ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 2, с. 163-168
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМЫ
УДК 533.9.01
К ВОПРОСУ О КУЛОНОВСКОМ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ © 2015 г. М. А. Бутлицкий1, Б. Б. Зеленер1*2, Б. В. Зеленер1
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва 2Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва E-mail: aristofun@yandex.ru Поступила в редакцию 30.06.2014 г.
В работе обсуждается возможность обнаружения кулоновского фазового перехода типа газ-жидкость в невырожденной неидеальной двухкомпонентной низкотемпературной плазме. Для этого используются результаты расчетов методом Монте-Карло параметров критической точки и бинода-ли фазового перехода типа газ-жидкость в базовой псевдопотенциальной модели низкотемпературной плазмы "кулон с полочкой". На основании полученных результатов выявлена область значений термодинамических функций, в которой возможно наблюдение кулоновского фазового перехода. Показано, что эта область параметров лежит вне области существования сильно ионизованной невырожденной низкотемпературной двухкомпонентной плазмы.
Б01: 10.7868/80040364415020076
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, в сильно или полностью ионизованной плазме основным взаимодействием между частицами является взаимодействие зарядов по закону Кулона. Отношение кулоновского взаимодействия на среднем межчастичном расстоянии к температуре определяет параметр кулонов-ской неидеальности у = ве2(пе + п)х/ъ, где е — заряд электрона, пе и п1 — соответственно концентрация электронов и ионов, в = 1/квТ, Т — температура частиц, кв — постоянная Больцмана. В 1967 году в [1] на основе анализа экстраполяции уравнения полностью ионизованной слабонеидеальной плазмы в область сильной неидеальности было высказано предположение о возможности существования фазового перехода типа газ—жидкость, обусловленного кулоновским взаимодействием. В последующие годы существование такого перехода в различных системах и при различных условиях интенсивно обсуждалось (например, [2, 3]). На протяжении прошедших с того времени лет экспериментально обнаружить этот переход не удалось, тем не менее возможность такого перехода не исключается [4]. Причем отсутствие экспериментального подтверждения может быть обусловлено сложностью получения сильнонеидеальной плазмы и трудностями, связанными с ее диагностикой.
В данной работе на основе численных расчетов в базовой псевдопотенциальной модели полностью ионизованной невырожденной плазмы (также называемой "кулон с полочкой") опреде-
лена для этой модели область существования фазового перехода типа газ—жидкость. Показано, что в этой области параметров степень ионизации низкотемпературной невырожденной плазмы крайне мала. Это может привести к большим трудностям при экспериментальном определении наличия кулоновского фазового перехода.
Псевдопотенциальные модели были предложены в [5—8] для расчета методом Монте-Карло термодинамических свойств и корреляционных функций двухкомпонентной невырожденной низкотемпературной плазмы. Формулировка этих моделей основана на представлении статистической суммы невырожденной системы N электронов и N ионов в следующем виде:
цм,у,Т) ~ \й№^(а!,...,аме+м,;Т).
V
Здесь +н(а1,...,ан;Т) — квантово—статисти-ческая плотность вероятности по состояниям системы N + N частиц, которую называют слэте-ровской суммой:
SNe+N (а1,...,а N.+N )
~ XI*»(41,..., Ч N+N. ^ е», (1)
п=0
где q¡■ — координата 1-й частицы, ¥п(ч1,...,чн +н), Еп — волновые функции и собственные значения энергии системы N + N частиц.
В первом приближении с учетом только парных квантовых эффектов слэтеровскую сумму (1) можно представить в виде произведения парных слэтеровских сумм
Ф»
г/К
Рис. 1. Электрон-электронные псевдопотенциалы (в единицах энергии) при различных температурах (1 — Т = 103 К, 2 — 104, 3 — 105) в сравнении с соответствующим данной температуре кулоновским потенциалом (сплошные кривые). Расстояние — в дебройлев-ских длинах волн электрон-электронной пары
(X ее = текъТ).
РФ 0 г
элементов. Если в качестве ионов рассматривать протоны, то парные слэтеровские суммы, в том числе и для взаимодействия электронов, рассчитываются точно [9—11]. Однако у всех парных слэ-теровских сумм имеются общие свойства — зависимость логарифма парной слэтеровской суммы на больших расстояниях соответствует закону Кулона, а на малых конечна за счет парных квантовых эффектов и зависит от температуры. Это позволяет ввести псевдопотенциалы.
Приближение, при котором квантово-стати-стическая плотность вероятности системы ^частиц представляется в виде произведения парных, имеет широкие границы применимости (см. [5—8]), а
представление Б\ в виде псевдопотенциала
рФ ц = - 1п Бц
позволяет использовать классический метод Монте-Карло для расчета термодинамических свойств. На рис. 1 и 2 приведены примеры электрон-электронных и электрон-протонных псевдопотенциалов для разных температур [8]. Псевдопотенциалы между зарядами одного знака отличаются от закона Кулона на расстояниях порядка радиуса Бора. В случае псевдопотенциалов для зарядов разных знаков отличие от закона Кулона имеет место на значительно большем расстоянии.
