ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 3, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. Денисов Г.Г., Новиков В.В.
К ВОПРОСУ О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ
Известно, что рассеяние энергии, обусловленное макроскопической тепловой диффузией, может приводить к неустойчивости вращающихся упругих тел. Исследование влияния этого вида диссипации энергии на устойчивость вращающихся тел проводится, исходя из полной совместной системы уравнений колебания упругого тела и теплопроводности. Получены количественные характеристики рассеяния энергии для вала круглого сечения.
1. Термодиффузионная теория внутреннего трения была развита в работах [1-3] и получила экспериментальное подтверждение [4, 5]. Физическое основание этой теории состоит в том, что при колебаниях тела в нем возникают необратимые процессы теплопроводности.
В работе [6] было указано на явление макроскопической тепловой диффузии как на одну из причин внутренних потерь при колебаниях вращающихся тел и на основе результатов [2] получены количественные характеристики рассеяния энергии. Изучение изгибных колебаний вращающихся тел, кроме различных приложений, представляют также интерес в связи с экспериментальным исследованием внутреннего трения. Возбуждение колебаний и определение коэффициента поглощения энергии в случае не-вращающихся тел возможно лишь вблизи резонансных зон. Для вращающихся тел собственные частоты изгибных колебаний являются функциями скорости вращения. Это позволяет, плавно изменяя ее, изменять частоты деформирования и определять коэффициент поглощения исследуемого материала в широком интервале частот [7, 8].
В настоящей работе термоупругие колебания вращающихся тел исследуются, исходя из полной системы уравнений колебаний упругого тела с учетом его теплопроводности. Такой подход представляется предпочтительным, поскольку задача о термодиффузионном рассеянии энергии рассматривается в целом.
2. Однородное изотропное деформируемое твердое тело вращается с угловой скоростью ш0, направленной вдоль фиксированной в пространстве оси. В описании динамики тела во вращающейся с угловой скоростью №0 системе координат будем исходить из следующей системы уравнений [3, 9]:
Э2 и
—- = (к +1) и + Ди + [ ш0 [ им0 ]] + 2
ЭГ
Эи -
Э-№о
- а^к + 2^ 9, (1)
К Д9 = С д9 + а^к + Щ и, (2)
где (1) описывает движение твердого тела с учетом влияния тепловых потерь, а (2) -уравнение теплопроводности. Здесь при переходе к безразмерным переменным и параметрам в качестве масштаба длины принят один из характерных размеров тела I;
2 1/2
масштаб времени = (р01 /ц) ; р0 - плотность; ц - один из параметров Ляме; и -
95j.
вектор смещения; 9 = (T - T0)/T0 - относительное отклонение температуры от температуры окружающей среды T0; к = ^/ц - отношение параметров Ляме; а1 = аТ0; K =
= kT0 р12 Д|Л.3/2; а - коэффициент теплового расширения; k - коэффициент теплопроводности; C = CgT/ц; ce - удельная объемная теплоемкость в отсутствие деформаций.
Система уравнений (1), (2) для вектора u и температуры 9 совместна и замкнута. Теплообразованием за счет объемной деформации (последний член в уравнении (2)) часто пренебрегают ввиду малости. Тогда (2) независимо определяет распределение температуры в теле, а в уравнении (1) последний член представляет собой дополнительную массовую силу. При T = const (9 = 0) уравнение (1) называют уравнением движения упругого твердого тела в форме Ляме.
Считаем, что поверхность тела S свободна от внешних сил. Следовательно, Gjnj = 0 на S, где nj - компоненты вектора нормали к поверхности, а компоненты тензора напряжений даются выражением [3] Gj = кщЬ^ + 2u,j - а1 ^к + 3-j
Отклонение температуры 9 удовлетворяет на S следующему условию достаточно общего вида:
a9 + b( grad 9 n) = 0, (3)
где a, b - постоянные. При a = 0 и b Ф 0 это условие означает, что тело теплоизолировано, а в случае a Ф 0 и b = 0 - на поверхности тела поддерживается постоянная температура.
В каждый момент времени t е [0, состояние тела y(u, u , 9) б N х N х N, где N -множество функций, удовлетворяющих заданным линейным однородным условиям
на S и принадлежащих L22) - пространству функций, непрерывных вместе со своими производными до второго порядка включительно в замкнутой области V + S; V -объем тела.
В фазовом пространстве N х N х N существует изолированное состояние равновесия тела y = 0. Для исследования устойчивости равновесия с помощью прямого метода Ляпунова, обобщенного на случай метрического функционального пространства [8], рассмотрим функционал
W = (u, u) + (Au, u) - м2(u, u) + (rn0u, ra0u) + C(9, 9), (4)
где
(f, h) = J fh dV; A - оператор теории упругости Au = (к + 1)graddiv u + Au.
у
Выражение (Аи, и) представляет собой интеграл от упругого потенциала тела. Функционал потенциальной энергии деформации является положительно определенным, поэтому А - ограниченный снизу оператор, т.е. (Аи, и) > й(и, и), где й > 0. Воспользовавшись решением задачи на собственные значения Аи = ^и (где и удовлетворяет условию отсутствия напряжений на 5), находим, что й = или в соответствии с (1) параметр й равен квадрату нижней собственной частоты упругих колебаний невращающегося тела. Функционал Ж в отсутствие вращения тела (ю0 = 0) является определенно положительным. При достаточно малых скоростях вращения это свойство сохраняется.
