КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 1, с. 116-122
ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
УДК 532.783
к вопросу о переходной гидродинамическом
неустойчивости нематиков в магнитном поле. i. неустойчивость, возникающая при деформации
поперечного изгиба © 2014 г. А. В. Голованов, Е. Н. Рыжов*
Институт элементоорганических соединений РАН, Москва
E-mail: gav@ineos.ac.ru *Волгоградский государственный технический университет Поступила в редакцию 03.04.2013 г.
Для эффекта переходной гидродинамической неустойчивости, возникающей в нематиках при деформации поперечного изгиба в магнитном поле, аналитически получена зависимость h 2(q2) — квадрата безразмерной напряженности магнитного поля от квадрата безразмерного волнового вектора доменной структуры. Показано, что: процесс доменообразования связан с элементарной катастрофой типа складки; квадрат критического поля доменообразования hD определяется из условия
5[h2(<7 2)]/d(q2) = 0; функция h2(q2) в общем случае является отношением двух многочленов, коэффициенты которых для каламитиков определяются комбинациями четырех безразмерных вязко-
стей П1, Пб/П1, П7/П1, П8/П1; частное от деления многочленов при больших q2 совпадает с квадратичной функцией, что позволяет экспериментально определять безразмерные вязкости ц2/П1, Пб/ П1, П11П1, а 2 П1. DOI: 10.7868/S0023476114010056
ВВЕДЕНИЕ
Эффект переходной гидродинамической неустойчивости нематиков в магнитном поле (МП) известен давно [1—3]. Это явление характерно появлением системы темных и светлых полос в слое жидкого кристалла, если его внести в МП, напряженность которого больше, чем критическое поле Фредерикса ИР для данного слоя. Система полос, представляющая собой линии вихря, получила название доменная структура (ДС) или магнитогидродинамические (МГД)-домены. Отличие МГД-неустойчивости от электрогидродинамической [4] состоит в том, что ДС в первом случае является переходной — при включении МП домены появляются, развиваются и затем исчезают.
В [1] теоретически и экспериментально изучены МГД-домены, возникающие при деформации поперечного изгиба в типичном термотропном нематике я-метоксибензилиден-я-бутиланилине (МББА). Здесь из уравнений нематодинамики
получены дисперсионные зависимости s(q ) (обратного времени включения доменов от квадрата
безразмерного волнового вектора $2) при различных значениях квадрата безразмерной напряженности МП к .
Было показано, что функция х( $2, к2) (в одно-константном приближении) определяется комбинациями шести коэффициентов вязкости Лесли а; и коэффициентом вращательной вязкости у1. Также экспериментально определена зависи-
2 2 2 2 мость ¿Ц (к ). Для анализа функции s(q ,к ) в качестве модельной системы выбран МББА, так как для него все эти коэффициенты измерены [5]. Отметим, что хотя в [1] и получена экспериментальная зависимость $2 (к2), но ее вид аналитически не определен. Она была задана графически как кривая, пересекающая функцию s($ ) в максимумах, соответствующих наиболее быстрому росту неустойчивости, при различных значениях к2. Кроме того, ни теоретически, ни экспериментально не был решен вопрос о нахождении критического поля доменообразования.
Однако в [6], где теоретически рассматривалась задача о возникновении МГД-доменов в не-матике при деформации кручения, показано, что
зависимость к2(#2) является квадратичной функцией с коэффициентами, представляющими собой комбинации безразмерной константы упругости и двух безразмерных коэффициентов вязкости.
Квадрат порогового поля доменообразования к2в,
являющийся точкой фазового перехода второго рода, определяется отношением безразмерной константы упругости и вязкости. В [7] для лио-тропного нематика в системе краситель дисуль-фоиндантрон—вода при исследовании ДС, возникающей из деформации кручения в МП, определены коэффициенты функции к2(д2) и на их основе вычислены безразмерные константа упру-
К
гости —, коэффициенты вязкости П и
К2 а 4 у 4
Цель настоящей работы — получение явного
вида функции к2(д2), описывающей ДС, возникающую при деформации поперечного изгиба, исследование качественного механизма доменно-образования и определение квадрата порогового
поля доменообразования к2в. Это позволит использовать полученные данные в экспериментах по изучению МГД-доменов, например, в лио-тропных каламитиках.
2
а 2
Рассмотрим дисперсионную зависимость s(q2, к2),
(1)
полученную (в приближении К1 = К3) в [1]:
г2/,2 ~2
5 _ X дНЖ - С - 1) 2 2 ' (а2С -аз)
У1 15-~2-
П2 С + N +П1
где х а — анизотропия диамагнитной восприимчивости, НР — критическое поле Фредерикса для деформации поперечного изгиба, к = Н-, д = —,
Нр
п 1
д* -—, а — толщина слоя нематика, * й
П1 = 2 (аз + а 4 +а 6) П2 = 2 (-а 2 + а 4 +аз), N = П5 - П4 - П6 + а4(*), П4 = 2(-аз + а4 + аб),
П5=а1+а4+а5+а6, П6=2(+а4+а5)
а,- — коэффициенты вязкости Лесли, у1 — вращательная вязкость. Соотношение (*) сводится к комбинации четырех коэффициентов Лесли, а именно: N = а1 + а3 + а4 + а5 = а1 + а4 + а6 - а2.
Как видно из (1), поведение функции 5( д2, к2) определяется семью коэффициентами. Покажем, что при определенных допущениях количество коэффициентов можно сократить. Для этого преобразуем (1) к следующему виду:
5 = ■
У1
ХаНР
П2
(к2 - с
2
а2 ~4
- ч
У1;
(2)
2а 2а3 У1
С2 +
П1
2
а 3
У1.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
здесь введено обозначение п7 = N.
