К ВОПРОСУ О РАДИУСЕ НЕИТРОНИЗАЦИИ МАГНИТНЫХ НЕЙТРОННЫХ ЗВЕЗД: ПОЛЕВАЯ И ТЕМПЕРАТУРНАЯ
ЗАВИСИМОСТИ ХИМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА И МИНИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ВЫРОЖДЕННОГО ЗАМАГНИЧЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
В. В. Скобелев*
Московский государственный ■индустриальный университет 115280, Москва, Россия
Поступила в редакцию 1 сентября 2011 1".
Численными и аналитическими методами проанализирована температурная и полевая зависимости химического потенциала и полевая зависимость энергии Ферми вырожденного релятивистского электронного газа в магнитном поле. Найдено аналитическое выражение для зависимости от величины магнитного поля минимального значения электронной концентрации и соответствующего радиуса начала процесса нейтронизации в коллапсирующей звезде при ее последующем превращении в нейтронную. Как мы полагаем, аналогичное соотношение имеет место и для равновесного радиуса нейтронной звезды. Результаты работы уточняют выводы предыдущей [1] в случае ненулевой температуры и влияния протонной компоненты звезды на процесс нейтронизации, а также подтверждают и обобщают их в плане значительного (на порядок или в несколько раз) уменьшения равновесного радиуса нейтронной звезды в сверхсильном (1014~ь Гс) магнитном поле по сравнению со случаем отсутствия такого поля. Указано на возможность существования отдельного класса звездных объектов — сверхмалых нейтронных звезд-магнитаров, которым мы предлагаем дать название «минимагнитаров». Выдвинуто предположение, что они могут быть последней стадией эволюции звезд перед их коллапсом в черную дыру.
1. ВВЕДЕНИЕ
В пашой предыдущей работе [1] (разд. 3.2) было показано, что при наличии сворхсилыгого [2,3] (В ~ 101' Гс) магнитного поля процесс нейтронизации звезды из-за паулиовского запрета (по электронной компоненте звезды) /-распада нейтрона п —¥ р + в + ~РС, относящегося к классу прямых ТЖСА-процсссов, начинается, при прочих равных условиях, при значении радиуса, примерно на порядок меньшем, чем при отсутствии поля (список литературы, имеющей отношение к данному вопросу, приведен в этой же работе). Это, в свою очередь, может привести к значительному (в несколько раз) уменьшению равновесного размера нейтронной звезды. «Конкурирующий» процесс «исчезновения» нейтрона вследствие модифицированного ТЖСА-про-цесса [4] АТ + п —¥ Ат+р+е+Т7с (Ат = п.р) происходит
* E-mail: v.skobelevöinbox.ru
при участии дополнительного нуклона Лг в качестве «активного наблюдателя», снимающего кинематический запрет на осуществление процесса по причине близости импульсов нуклонов и электрона к поверхности Ферми вследствие сильного их вырождения, а сам этот процесс может доминировать над прямым Ш1СА-процессом /-распада при достаточно малой концентрации протонов и электронов [5]. В центральной же области звезды, где, вероятно, и существует сворхсилыгоо магнитное поле [3], модифицированный Ш1СА-процосс гораздо слабее прямого [6], который принимался во внимание в работе [1]. Конкретный расчет был проведен при весьма вероятном в данном случае допущении, что большинство электронов находятся на основном уровне Ландау и полностью вырожденный электронный газ является эффективно «одномерным». Однако при меньших значениях поля и концентрации электронного газа, а также при учете конечной температуры электроны могут находиться и па возбужденных уровнях [6].
В данной работе мы учитываем влияние этих факторов на минимальную концентрацию электронного газа, «запрещающую» распад нейтрона, а также обсуждаем влияние протонного газа на процесс ней-тронизации. Следует также рассмотреть их роль в изменении релятивистской энергии Ферми Ер электронов (зависящей от поля В и концентрации п), так как именно ее значением определяется минимальная концентрация электронного газа nmj„ при выполнении условия
/:, Л. (1)
где Л = тп — пгр =1.3 МэВ энерговыделение при распаде нейтрона.
Исходным основным тезисом работы [1] послужили соображения, которые мы вкратце приведем здесь в несколько иной формулировке.
Известно, что уравнение Шредингера в постоянном и однородном магнитном поле [7], а также уравнение Дирака [8] в декартовых координатах с несимметричной калибровкой потенциала Ах = А- = 0, Ау = Вх совпадают с уравнением для гармонического осциллятора, если перейти к безразмерной переменной £ = х^у — pij а волновая функция содержит экспоненциальный множитель ехр [/(/>зг — р2 У) — С2 /2], из которого следует выражение х-координаты центра (£ ~ 0) волнового пакета:
Х=р2/Ъ (2)
где 7 = еВ, е элементарный заряд, р3 импульс вдоль третьей оси, р-2 квазиимпульс, через который выражается координата центра пакета (2). При этом релятивистская энергия электрона равна
Е = \/т2 + />|, т = \/т'2 + 2уп'.
