ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 5, с. 12-25
УСТОЙЧИВОСТЬ
УДК 629.78
К УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ УГЛОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПРОДОЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ © 2013 г. Д. К. Андрейченко, К. П. Андрейченко, В. В. Кононов
Саратов, Саратовский государственный ун-т, Саратовский государственный технический ун-т Поступила в редакцию 23.07.12 г., после доработки 17.01.13 г.
Проведено исследование влияния продольного ускорения на устойчивость дискретно-континуальной модели одноканальной системы угловой стабилизации с запаздывающим аргументом упругого вращающегося стержня. Развиты методы построения областей асимптотической устойчивости и анализа импульсных переходных функций рассматриваемой комбинированной динамической системы, уравнения движения которой проанализированы на основе численных методов и методов асимптотического интегрирования. Определены критические значения продольного ускорения.
Б01: 10.7868/80002338813030025
Введение. Известна теория полета неуправляемых абсолютно жестких тел [1]. В работе [2] сформирована дискретно-континуальная механическая модель одноканальной системы угловой стабилизации с запаздывающим аргументом в виде вращающегося вдоль продольной оси упру-говязкого стержня, на концах которого закреплены абсолютно жесткие тела. Было показано, что при умеренном значении продольного ускорения после приведения к безразмерным переменным и параметрам из уравнений изгибного движения стержня исключаются силы, обусловленные продольным ускорением. При этом удалось развить известные методы [3] теории систем стабилизации с запаздывающими аргументами упругодеформируемых конструкций применительно к одноканальной системе угловой стабилизации (ОСУС) [2]. Однако до последнего времени не исследовано влияние продольного ускорения на области асимптотической устойчивости и импульсные переходные функции ошибок данной одноканальной системы стабилизации, а также не определены критические значения продольного ускорения. Эта задача проанализирована в настоящей работе на основе численных методов [4] и методов асимптотического интегрирования [5].
1. Дифференциальные уравнения движения дискретно-континуальной модели. Пусть вязкоупру-гий однородный стержень, на концах которого закреплены абсолютно жесткие тела 1 с массой т1 и 2 с массой т2 и центрами масс соответственно 01 и 02 (рис. 1), вращается относительно продольной оси с угловой скоростью О и движется вдоль оси z0 с заданным ускорением под действием силы, приложенной к телу 1. Ось z0 ориентирована относительно неподвижной системы координат 002,п С постоянными углами а 0 и р 0. С телами 1 и 2 совмещены резалевы (не вращающиеся с угловой скоростью О) системы координат 01х1 ухг\ и 02х2у2z2. Система координат 0xyz связана с системой 01 х1у^1. При времени г < 0 оси z1, z, z2 и вектор Н кинетического момента гироскопа, установленного в точке 2, совпадают с осью z0. При г > 0 на тело 1 действуют поперечные возмущающие силы РХх и Рп. На рис. 1 показана дискретно-континуальная модель в возмущенном состоянии с углами Эйлера—Крылова отклонения оси z1 от z0 и оси z2 от z1, а также силы Их , Иу и моменты сил Ьх , Ьу,, у = 1,2, реакций стержня, действующие на тела 1 и 2. Углы а и р отклонения оси z2 тела 2 от вектора Н кинетического момента гироскопа преобразуются в цепи отрицательной обратной связи газореактивными двигателями в управляющие поперечные силы РХ2 и Р . После приведения к безразмерным переменным и параметрам [2] в пренебрежении величинами высшего порядка малости модельные уравнения автономной ОСУС принимают вид
Х0р + Р = —ГсОЗ 1 + Р 2), т 0<х + а = -т а(сх 1 + а 2),
mxo - bpi = NXl + PXl, miyо + ba = NVl + Pyi, J iP1 = Lyi + ^iNXi, Jxa 1 = LX1 - ÇiNi,
J2<(31 + (32) = Ly2 - ^Nx2, J2(cà 1 + ex2) = Lx2 + ^, m2[xco + X1 + (1 + Ç + 1] = Nx2 + m2fl,p2 + Px2, m2[yо + У1 - (1 + + £2)« 1] = Ny2 - m2ûza2 + Pyi, Px2 = n[p(t - x)cos(Qx - 0) + a(t - x)sin(Qx - 0)], Py2 = n[p(t - x)sin(Qx - 0) - a(t - x)cos(Qx - 0)],
x + x"" + yx"" + yOy"" + az[(m2 + 1 - z)x" - x'] = -x0 - (z + ^1)(31, (1.1)
y + y"" + yy"" - ï^x"" + «z[(m2 + 1 - z)y" - y'] = —y0 + (z + Çi)al,
x(0, t ) = y(0, t ) = 0, x'(0, t) = y'(0, t) = 0,
x(1, t) = xi(t), y(1, t) = yi(t), x'(1, t) = p2(t), y'(1, t) = -a 2(t),
Nx1 = -x'"(0, t) - yx"'(0, t) - yQy"'(0, t),
Nyi = -y'"(0, t) - yy"'(0,t) + yOx'"(0, t),
Nx2 = x"'(1, t) + yx'"(1, t) + yOy'"(1, t),
Ny2 = y'"(1, t) + yy'"(1, t) -yOx'"(1, t ),
Lxi = -y"(0, t) - yy"(0,t) + yQx"(0,t),
Lyi = x"(0, t) + yx"(0, t) + yQy"(0, t),
Lx2 = y-(1, t) + yy"(1, t) - yQx"(1, t),
Ly2 = -x"(1, t) - yx"(1, t) - yQy"(1, t)
при нулевых начальных условиях.
