ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 846-849
УДК 519.634
К ВОПРОСАМ СПЕКТРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
Доказывается, что среди всех областей с одинаковой мерой шар минимизирует первое собственное значение оператора односкоростного переноса частиц в многомерном евклидовом пространстве. Библ. 13.
Ключевые слова: спектральная геометрия, оператор односкоростного переноса частиц, собственные значения.
Односкоростное уравнение переноса (при определенных условиях) описывает процессы переноса нейтронов в ядерном реакторе, передачи лучистой энергии, прохождения гаммаквантов через вещество, движение газов и другие процессы. Работы, опубликованные в последнее время в этой области, привели к ряду интересных результатов (см., например, [1]—[3]). Известно, что если длина свободного пробега частиц значительно больше, чем их размеры, то процесс распространения частиц может быть описан более точным уравнением, нежели уравнение диффузии, а именно так называемым односкоростным уравнением переноса. Рассмотрим односкоростное уравнение переноса с учетом следующих предположений:
1) скорость всех частиц одинакова и равна V;
2) столкновения между частицами могут быть проигнорированы;
3) частицы сталкиваются с неподвижными ядрами среды;
4) когда частицы сталкиваются с неподвижным ядром в точке, происходит одно из трех следующих случайных событий: а) с вероятностью р1 частица рассеивается в ядре, отскакивая от него, как упругий шарик; б) с вероятностью р2 частица может быть захвачена ядром; с) с вероятностью р3 частица может разделить ядро, в результате чего при V > 1 появляются новые частицы (в данном случае считается, что частица, которая разделила ядро, исчезает);
5) распределение частиц по отношению к направлению изотропно после рассеяния, а также после деления.
Обозначим через у(х, s) поток частиц в точке х = (х1, ..., ха) в стационарном состоянии, двигающийся в направлении 5 = («1, ..., ,%), 5| = 1, внутри области без источников. Тогда функция у(х, 5) удовлетворяет следующему интегродифференциальному уравнению:
значением свободного пробега в точке х, кроме того, мы предполагаем, что l = const. Это одно-скоростное уравнение переноса с изотропным рассеянием без источников. Более подробная теория уравнений переноса и связанные с ней исследования могут быть найдены в [4]—[6]. Для полного описания процесса переноса частиц необходимо описать поведение потока частиц у(х, s)
DOI: 10.7868/S0044466915050154
1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
где S — поверхность единичной сферы, h = p1 + vp3, (s, у) = Vd Sj-- , a = 1/l, lявляется средним
-1 dxi
К ВОПРОСАМ СПЕКТРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
847
на границе этой среды (граничные условия). В этой статье для простоты будем считать, что область О с границей дО, где происходит процесс переноса, выпукла. В этом случае граничное условие
у(х, 5) = 0, <5, пх)< 0, (2)
выражает отсутствие потока частиц, падающих на область О с внешней стороны. В граничном условии (2) пх является единичной внешней нормалью в точке х, а п) есть скалярное произведение. Назовем уравнение (1) вместе с условиями (2) оператором односкоростного переноса частиц. Наконец, мы получили спектральную задачу для оператора односкоростного переноса частиц
X
<5, gradу) + ау = — (у(х, д)йд, х е О, (3)
5
у(х, 5) = 0, <5, пх)< 0, х е дО, (4)
где X = аh. Известно, что данная спектральная задача эквивалентна интегральному уравнению Пайерлса (см. [7])
Ф(х) = X ]>(| х - у| )ф(у) йу, (5)
где ф(я) = -1- ("у с)dс и 4 я J
-а |х - у|
е
р(Iх - У) = тг—тт (6)
4 п |х - у\й -1
есть ядро Пайерлса. Оператор Пайерлса компактен в L2(0). Следовательно, его спектр является дискретным. Обозначим собственные значения оператора Пайерлса через Х1 < Х2 < Х3... (нумеруем собственные значения в порядке возрастания), каждый раз повторяющиеся с учетом их кратности. В этой статье мы докажем неравенство типа Рэлея—Фаберга—Крана для односкоростного уравнения переноса нейтрона (3) с граничным условием (4), т.е. докажем, что шар минимизирует первое собственное значение Х1 оператора односкоростного переноса частиц во всех областях того же объема многомерного евклидового пространства.
Теорема 1. Пусть О с Rd — выпуклая область и О* с Rd — шар той же меры, что и О, т.е. |0*| = |0|, тогда
Х1 (О * )<Х1(О). (7)
Данный результат может быть интерпретирован в теории односкоростного нейтронного переноса таким образом: среди всех областей с одинаковой мерой шар максимизирует вероятности частиц, которые захвачены ядром.
Исторически сложилось так, что (впервые в научной литературе) Рэлей в своей известной книге "Теория Звука" (см. [8]) (впервые опубликована в 1877) с помощью некоторых явных вычислений и физических интерпретаций показал, что круг минимизирует (среди всех областей того же объема) первое собственное значение оператора Лапласа с граничным условием Дирихле. Музыкальная интерпретация этого результата следующая: среди всех барабанов одинакового объема круговой барабан производит самые низкие басовые ноты. Доказательство этой гипотезы было получено лишь спустя 30 лет одновременно (и независимо) Г. Фабером и Э. Краном. В настоящее время неравенство Рэлея—Фабера—Крана расширено для многих других краевых спектральных задач и операторов (см. [9]). Результаты такого рода относятся к теории спектральной геометрии. Спектральная геометрия — сравнительно молодая и быстро развивающаяся математическая дисциплина, сочетающая в себе элементы дифференциальной геометрии, функционального анализа и теории уравнений с частными производными. Многие задачи спектральной геометрии мотивированы вопросами, возникающими в акустике, квантовой механике и других областях физики.