(3)
N
L1L2L3
~ Е Г»
Фз/с- (4а)
Здесь Г„/ спиновый статистический вес, равный 2 при п' = 1,2,... и 1 при п1 = 0 (на основном уровне Ландау ориентация спина фиксирована против поля), (1 1,2,3) нормировочные длины по осям, а функция распределения Ферми Дирака равна (//. обычное обозначение химического потенциала)
/с =
1
ехр((£-//)/Г) + 1'
(5)
В случае полностью вырожденного электронного газа (Г 0; = 1 ,Е< ЕР: = 0, Е > Ер = //|г=0) приходим к соотношению вида (11) работы [1], которое для целей данной работы перепишем в виде1''
Е{у)
= % -1) Е vV"
п'=1
(6)
где в известная ступенчатая функция, Е(у) наибольшая целая часть у и введены обозначения
х =
У =
гЗ/2 '
Еf - т2 2 0
(7а) (7Ь)
7Г 1
п = (■nXf,), Ac = — = 3.86 • 1СГ11 см,
В т
= —. В0 = — = 4.41 • 1013 Гс. В о е
где п' = 0,1, 2,... номера уровней Ландау. Далее, общее число электронов выражается через статистическую сумму:
2. ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕННОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ КОМПОНЕНТЫ НА ПРОЦЕСС НЕЙТРОНИЗАЦИИ
ОС: °° °°
дг = Е л Е § / / Фз/с. (4)
П' = 0 -ОС: -Ж:
Учитывая также вытекающее из формулы (2) формальное соотношение
ОС: ¿1/2
! Ф2 I 7 <1Х = 7X1,
-ос: -Ь1/2
получаем для концентрации выражение (разъяснение о вычислении суммы по состояниям в магнитном поле дано также в книге [7])
В формуле (6) первое слагаемое учитывает вклад возбужденных уровней Ландау, а второе основного уровня, коэффициент же 1/2 означает, что на
Формулу (6) можно записать через дзета-функцию Ри-мана £(*,«) = + л)-*, a > 1, если использовать
соотношение (4.1.3.1) книги [9, с. 490]: ]Сь=о+ a)~s = = £(«,«) — C(s,o. + п + 1), представив предварительно подкоренное выражение (6) в виде у — Е(у) + Е(у) — ??'. Переход к новому индексу суммирования к = Е(у) — п' приводит сумму в (6) к стандартному виду 1 ~~Eif=o' так '1то х = в(у — 1) [С (—1/2, у — Е(у)) — §(—1/2, j/)] + у/у/2 с аналитическим продолжением в область я < 1. Однако что преобразование мало что дает для практических вычислении, являясь чисто формальным приемом.
Рис. 1. Зависимость безразмерного энергетического параметра у (7Ь) от безразмерного параметра «концентрация/поле» х (7а) в предполагаемом диапазоне его изменения в магнитных нейтронных звездах
этом уровне ориентация спина фиксирована (против поля). Отметим, что в соответствующей формуле (11) работы [1] этот коэффициент из соображений удобства вычислений отсутствовал, однако это никак не влияло на результат работы, поскольку в белых карликах х у 1 [1] и вклад последнего слагаемого в (6) пренебрежимо мал, независимо от численного коэффициента. В физике же нейтронных звезд это, вообще говоря, не так, и в соответствующем разд. 3.2 работы [1], как и в данной работе, учитывается фиксированная ориентация спина на основном уровне. График функции у(х) в диапазоне возможных значений величины поля Во < В < 101' Гс и концентрации Ю30 см-3 < п < 1035 см-3 в магнитных нейтронных звездах представлен на рис. 1. Чрезвычайно важным для дальнейшего рассмотрения является положительный наклон кривой па графике. Именно, как видно из формул (7а), (7Ь) и из графика, энергия Ферми растет с увеличением концентрации при фиксированном значении поля, что совсем не очевидно при наличии последнего ввиду сложной структуры выражения (6). При этом в «свободном» случае упомянутый рост следует просто из соображений размерности выражение для импульса Ферми фиксировано, рР ~ ('/¿А3,)1/3'/«. В магнитном же поле аналогичная простая зависимость рр ~ (пЛ3,)т/е имеет место только для вклада основного уровня Ландау формула (22) работы [1] или см. ниже (14) (аналогичный график был приведен и в работе [1], но в диапазоне изменения параметров, характерном для белых карликов). Только в случае положитоль-
ного наклона имеет смысл ключевое для данной работы понятие минимальной концентрации, определяемое условием (1) с явным представлением формулой (9) (см. ниже). При большей концентрации распад нейтрона запрещен ввиду того, что энергия «распадного» электрона меньше энергии Ферми; именно этим и обусловлено сжатие звезды, ведущее к началу процесса нейтронизации. Аналитическое выражение положительности наклона заключается в неравенстве {йу/йх) > 0 во всем интервале значений х в нейтронных звездах, что и будет использовано нами при анализе температурных поправок к химическому потенциалу, см. ниже (19) в разд. 3. Исследование зависимости энергии Ферми от поля при фиксированной концентрации на основании графика на рис. 1 является затруднительным. Нам понадобятся для этого более точные значения у (чем могут быть оценены из графика) при значениях параметра х в табл. 1 (п « 1035 см-3).
Анализ приведенных численных данных с учетом вытекающего из формулы (7Ь) выражения для энергии Ферми
Ер = т n/I + 2еу, (8)
показывает (е находим по значению В в круглых скобках в верхнем ряду табл. 1, а соответствующая величина у приведена в нижнем ряду), что в указанном диапазоне значений поля и при у > 1, когда «включены» и возбужденные уровни, энергия Ферми почти не зависит от поля при фиксированной концентрации, аналогично ситуации с белыми карликами, когда она незначительно убывает [1]. Этому соответствует более «пологий» участок графика при больших х па рис. 1. При меньшей концентрации даже при у < 1 она несущественно уменьшается с ростом поля (более «крутой» участок графика при меньших значениях х). В этом можно убедиться, проанализировав значения х и у при п « 1033 с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.