ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 3, с. 548-555
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
К ВОПРОСУ О ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПО ОТНОШЕНИЮ МАСС ЧАСТИЦ ВКЛАДАХ В ТОНКИЙ СДВИГ Я-УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ В ПЯТОМ ПОРЯДКЕ ПО КОНСТАНТЕ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
(© 2004 г. Н. А. Бойкова*, С. В. Клещевская, Ю. Н. Тюхтяев, Р. Н. Фаустов1)
Саратовский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 06.12.2002 г.; после доработки 27.05.2003 г.
Проведено прецизионное исследование логарифмического по отношению масс частиц вклада в тонкий сдвиг ¿"-уровней энергии водородоподобных атомов от обмена одним кулоновским фотоном. Показано отсутствие подобного рода вкладов от диаграмм обмена одним поперечным и двумя кулоновскими фотонами.
В последние годы стало ясно, что повышение точности измерений величин сдвигов уровней энергии водородоподобных (ВП) атомов с помощью радиочастотных методов наталкивается на серьезные препятствия. Методы бездоплеровской двух-фотонной лазерной спектроскопии открывают новые перспективы уменьшения экспериментальных ошибок.
Интервал 15*1/2—измерен в настоящее время [1, 2] в атоме водорода с точностью до десятка кГц:
= 2 466 061413187.34(84) кГц (1997 г.),
(1)
р\8-28 = 2 466 061 413 187103(46) Гц (2000 г.).
(2)
Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стимулирует развитие теоретических методов по прецизионному определению поправок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии. Значительное число обзоров по теории спектров водородоподобных атомов, опубликованных за сравнительно короткий промежуток времени, свидетельствует о нарастании интереса к исследованию в этом направлении [3-11]. В таблице VIII работы [11] перечислены поправки отдачи, рассчитанные к моменту составления обзора. Исчерпывающий перечень соответствующих данных содержит только один логарифмический по параметру в = т1/т2 вклад (т1, т2 — массы легкой и тяжелой частиц соответственно), полученный еще
''Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика" РАН, Москва. E-mail: theorphys@sgu.ru
в работе Фултона и Мартина 1954 г. [12]. Вопрос о других подобных вкладах был впервые поставлен и частично решен почти 50 лет спустя в работе [13].
Применение квазипотенциального подхода к проблеме тонкого сдвига при однофотонном обмене начнем, следуя работе [14]. Рассмотрим уравнение
[е - \J\)2 + т\ - \/р2 + тФ(р) = (2п)-3У V(p, q; E)^(q)d3q,
(3)
где Е — полная энергия системы; Ф^) — волновая функция; Vq; Е) — квазипотенциал. В результате разложения
-гр
- ^Р2 + т2г^тг + ^
p4
2m2 8m4
+ ... h
i = 1, 2,
получаем
£ip + £2p = mi + m-2 +
+
3p4
2^ 8^3 8^m1m2
(4)
где ц = m1m2/(m1 + m2) — приведенная масса. Уравнение(3) принимает вид
Ф(Р) = (2-)"3/^(Р)Я)+ (5)
+ AV(p, q; E) + Vkta(p, q; E))Ф(q)d3q,
где
W = E — m1 — m2
2
2
4
p
p
К ВОПРОСУ О ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПО ■ энергия связи системы,
поправка к кинетическом энергии, ДУ = V - ус,
Ус(р, я) = -
(7)
(Р - я)2
— кулоновский потенциал. Для изучения тонкой структуры уровней энергии положим
ДУ = Ув, Ув — брейтовское ядро, и запишем
(р2 + ^)ф(Р) = -^з/(-с(Р,Ч)+ (8)
+ Ув(р, я; Е) + Уш(р, я; Е))Ф(я)^3д,
где а — постоянная тонкой структуры; п — главное квантовое число.
В низшем приближении и в кулоновской калибровке квазипотенциал имеет вид
V = (Т2)+ = (Кс)+ + (Кт)+ = (9)
= Ус + (Кс)+ - Ус + (Кт) +
и соответствует диаграмме однофотонного обмена. Операция (...)+ = и^и^ю720(...)и1и2 означает проектирование на состояния с положительными энергиями,
/ ... \
щ(р) = Мт1 р
Ш
а • р
Ш
Мт1р —
еip +
\егр + mi )
2е.
ip
(10)
ui(p) — дираковский биспинор, записанный в двух-компонентной форме; ш — обычный спинор, удовлетворяющий условию нормировки = 1; а — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули; Кс = Ус7ю720;
Кт = -
4па
В - к2 + ¿0
71 • 72
(71 ' *0(72 • к) к2
7i0, Ъ — матрицы Дирака, г = 1,2. Индексы "с" и "Т" символизируют обмен кулоновским и поперечным фотонами соответственно.