МОДЕЛЬ "КУЛОН С ПОЛОЧКОЙ"
В [5—7] было предложено проводить расчеты термодинамических величин и корреляционных функций методом Монте-Карло для базовой псевдопотенциальной модели, в которой псевдопотенциалы между зарядами одного знака (электрон—электрон, ион—ион) и между зарядами разных знаков (электрон—ион) задаются следующим образом:
РФ ее (X) = РФЙ(Х) = X-1,
-1
в) =
J -6, X <6
1-1 > -1 I-X , X >6 ,
г/Ре2
Рис. 2. Водородные электрон-протонные псевдопотенциалы для различных температур в сравнении с кулоновским потенциалом. Расстояние — в длинах Ландау.
= П БГОП Б"(к,0П ^(тп). (2)
1< ] к <1 т<п
Парные слэтеровские суммы электрон—ион и ион—ион различны для различных химических
где х = r/Pe2, r — расстояние между частицами, 6 = const.
Другими словами, в качестве потенциала взаимодействия между частицами одного знака используется кулоновский потенциал, а между разноименно заряженными частицами — кулоновский потенциал, "обрезанный" на расстоянии, определяемом s. При этом влияние изменений псевдопотенциалов, обусловленных зависимостью от температуры и имеющих короткодействующий характер, можно учесть при помощи специально разработанной теории возмущений [5—8]. В работе [12] было показано, что псевдопотенциальная модель в приближении (2) хорошо описывает экспериментальные результаты как в обла-
1
2
3
сти слабой, так и сильной неидеальности. Это позволяет надеяться, что исследование термодинамических и корреляционных функций в этой модели может указать на возможность существования фазового перехода в реальной плазме в области применимости модели.
Термодинамические свойства базовой модели "кулон с полочкой" зависят от двух безразмерных параметров: глубины "полочки" е и параметра неидеальности у.
При этом можно показать [8], что поскольку Фе(-зависит от температуры, то в энергию и давление системы частиц не вносят вклада электрон-ионные взаимодействия на расстояниях гу меньше ве2е—1 (х < е-1). С другой стороны, эти взаимодействия не вносят вклада и в величину гдФе /дг, определяющую давление. Таким образом, для модели "кулон с полочкой" оказывается справедливым соотношение теоремы вириала для каждого конкретного значения е:
Р1»къТ = 1 + Е/ 3ШЪТ, (3)
где Р и Е — давление и внутренняя энергия системы N частиц при температуре Т.
Кроме того, так как для данного е все термодинамические функции зависят только от у, для расчета удобно ввести безразмерные величины: энергию Е* = РЕ/^ давление Р* = рРфе2)3, удельный объем V * = 1/у3, температуру Т * = е-1.
Необходимо отметить, что особенностью модели "кулон с полочкой" по сравнению с моделями кулоновских твердых сфер и Ван-дер-Ваальса является отсутствие явно выраженного значения свободного объема. Наличие подобия и справедливость теоремы вириала позволили проводить расчеты только внутренней и потенциальной энергии системы частиц.
Б*, ви/Ы
20 -
10
15
20 У
Рис. 3. Удельная внутренняя энергия и удельная потенциальная энергия взаимодействия для 5 = 13.5.
Е * 4
2
0
2
4
Е = 10
-е = 13.5
---Е = 15
----Е = 20
0 5 10 у
Рис. 4. Удельная внутренняя энергия в зависимости от параметра неидеальности для разных 5. Здесь и далее квадратными и круглыми маркерами ограничена область термодинамической неустойчивости со стороны жидкой и газообразной фаз соответственно.
0
5
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Расчеты термодинамических и корреляционных функций проводились классическим методом Монте-Карло (с использованием алгоритма Метрополиса) в NFT-ансамбле, состоящем из равного числа протонов и электронов, с периодическими граничными условиями. Была исследована область концентраций п < 10—15 см—3 и Т < 100 К. При этом параметр неидеальности у менялся от 0.01 до 100, а е — от 2 до 1000. Выбор таких п и Т обусловлен необходимостью устойчивости расчетов при больших изменениях у и е. Для учета дальнодействия использовался широко применяемый метод ближайшего образа.
На рис. 3 и 4 представлены результаты расчетов удельной потенциальной энергии взаимодействия и* = в U/Nи внутренней энергии Е* в зависимости от у и е. Как сказано выше, в отличие от энергии взаимодействия, внутренняя энергия не
содержит вклада от взаимодействия электрон— ион на расстояниях в районе полочки. Поэтому и* глубже, чем Е*. В области у ~ 1.5—2.8 энергия на одну частицу для всех е проходит через минимум, а затем начинает возрастать и для больших у становится положительной и пропорциональной у, что связано с преобладанием в системе отталкивания при достижении определенной плотности.
Все результаты численных расчетов внутренней энергии Е аппроксимировались полиномами по степеням у. Эти аппроксимационные выражения использовались во всех дальнейших расчетах. Поэтому на всех рисунках результаты представлены в виде гладких кривых. Поскольку для модели "кулон с полочкой" при заданном е справедлива теорема вириала (3), то, зная Е*, можно определить давление Р*. На рис. 5 представлены значения Р* для различных у и е. Кри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.