Здесь (x0(t),y0(t),z0(t)) — координаты точки O1 в системе O0x0y0z0 ; (x(z, t), y(z, t), z) — координаты точек срединной линии стержня; (x1, y1,1) — координаты конечной точки Oe срединной линии; т0 — постоянная времени гироскопа; b — коэффициент, обусловленный оперением тела 1; и 2,2 — расстояние (рис. 1) между точками соответственно O1O и OtO2 ; J, j = 1,2, — соответственно экваториальный момент инерции абсолютно жестких тел 1 и 2; 8 — угол опережения установки газореак-
тивных исполнительных двигателей относительно осей выходных сигналов гироскопического датчика угловых перемещений; т — время запаздывания газореактивных исполнительных двигателей; у — безразмерный коэффициент внутреннего трения в стержне; п — коэффициент обратной связи;
()' = д()/дz; точкой сверху обозначено дифференцирование по времени 1; az = ¿*р"3(Е/)— безразмерное продольное ускорение; р — погонная плотность стержня; £ — длина стержня; Е — модуль
Юнга; I — экваториальный момент инерции поперечного сечения стержня; £ * — размерное продольное ускорение.
Уравнения (1.1) образуют комбинированную [6] динамическую систему (КДС), содержащую обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, граничные условия, условия связи и начальные условия. При а1 < 1 уравнения (1.1) переходят в уравнения (1.12) из [2]. Аналогично [2] сделаем комплексные замены
ф(г) = -р(г) + /а(0, и(£, О = х(£, г) + гу(£, г),
(г) = хк (г) + 1ук (гх
ф у (г) = -р/г) + /а/г), N/0 = ^ (0 + N (О, (1.2)
Н(г) = -Ьу (г) + Ну (г), Р(г) = Рч(0 + /Рй(/), где / — мнимая единица, к = 0,1, у = 1,2. При этом уравнения (1.1) принимают вид
Т0<Р + ф = -Т0(ф 1 + ф 2),
0 + йф1 = И1 + Р1, ■ 1(р 1 = Ь ^^ ■2(^Р 1 +Ф2) = Ь2 + £,2N2 ,
т2[м>0 + #1 - (1 + 2,1 + £,2)Ф 1] = N2 - ле/(Пт-0)ф(г - т) - ^2а£ф2, И + ди"" + ум"" + а£[(т2 + 1 - £)и" - и'] = -#0 + (£ + ^1)ср1, И(0, г) = 0, и'(0, г) = 0,
м(1, г) = #1(г), и'(1, г) = -ф2(г), (1.3)
N1 = -ди'"(0,г) - уи"'(0,г), N2 = ди"'(1, г) + уи"(1, г), Ь = -дм"(0,г) - уг/"(0,г), Ь2 = и"(1, г) + уи"(1, г) с нулевыми начальными условиями. Здесь д = 1 - г'уО.
2. Динамическая модель системы угловой стабилизации. Поскольку система уравнений (1.3) линейна и стационарна, выполняем в ней одностороннее интегральное преобразование Лапласа по времени 1
№ = щ/(г)] = \/(1)е
0
С0 + /да
/(г) = щ/)] = Г /&)еС0 > а, 2т
(2.1)
с0 + гда
С0 - ¡да
где а — абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа.
Исключая величину ф(А,), находим (символ над изображениями Лапласа далее опущен)
тД 2#0(А) + %(А) = N1(X) + Р1(Х), / к 2Ф1(А) = ЬД) х(к),
/Д 2(ф1(А) + Ф2(А)) = Ь2(Х) + % (2.2)
о:
+ + ^(Х)) -
-Цт2{1 + + + ТоХ) + птое ^^^(Х) +
+ [т2аг(1 + х0Х) - пх0Хе~'0_1:(Х"'П)]ф2(Х) = ^(Х)(1 + х0Х), X 2и(г, X) + £и""(г, X) + аг[(т2 +1 - г)и"(г, X) - и'(г, X)] =
= -Х Ч(Х) + (г + ^)Х 2Ф1(Х), (2.3)
и(0, X) = 0, и'(0, X) = 0,
и(1, X) = ^1(Х), и'(1, X) =-ф2(Х),
^(Х) = -Уи"'(0, X), ^(Х) = Би"\\, X),
Ь1(Х) = -Уи"(0, X), Х2(Х) = ¿и"(1, X), (2.4)
где £ = 1 + у(Х - /О).