В [8] приведены данные по значениям коэффициентов вязкости Месовича п1, П2 и вращательной вязкости у1 для некоторых термотропных каламитиков. Из этих данных следует, что для всех представленных жидких кристаллов выполняется примерное равенство
12 У1
1.
(**)
Положим этот факт в основу дальнейших рассуждений. Тогда можно показать, что коэффициенты многочлена, стоящего в знаменателе правой части уравнения (2), преобразуются следующим образом:
2
а 2
П2 ; У1
П6,
П7 +
2а 2а 3 У1
а1 + а4 + а5 - а3 = ,
П1 -
2
а3 У1
П1.
Это позволяет записать (2) как
2 2 (к -д- 1)(ад + Ьд + 1)
ед2 + йд + 1
(3)
— характерное время задачи, д = д
у
где т 0 = \т п К11
а = П2, ь = П, е = П, й = П. П1 П1 П1 П1
На рис. 1 представлено семейство кривых 5(д),
параметризованных переменной к2 (здесь для определения величин а, Ь, с и а использованы значения коэффициентов вязкости МББА [5]: а = 4.35; Ь = 1.09; е = 5.66; й = 5.76). Из рис. 1 видно, что кривая 5(д) трансформируется — монотонное убывание при некотором значении к 2 (кривые 1—4) заканчивается, и на кривой появляются локальные минимум и максимум (кривые 5—
8), которые при дальнейшем увеличении к2 не исчезают. Такое поведение функции под действием некоторого параметра называется катастрофой складки, а параметр, отвечающий за трансформацию, является управляющим параметром [9].
Таким образом, появляется возможность исследовать поведение (3) с помощью математического аппарата теории катастроф [10, 11].
х
Ч
*
Рис. 1. Семейство кривых $($), параметризованных
переменной к2. к2 = 1 (7), 2.37 (2), 3.03 (3), 3.74 (4), 4.20 (5), 4.84 (б), 5.48 (7), 6.45 (5).
Рис. 2. Положение критических точек £(#,к ) как функции к 2.
В данном случае катастрофа складки задается семейством функций (3), зависящих от одного
2 Ле
управляющего параметра к . Уравнение — = 0
определяет многообразие катастрофы. Задача сводится к нахождению критических точек (КТ) катастрофы и дважды вырожденных КТ, которые
определяются соответственно из уравнений — = 0 й2 £
и —2 = 0, а также к определению типа устойчивости функции в КТ.
Функция, принадлежащая семейству (3), при значении параметра к2 < 3.74 не имеет КТ, при
к2 = 3.74 имеет одну дважды вырожденную КТ, а при к2 > 3.74 — две КТ (рис. 1).
Таким образом, параметр к2 является бифуркационным, так как его изменение приводит к тому, что вырожденная КТ распадается на две критические морсовского типа [10].
Далее, геометрическое место КТ определяется решением уравнения четвертой степени
аЬ$4 + 2ай$3 + (За + сй + ай - Ьс - Ь)$2 +
+ 2 (а + с - Ь+ (1 + с - й) - (4)
- к2[(ай - Ьс2 + 2 (а - Ь) + (с - й)] = 0
при различных значениях к . Из (4) находим функцию, задающую критическое многообразие
к2 аЬ$ + 2ай$ + (За + сй + ай - Ьс - Ь)$ + 2(а + с - Ь)$ + (1 + с - й)
(ай - Ьс)$ + 2 (а - Ь)$ + (с - й)
(5)
Критическое многообразие, задаваемое функцией (5), изображено на рис. 2.
Дважды вырожденная КТ функции *?($), явля-
2
ющаяся минимумом функции к (ф, расположена в пространстве Я2 с координатой # = 0.26 при соответствующем параметре к2 = 3.74 (рис. 3). Эта точка в данном случае является неморсовской бифуркационной [10].
Исследование качественного механизма возникновения ДС по существу раскрывается через исследование локального поведения функции *?( $). Вследствие двукратного вырождения КТ локальное поведение графика функции будет определяться членами не ниже третьего порядка. Поэто-
му аппроксимационные формулы следует искать в классе кубических полиномов. Ниже будет показано, что при достаточно больших # учет кубической нелинейности является достаточным и дает вполне удовлетворительные результаты.
Проведем исследование локального поведения функции £(с)к2=3 74 (рис. 1, кривая 4) в окрестности дважды вырожденной КТ # = 0.26 для выяснения типа устойчивости функции [10, 11]. Разложим (3) в ряд Тейлора в окрестности КТ, удерживая в разложении члены третьего порядка. В результате имеем
С3 ( - 0.26)3 + С2 ( - 0.26)2 + + С1 ( - 0.26) + С0,
к2 12
0.9 д
0\у
3
Рис. 3. Критическое значение управляющего параметра является точкой минимума функции к 2(д).
где С3 = (0.58 - 0.59к2), С2 = (-0.64 + 0.17Г),
С1 = (-1.62 + 0.43к2), С0 = (-1.35 + 1.0 8к2). Функция (6) — это кубическая парабола вида
Г « С3С'3 + С2С'2 + С С + Се, (7)
рассматриваемая в новой системе координат, где с' = с - Се и Се = 0.26.
Известно [11], что действие малых возмущений на функцию / (добавление к рассматриваемой функции малой поправки р), имеющую КТ, либо сохраняет, либо изменяет их тип. С этой точки зрения второе, третье и четвертое слагаемые в
(7) являются возмущением функции С3д'3. Так как
коэффициент С3 для любого к > 1 остается отрицательным и его значения не влияют на появление не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.