Брейтовское ядро взаимодействия получается согласно работе [14] разложением квазипотенциала (9) по степеням величин р2/ш2 и имеет вид
Ув = У, + у,, (11)
Уц = (Кс)+ - УС = - -о + -2
8
1
1
тл
тг
(12)
ОТНОШЕНИЮ МАСС ЧАСТИЦ ВКЛАДАХ 549
У, = (Кт)+ = (13)
4(р • Ч) 1 _ (V2 " О2?
4т1т2
1_(р - я)2
(р - я)4
Решение уравнения (8) с квазипотенциалом = Ут + + У,
приводит к известному выражению для тонкой структуры уровней энергии [11]:
Е
/л(га)4 2 п3
п = (т-1 + т2) -
2 п2
1
V
3
---1—
] + 1/2 4п 4п(т1 + т2)
где 2 — заряд ядра; ] — внутреннее квантовое число.
Таким образом, квазипотенциальный подход воспроизводит тонкую структуру уровней энергии ВП-атомов, следующую из точного решения уравнения Дирака с кулоновским потенциалом с последующим учетом эффектов отдачи.
Для изучения тонкого сдвига уровней энергии следует продолжить анализ выражения квазипотенциала, отвечающего однофотонному взаимодействию частиц. Рассмотрим вначале кулоновскую часть взаимодействия (слагаемые, отвечающие за сверхтонкий сдвиг, опущены):
ДЕс = <рс(р)1 (Кс)+ - ус №с(я)> = (14) (р • я)2
+ ~м1рмчм2рм2я
где Мг = е^ + mi,
- Ус |^с(я)>
Мг — Мт\т Мт2 г —
д/г2 + т\ + т\ / д/г2 + + т2
2д/г2 + ГПл
2д/г2 + ГПо
— произведение нормировочных множителей дира-ковских биспиноров (10); г = р, я.
Для простоты ^с(р) — кулоновскую волновую функцию, отвечающую 15-состоянию, запишем в виде
**<р) = Ш0)Г =
33
2 а V
(р2 + а2v2)2
п
для состояний иБ величина тонкого сдвига уменьшается в п3 раз.
Остановимся более подробно на первом и последнем слагаемых (14), которые представим в виде
<^с(р)| УсМрЩ - Ус |рс(я)> = (15)
2
е
2
550 БОИКОВА и др.
= <^с(p)l ус[1 - (1 - Мр)][1 - (1 - Мд)] -
- ус1^С(ч)> = <^сы1 - ус(1 - яр) -
- ус(1 - N) + УС(1 - Мр)(1 - N) |^сы).
Оценка последнего слагаемого в (15), имеющего вид
<^с (p)l ус(1 - Мр)(1 - мд) |^С (q)), (16) приводит нас к стандартному интегралу [15]: С й3р
I
£1р £2Р(р2 + а2л2) й3д 4п4
(д2 + а2ц2)^ - q)2 т1т2
1п а
1
<^№1 УС^Ыд - УС !^с(я)) =
= <^сЫ1 - 2ус(1 - мр) !^с(я)) .
(17)
Для вычисления второго слагаемого (17) воспользуемся тривиальным алгебраическим преобразованием:
УС (1 - Мр) = = ус[1 - (1 - (1 - кт1р))(1 - (1 - N = ус[(1 - Ыт1 р) + (1- Ыт2р) -- (1 - Ыт1р)(1 - Ыт2р)]. Применимость разложения типа
(18)
т2р))] =
N
т1р
1
р2
+
р4
8т2 128т4
(19)
ограничена, поскольку на определенном этапе возникают расходимости при больших значениях импульсов. Исходя из этого необходимо изучить возможность преобразований подынтегральных функций более тщательно.
Перейдем в рассматриваемом нами выражении к безразмерным величинам посредством замен р = = р'т2, д = д'т2. Тогда
-2(^)1 УС (1 - Ыр) 1<РС (q)) = (20) 8 а6/л5 ( с13д [ с13р
= (д2 + 72)2 У (р2+ 72)2(Р-Ч)2 Х
х [(1 - Л^1р) + (1 - Мер) - (1 - Ы1р)(1 - Мер)] =
_ 32 аУ ¡З2 Г с!рр2
7Г ТП\ТП2 1 + (3 ] (р2 + 72)3 0
х [(1 - М1р) + (1 - Мер) - (1 - М1р)(1 - Мер)],
где 7 = ав/(1 + в),
Мвр =
1л/р2+(32 + (3
М1р =
2л/р2^ ' V '
В выражении (20) штрихи у переменных р' и д' опущены.