п
5
848
СУРАГАН
Для удобства читателя в разд. 2 дается краткое описание симметрической невозрастающей перестановки функции в ограниченной области. В разд. 3 приводятся доказательства основного утверждения.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Пусть Q. — ограниченное измеримое множество в Rd. Симметрическая перестановка множества Q. является открытым централизованным на 0 шаром Q*, объем которого совпадает с объемом Q, т.е. |Q*| = |Q|. Пусть u — неотрицательная измеримая функция на Q, равная нулю вне области Q.
В определении симметрической невозрастающей перестановки функции u используется специальное разложение, которое выражает неотрицательную функцию u в терминах ее уровневых множеств, т.е.
го
u(x) - Jx{u(x)>t}dt. (8)
0
Заметим, что характеристическая функция X{u(X) > t} измерима по совокупности х и t, когда функция u измерима.
Определение. Пусть u — неотрицательная измеримая функция на Q. Функцию
го
U* (x) - Jx{u(x)> t} *dt 0
назовем симметрической невозрастающей перестановкой функции и.
Тогда и* — полунепрерывная снизу (следовательно, уровневые множества открытые) функция, которая единственным образом определяется через функцию распределения
И«(t) - Vol{x|u(x)> t}.
По конструкции u* той же меры, что и и, т.е. соответствующие уровневые множества двух функций имеют одинаковый объем:
t) - цв*(t) vt > 0. (9)
Лемма (о сохранении норм перестановок в L2). Для каждой неотрицательной функции u из L2(Q) выполняется соотношение
lluIL2(Q) - llU*11L2(Q*).
Доказательство. Применяя разложение (8), теорему Фубини и формулу (9), запишем
го го го
J|u(x)|2dx - JJX{u2(x)>t}dtdx - JVol({u2(x) > t})dt - JVol({u(x) > s})2sds -
Q Q 0 0 0
го го го го
- J"|i„ (s) 2sds - J^„* (s )2 sds - JVol ({u *(x)> s}) 2sds - JVol({ u *2 (x) > t}) dt -
0 0 0 0 го
- JJX{u*2(x)>,}dtdx - Jlu*(x)'dx.
Q 0 Q
Утверждение леммы следует из того, что функция u* равноизмерима с функцией u. Для доказательства теоремы 1 будем пользоваться теоремой Ф. Рисса (см. [10]). Теорема Ф. Рисса.
\\f(y)g(x - У)h(x)dydx < JJ>(y)g* (x - y)h* (x)dydx, (10)
QQ Q* Q*
где f*, g* и h* — симметрические невозрастающие перестановки положительных измеримых функций f, g и h соответственно.
К ВОПРОСАМ СПЕКТРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
849
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1
Так как симметричное полярное ядро Пайерлса положительно, наименьшее по модулю собственное значение положительное и простое, а соответствующую собственную функцию ^(х) можно выбрать положительной в Q (по теореме Енча (см. [11], [20]). Из неравенства (10), а также учитывая, что
1 x - у
P* (I x - y|) = j-*--— = P(\x - y|), x, y 6 Q *,
4n |x - У
следует неравенство
j"j"Mi(y)P(x -y)u1(x)dydx < J Ju*(y)P(x -y)u*(x)dydx.
oo o* o*
Отсюда, учитывая лемму и вариационный принцип для X1(Q*), имеем
J| u1 (x )|2 dx J |u*( x)| 2dx X1 (Q) =-0->-0->
J Ju1 (y)P(x - y) u1 (x) dydx J J u*(y)P(x - y) u* (x) dydx
nn n*n*
J | v( x )| 2dx
> inf -- = X1 (Q *).
v e L2(n*)
I I v(y) P(x - y) v(x) dydx
n*n*
Теорема 1 доказана полностью.
Замечание 1. Мы можем задаться вопросом, является ли шар единственной минимизирующей областью собственного значения Xj? На самом деле нет. Например, шар после удаления конечного числа точек также является минимизирующей областью, а так как пространство L2(Q) не изменится, если мы удалим из Q множество Q0 меры нуль, то любая область вида Q\Q0 также минимизирует значение А^.
Замечание 2. Теорема 1 может быть обобщена на случай интегральных операторов с полярным ядром (ср. [12] и [13]).
Автор выражает благодарность рецензентам за ценные замечания и предложения, которые способствовали улучшению работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аниконов Д.С., Назаров В.Г. Задача двуракурсной томографии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 3. С. 372-378.
2. Smedley-Stevenson R.P. A new analytic solution of the one-speed neutron transport equation for adjacent halfspaces with isotropic scattering // Annals of Nuclear Energy. 2012. V 46. P. 218-231.
3. Степин С.А. Волновые операторы для линеаризованного уравнения Больцмана в односкоростной теории переноса // Матем. сб. Т. 192. № 1. 2001. С. 139-160.
4. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. МИАН СССР. Т. 61. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 3-158.
5. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961.
6. Marshak R.E. Theory of the
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.