МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 533.95
К УСКОРЕНИЮ УДАРНЫХ ВОЛН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2014 г. А. Н. ГОЛУБЯТНИКОВ, С. Д. КОВАЛЕВСКАЯ
МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва e-mail:golubiat@mail.ru, ks-147@mail.ru
Поступила в редакцию 24.03.2014 г.
Дано точное решение уравнений магнитной гидродинамики с плоскими волнами, описывающее твердотельное движение идеально проводящего газа в заданном однородном гравитационном поле. Движение вызвано воздействием поршня, создающего ударную волну, распространяющуюся по начальному состоянию равновесия с падающей плотностью. Решение содержит одну произвольную функцию лагранжевой переменной, выбор которой влияет на картину движения.
Ключевые слова: гравитационное поле, магнитное поле, ударная волна, ускорение.
Процессы ускорения ударных волн за счет падения начальной плотности могут иметь место как в атмосферах звезд, так и планет, подвергающихся локальному нагреву или ионизации. Этот эффект в рамках газовой динамики был обнаружен Л.И. Седовым [1] при решении задачи о сильном взрыве в среде с переменной плотностью в отсутствие противодавления. С другой стороны, с учетом начального постоянного давления падение плотности автоматически приводит к повышению скорости звука и, следовательно, скорости ударной волны, т.е. создаются условия к потере инерционности среды, неустойчивости и развитию различных динамических процессов.
Можно привести простейший пример точного решения задачи о поршне, начинающем двигаться с постоянной скоростью в газе без противодавления, который создает ускоряющуюся ударную волну при определенном законе падения равновесной начальной плотности [2, задача 25.37]. В более реальной ситуации необходимо учитывать эффекты влияния противодавления, электромагнитного и гравитационного полей, а также теорию относительности. Точные решения такой задачи в рамках специальной и общей теории относительности, но без противодавления, даны в [3], с противодавлением в специальной тории без гравитации анонсированы в [4], с учетом вмороженного поперечного магнитного поля и противодавления в ньютоновской механике, но без гравитации — в [5, 6], в линейной постановке — в [7, 8]. Общий обзор ранних работ можно найти в [9]. Исследование класса автомодельных задач без магнитного поля со степенным падением начальной плотности дано в [10].
При этом был обнаружен эффект "обострения" [5, 6], когда ударная волна уходит на бесконечность за конечное время, связанный с неограниченным ростом скорости звука перед ударной волной. В рамках теории относительности состояние с бесконечной температурой вообще достигается за конечное время на конечном расстоянии от начала движения [4].
Решение строится методом обратной задачи [11]. Если решения впереди и сзади ударной волны имеют, по крайней мере, две произвольные функции одной переменной, то они вместе с законом движения ударной волны определяются тремя условия-
ми на разрыве. В данной работе исследуется случай твердотельного движения среды с вмороженным магнитным полем, что позволяет в целом построить решение еще с одной произвольной функцией лагранжевой переменной, поведение которой существенно влияет на движение.
1. Уравнения и условия на разрыве. Рассматривается класс решениий одномерной задачи с плоскими волнами и вмороженным поперечным магнитным полем в рамках ньютоновской механики. Процесс — адиабатический, газ — совершенный. Используется лагранжева координата £.
Пусть х© Г) — закон движения среды, £ = х© 0), и = х( — скорость, р = р0©/х^ —
плотность, р = /©ру — давление, у — постоянный показатель адиабаты, Н = Н 0©/х ^ —
магнитное поле, д = Н /(8л) — магнитное давление, постоянная g — гравитационное поле. Далее везде предполагается 1 < у < 2. Индексы t, £ означают частные производные, нулем отмечено начальное состояние магнитного поля.
Тогда уравнение движения имеет вид [12]
На разрыве отсутствие в природе магнитных токов приводит к непрерывности функции Но©, в то время как функция /©, связанная с распределением энтропии, растет. Кроме того, на ударной волне выполняются условия непрерывности закона движения и сохранения потоков массы, количества движения и энергии.
Удобно ввести непрерывную массовую переменную ш© уравнением = р 0. Тогда условия на поверхности разрыва t = ts(ш) имеют форму
где квадратные скобки обозначают разность величин в состояниях: 1 — за ударной волной и 0 — перед ней. Движение газа создается поршнем с фиксированной координатой ш = 0 и заданным законом движения хр(() = х(I, 0). Перед ударной волной предполагается равновесие газа
где Ш(Ю — полная масса газа, д0(ш) и х0(ш) — произвольные функции. Магнитное поле при ш = Ш(Ю, где р0 = 0, предполагается ограниченным.
2. Одно решение без гравитации. Для понимания роли гравитации можно рассмотреть решение уравнений (1.1), (1.2) при g = 0, обладающее эффектом обострения.
Перед ударной волной р0 + д0 = В0. За ударной волной имеет место движение с однородной деформацией
Р 0и + (Р + д\ + Р 0 g = 0
(1.1)
[х]0 = 0, [и - (р + д)^0 = 0
(1.2)
Р0 + 90 = g(m„ - м) + д0(ш„) = В0 - gш
(1.3)
х = р = ^,
и 7
(2.1)
Тогда на разрыве
(2.2)
После исключения р0 и и получается квадратное уравнение для и' = ), которое дает дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
1 йи
и й1.