Преобразуя подынтегральную функцию с помощью тождества
1 - = ^- -- +
+
4 л/р2 + 1ЫР2 + 1 + 1)
4
р4
(21)
Согласно последним данным такого рода поправки компенсируются в сумме диаграмм, и это слагаемое можно исключить из дальнейшего рассмотрения. После этого в выражении (15) можно использовать симметрию по переменным p и q:
+
32(р2 + 1)(уУ+Т+1)2 р6(3 + М1р)
+
64(р2 + 1)3/2(У^ТТ + 1)3(1 + М1ру '
легко прийти к следующим выводам. Первые два слагаемых из (20) имеют лидирующий порядок а4 и вкладов, содержащих 1п в-1, в тонкий сдвиг не вносят.
Рассчитывая поправку ДЕс из выражения (14) с точностью до четвертого порядка по константе тонкой структуры а, находим с помощью разложения типа (19)
Д£с(а4) = <^сЫ1 (Кс)+ - ус |^сЫ) =
е2 ( 1 1 \
= <УС(Р)|- ( + 1^С(Ч)) =
8
а4л3
т
т
2
1
1
2 + 2 т21 т22
что соответствует результату работы [14]. Отметим только, что при использовании точных значений этих слагаемых возникают дополнительные поправки, содержащие целочисленные степени параметров а и в.
Определим теперь содержащие 1п(т2/т1) поправки к тонкой структуре уровней энергии:
д^С1 =
= <^с Ф) | 2УС (1 - Мт1р)(1 - Мт2р) !^с(я)> =
(22)
в2
32 а5¡3
п т1т2 1 + в йр р2
(р2 + 72)3
(1 - Мвр)(1 - М1р).
Вместо величины 1 - Ы1р подставим ее представление (21):
те
~1п_ 32 а5/л3 {З2 [ йрр2
0
(23)
х
X
К ВОПРОСУ О ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПО 2
X
+
р
р4
+-
32(р2 + 1)(у^ТТ+1)2 р6(3 + М1р)
+
+
64 (р2 + 1)3/2^2^1 + 1)3(1 + ДГ1р)3 = 11 + /2 + 1з. Поскольку лидирующий вклад интеграла
ж
йр р8
г
73 ^ —р
т1т2 J (р2 + 72)3(р2 + 1)3 0
х (24)
1
х ( Л^ - — I ~ -^/З3 V V т1т2
/2 = -
1 а5/х3 /З2 /■ ф
47Г ТП\ТП2 1 + /3 У р2 + 1 0
оо
5,,3
(1 - Мф) =
йр
1 аУ /З3 _
47Г ТП\ТП2 1 + /3 У р2 + /З2 0
1
Ур2 +1
+ 1 ,
Используя при расчете /2 разложение радикала по р/\/р2 + 1 < 1, находим, что основной логарифмический по отношению масс частиц вклад равен:
/2(1П в"1) =
1
а5^3
8\/27Г Ш1Ш2 1 + /3
^ 1п /З-1.
Вычисление логарифмического вклада от первого члена (23) сводится к расчету величины
8 а^3 в2
Д =---т-- х
п т1 т2 1+ в йрр4
Ор2 + 7 2)3л/Р2 + 1(уУ + 1 + 1)
(1 - Мр)
3 а5/х3 /З2 Г йр
7Г Ш1Ш2 1 + /3 У р2 + 1 0
(1 - Мр),
ОТНОШЕНИЮ МАСС ЧАСТИЦ ВКЛАДАХ 551 откуда
/1(1п в"1) = -
аУ
в3
2л/2тт Ш1Ш2 1 +/3
1п в
1
Итак, новый логарифмический по отношению масс частиц вклад от обмена одним кулоновским фотоном равен:
8\/2тг Ш1Ш2 1 +/3
(25)
Выясняя вопрос о наличии других логарифмических вкладов по параметру в, отметим, что разложение
л/ГТж = 1 + -- — + •• •
8
(26)
то учитывать последнее слагаемое (23) при расчетах с точностью до [а^^тт^в3 1пв"1 не следует.
С указанной точностью вклад от второго слагаемого в величину интеграла ДЁ^? существует, и его с помощью оценки (24) можно представить в виде
справедливо в закрытом промежутке 0 < х < 1. Таким образом, в интервале интегрирования
0 < р < 1 фактор М1р можно раскладывать в ряд по 2
степеням р2:
М1р = -
= 1 -
2 V?2 + 1 Ыр2 + 1 + 1)
р2
4\/р2 + Чл/р2 + 1 + 1)
р4
32(р2 + 1)(^Р2+Т+1)2
В этом же промежутке
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.