
lim Zi (q) = zc, lim Zt (q) = zt.
q—ю q —>0
Таким образом, потенциал электрон-ионного взаимодействия носит чисто кулоновский характер при предельно малых и предельно больших значениях волновых векторов q. Обратим внимание, что переход в "эффективном" заряде иона Zj (q) от заряда иона zt к заряду ядра zc осуществляется при значениях волновых векторах q > a-1,
где a0 = й2 /mee2 — радиус Бора. Поэтому в большинстве практически важных случаев достаточно ограничиться разложением величины Zt (q) (16) по малым волновым векторам q. Тогда потенциал электрон-ионного взаимодействия uei (q) можно представить в виде
4nz-e2 2
Uei (q) =--2~ + ^ei, 9ei = 2^,4 R, (17)
где величина Я имеет смысл радиуса иона как "неточечной" заряженной частицы, представляющей собой ядро с локализованными на нем электронами "внутренних оболочек". Такой подход к описанию электрон-ионного взаимодействия для "обобществленных" электронов нашел широкое распространение в теории жидкометал-лической плазмы в рамках концепции псевдопотенциала (см., например, [25]). При этом некуло-новская часть взаимодействия фе;- оказывает существенное влияние на значения как термодинамических, так и кинетических свойств (это прекрасно видно из необходимости учета последнего слагаемого в соотношении (13)). Концепция псевдопотенциала электрон-ионного взаимодействия имеет важное значение и с точки зрения обоснования применения теории возмущений по электрон-ионному взаимодействию (идея малости псевдопотенциала основана на ортогональности волновых функций электронов в "локализованных" и "делокализованных" состояниях и носит общий характер [26—28]). Учет не-кулоновости электрон-ионного взаимодействия играет еще более существенную роль при рассмотрении классической двухкомпонентной плазмы (СТСР), которая активно исследуется методами Монте-Карло и молекулярной динамики [8—12]. Для предотвращения коллапса кулонов-ской системы принципиальную роль играет фер-миевский характер статистики хотя бы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.