р ($,) 1 - )
(2.3)
т = -
У-1
2С2(2 -у)
(у + 1С + С + В£
2(у -1)17-1 21 2
(у + 1)С + С + Во1 21 2
2(у-1)1'
^ + 2(2 -у)С2 Г(у + 1)Во + С + С^ У-1 I у-1 1 12
1/2
Легко найти корень уравнения 1 - гр(г) = 0, когда и' = 1/1*. Из уравнений (2.2) следует
п С1 С2 _ п
во - — —2 = 0
При этом за конечное 1* ударная волна уходит на бесконечность со скоростью звука, которая, в свою очередь, стремится к бесконечности.
Режим с обострением имеет место и без магнитного поля, когда С2 = 0, р^ = Су, р0 = В0 постоянно. В этом случае уравнение (2.3) полностью интегрируется
и = 1 = и0 р1 - р0'0 [ к 1
1/у
Р1 - Р0^] V10 )
где и0 > 0 и 10 > 0 — скорость и время начала движения поршня, так что лагранжева переменная £ отсчитывается от точки и010 > 0. В окрестности ^ = да начальная плотность
Р 0 =
(Р1 - Р0?! К
иЦ
(Р1 - Р0?!)4 ~
Таким образом, полная масса конечна. По мере движения скорость ударной волны вместе с начальной скоростью звука а0 = (ур0/р0)1/2 стремятся к бесконечности как Е,2.
Работа поршня
А = ^ -) у-1
(2.4)
также конечна.
Формула (2.4) показывает, что работа поршня может быть малой, но существенной как катализатор развития процесса ускорения ударной волны, поскольку в начальном состоянии перед ней даже при малом p0 имеется бесконечное "море" энергии. Ясно, что решение задачи является модельным, но физически это может быть реализовано как механизм локальной потери устойчивости равновесия горячего газа.
Такого рода решение (2.1) с учетом гравитации (1.1) при равновесном начальном состоянии (1.3) вообще невозможно. Аналогом может служить закон движения вида
х = -1/2 2 +
(2.5)
который показывает, что за ударной волной частицы газа с течением времени начинают падать в сторону источника гравитационного поля. При этом существенно меняется и вся картина движения.
3. Влияние гравитационного поля. Закон движения (2.5) приводит к довольно сложному уравнению первого порядка, решение которого исследуется качественно. Но можно построить и более простое точное решение, причем с одной произвольной функцией лагранжевой переменной m, предполагая движение газа за ударной волной
2
твердотельным: x = at /2 + u(m), а p и q — функциями m. Тогда из уравнения движения (1.1) следует
p + q = B - (a + g)m, p = q = ^ (3.1)
u u
где By = const. С учетом (1.3) имеются четыре произвольные функции массы m: Л0, u, q0 и ts, три из которых определяются условиями на разрыве (1.2), а одна остается произвольной. Закон сохранения потока импульса сразу интегрируется и дает
ts = --(12)
By - B0 - am
где C = const. Если предположить, что B1 = (a + g)m„ + q0(m„), то давление p(ma3) = 0 вместе с начальным давлением p0 (расчетный режим). Магнитное поле при этом выравнивается. При меньших B1 ударная волна даже за бесконечное время не доходит до края слоя газа, фактически останавливаясь. При больших B1 происходит распад произвольного разрыва на границе слоя, толщина которого конечна. Тогда постоянная C = t0am„, где 10 — время начала движения поршня. Если выбрать единицы измерения как g = 1, = 1, t0 = 1, то ts = 1/(1 - m).
Условие непрерывности потока энергии может быть преобразовано к сохранению обобщенной энтальпии
п1
= 0 (3.3)
(D - и)2 + YP + 2q
(Y - 1)Р Р
где Б = йх 0/Л = х 0 / ^ — скорость движения разрыва.
Соотношение (3.3) линейно относительно q0, поэтому после некоторых преобразований с учетом интеграла (3.2) оно может быть приведено к равенству
q0D = - 1
/.
D
--a
ts
Л
V-111a -y-yq0(1)ts (3.4)
ts 2 У
2-У
с ограничением q0 > 0.
Отсюда следует асимптотика скорости ударной волны при t ^ да
Б = 2уд0 (1 У2 (3.5)
После задания функции Щ) с данной асимптотикой, с помощью интеграла (3.2),
равенства (3.4) и непрерывности закона движения х0 = /2 + и находятся все остальные функции.
4. Примеры течений. Можно рассмотреть несколько примеров. а. Пусть магнитное поле вообще отсутствует. Тогда
Б = (^ а + г) t
/у +1 \ 1 р
х0 = (^Т" а + У)-2
2 /2(1 - ш)2
Аддитивная постоянная опускается. Откуда следует, что начальная плотность р0 = ш^ ~ 3/2.
В этом случае даже при сколь угодно малом ускорении поршня а ударная волна уходит на бесконечность с ускорением у в единицах g.
б. Пусть начальное магнитное давление постоянно = ^0(1). Тогда скорость Б определяется большим решением квадратного уравнения (3.4). Использование главного
2
члена асимптотики (3.5) Б « 2д01 дает
х „ 2?0?3 _ 2?0
х0 ~ „ --3
3 3(1 - т)3
Начальная плотность р0 « (2д0/81)1/3/3.
в. Можно рассмотреть при больших ? и "дрожание" ударной волны, когда Б = = 2д0(1)?2 + АБШ(ю/0.
При этом необходимое магнитное давление определяется равенством (3.4) с заменой = (1 — да)-1.
Заключение. На простых примерах, связанных с построенным классом точных решений уравнений магнитной гидродинамики, отвечающи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.