В силу уравнений (1), (2) и соответствующих им краевых условий имеем
W = J 9 grad 9dS - J( grad9)2 dV.
Видно, что для упомянутых случаев условий для температуры на поверхности тела (либо 0 = 0, либо 0 = 0) Ж < 0 для всяких возмущенных движений при произвольных скоростях вращения.
S
v
Выбрав в качестве меры близости системы к состоянию равновесия в фазовом пространстве функционал р(и, 11, 0; 0) = (и, и) + (и, и) + (0, 0), в соответствии с [8] заключаем, что в отсутствие вращения и при скоростях вращения, которым отвечает положительно определенный функционал Ж, система устойчива. При увеличении скорости вращения, начиная со значения, называемого критическим и превосходящего ю0 = ю*,
существуют возмущения, при которых функционал Ж не является определенно положительным. Угловая скорость ю* определяется из уравнения
2
(Ли, и) - ю0(и, и) + (ш0и, ш0и) = 0. (5)
Во вращающейся системе координат в критическом случае деформации тела не изменяются со временем, поэтому для его отыскания в функционале (4) опущены
первый и последний члены. Поскольку Ж < 0 при любых возмущениях, из обобщенной на случай систем с распределенными параметрами теоремы Ляпунова о неустойчивости [8] следует, что при скоростях вращения, больших критической, система неустойчива.
Выражение в левой части равенства (5) представляет собой потенциальную энергию тела во вращающейся с угловой скоростью №0 системе координат. В равновесии потенциальная энергия тела при ю0 < ю* имеет минимум, а при ю0 > ю* теряет его. Результаты проведенного исследования устойчивости интерпретируются следующим образом. Если в состоянии равновесия энергия минимальна, то в соответствии с теоремой Лагранжа введение диссипации упрочняет устойчивость системы до асимптотической. С переходом скорости вращения через ю*, когда во вращающейся системе координат энергия тела, находящегося в устойчивом равновесии за счет гироскопических сил (член 2 [иш0] в уравнении (1)), не является минимальной, внутреннее рассеяние энергии, проявляющееся при изменении деформаций именно в этой системе координат, приводит к нарушению устойчивости тела [10].
3. Кроме факта неустойчивости, вызываемой в закритическом состоянии вращающегося упругого тела термодиффузией, интерес представляет зависимость скорости процесса затухания или нарастания колебаний от частоты деформаций. Внутреннее трение обычно характеризуют коэффициентом поглощения [3] ¥ = АЕ/{Е), где АЕ - энергия, рассеиваемая за цикл колебаний; {Е) - полная энергия системы.
При определении коэффициента поглощения будем исходить из того, что параметр а1 весьма мал. Анализ уравнений (1), (2) показывает, что решение в этом случае можно представить в виде и = и0 + а2 и1 + ..., 0 = а10о + а101 + ..., где и0 - решение задачи без учета термоупругих эффектов, 0О - решение уравнения теплопроводности после подстановки в него и = и0.
В выражениях для АЕ и {Е) в этом случае можно ограничиться следующими членами:
п
0
АЕ = -а1 (к + |^- j0o<5¿mu¡onmdS
dt,
{Е) = ^юaxja0¡jU0¡jdУ,
00
где т - период колебаний; о^, и^ - соответственно компоненты тензора напряжений и деформаций без учета зависимости от температуры. Выражение для АЕ получено в результате умножения уравнения (1) на 11 и интегрирования по объему тела, а {Е) - максимум потенциальной энергии упругого тела, когда кинетическая энергия равна нулю.
s
У
4. Предполагаем, что с увеличением скорости вращения энергия тела во вращающейся системе координат на некоторой форме колебаний может утратить минимальность в состоянии равновесия. Такое возможно, когда тело достаточно вытянуто в направлении скорости вращения. Вследствие этого в дальнейшем сосредоточимся на вычислении коэффициента поглощения ¥ для вращающегося тонкого вала радиуса r0, шарнирно закрепленного на концах. Рассмотрение проведем в цилиндрической системе координат (ось Oz направлена по оси вращения 0 < z < 1). В принятом масштабе длины r0 ^ 1. В силу осевой симметрии вала допустимо считать, что смещения всех точек его поперечного сечения одинаковы, и искать решение (1), (2) в виде упругих и тепловых волн
u0 = { u (r) sin п nzer + iv( r) sin п nze9 + w (r) cos п nzez }e'(9±raí),
0q = 0( r) sin nnze'(9±raí); i = V-l,
где u, v - поперечные, а w - продольные смещения точек вала; er, еф, ez - единичные векторы.
При частоте ю > 0 решение, отвечающее знаку плюс или минус, описывает соответственно распространение возмущения против или по направлению вращения вала (обратная и прямая волны).
После подстановки u0 в уравнение (1) приходим к следующим уравнениям для u, и, w:
r2(к + 2)u" + г(к + 2)u' + [r2(ra2 + mQ- n2n2) - к - 3] u - r(к + l )U +
+ [± 2 mmQr + к + 3 ] и - пп(к + l) r w' = 0,
r2v" + rU + [r2(m2 + mQ -n2n2) - к - 3]u+ (6)
+ r(к + l)u' + [± 2юю0r2 + к + 3]u - пп(к + l
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.