Заметим, что линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (2.3) не имеет известных решений ни в классе элементарных функций, ни в классе специальных функций математической физики. Поскольку краевая задача (2.3) линейным образом зависит от величин Х2^0(Х),
^1(Х), X 2ф1(Х), ф2(Х), то, следуя принципу суперпозиции, запишем
N1 (X) = ¿[^(ХЯ2 ^0(Х) + N(/>(X)w1(X) + ^3)(Х)Х2 ф1(Х) + ^4)(Х)ф 2(Х) ], (2.5)
Ь (X) = ¿[Ь^Х2 ^0(Х) + 42)(ХМ(Х) + Ь3)(Х)Х2 ф1(Х) + Ь4)(Х)ф2(Х) ], ] = 1,2.
Входящие в выражения (2.5) функции N1/\X), 1Ь{)(к), к = 1,2,] = 1,4, являются решением следующих вспомогательных линейных краевых задач:
X 2и(г, X) + ¿и""(г, X) + аг[(т2 +1 - ¿)и"(г, X) - и'(г, X)] = -51 + 83(г + ^1),
и(0, X) = 0, и'(0, X) = 0, и(1, X) = 82, и'(1, X) = -84, (2.6)
здесь 5V — символ Кронекера,
^(])(Х) = -и'"(0, X), ^;)(Х) = и"'(1, X), ь1])(Х) = -и"(0, X), ь2;)(Х) = и"(1, Х),у = 1,4. При аг = 0 имеем
N¡1) - 2г,;(к(Х))/Х2, ] = 1,3,
[ц21,](к(Х)), ]- 2,4,
¿(Л = I ^21 -1,;(к(Х))/Х2, ] = 1,3, (2 7)
1 -1,у(к(Х)), ] = 2,4, .
к(Х) =
X2
1/4
I = 1,2, (2.8)
_ 1 + у(Х - /П)_
где функции Ц](к) определены в соответствии с формулами (2.8) из работы [2]. Подстановка (2.5) в (2.2) приводит к системе линейных уравнений
X V ^(ХК(Х) + ^(ХМ(Х) + Ху Уз(Х)Ф1(Х) + V У4(Х)Ф2(Х) = 5^(Х), V = 14. (2.9)
Здесь
]) = ¿[^^(Х) - Ь1])(Х)], ] = 1,2,4, ¥1з(Х) = Х[/1 + ^Ж3)(Х) - Ь13)(Х))],
(2.10)
¥21(А) = шх - ^(А), у ф) = -№(А), у = 2,4, ¥23(Х) = Ь - БХ2^(3)(А), у з/А) = -Б[^2;)(А) + ^(А) ], у = 1,2, ¥зз(А) = А[/ - Б(^3)(А) + Х23)(А))], У34(^) = ^2 - ^^(А) + Х24)(А)],
¥ 41 (А) = С(®2 - ^(А)),
¥42(А) = 0(тгХ2 - 22)(А)),
у43(А) = -т2(1 + ^ + ^2)ХО - пт0в -т-т(Х-1П) - БШ<2}(Х)&, ¥44(А) = т2а£ - пт0в-Ю-Т(Х-1П) - ££^24)(А), где С = (1 + х0А).
Из (2.9) следуют выражения для передаточных функций системы стабилизации по угловой ошибке ф1 и поперечному смещению
п(1)п ) А фА) = АФ1(^) п(0)(^) А ^(А) _ А ' РД) А(А) ' ^ '
Ун ¥12 13 ¥14
, (2.12)
Р1(Х) АА(А)
(2.11)
А(А) = ёе1
У 21 У 22 У 23 У 24 У31 У32 33 У34 У41 У42 43 У44
ДД) = - ёе1| ^Ст, А 0&) = - ¿е% ^ (^С
У=2,3,4 3,4
Аналогично [2] формулы (2.11), связывающие компоненты изображений Лапласа входной х(Х) = (Рх(Х),РУ1 (Х))Т и выходной у(Х) = (а1(А),р1(А),х0(Х),у0(Х))т вектор-функций, можно представить в матричном виде
'-Ш
а1(А,)
~Х0(Х) .У)(Х).
п«(А) п 12(А)' п 2\1(А) п 212(А).
п10)(Х) П(02)(Х)" п^Х) п 202)(Х)_
"Рх1(А)"
"Р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.