ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 2, 2004
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА, ДИАГНОСТИКА,
ИСПЫТАНИЯ
УДК 539.4
© 2004 г. Добровольский A.B.
К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ ПРИ ОБРАБОТКЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Предложен усовершенствованный вариант метода наименьших квадратов для подбора приближенных эмпирических формул на основе имеющейся статистической информации. В основе метода лежит минимизация относительных отклонений экспериментальных и теоретических значений исследуемых технических параметров машин и механизмов. Метод отличается универсальностью и его можно использовать для расчета теоретических линий регрессии корреляционных полей в условиях, характеризующихся широким диапазоном изменения статистических данных.
В связи с расширением практики использования систем автоматизированного проектирования для создания машин и механизмов актуальной теоретической проблемой становится установление регрессионных связей между техническими параметрами изделий. При проведении вычислительных экспериментов одним из наиболее употребительных методов обработки исходной статистической информации является корреляционно-регрессионный анализ, в основе которого лежит метод наименьших квадратов [1]. Метод широко используется для расчета теоретической линии регрессии, соответствующей результатам экспериментальных наблюдений. При этом оптимальной считается теоретическая функция Y = f(x), при которой обеспечивается условие наименьшей суммы квадратов абсолютных отклонений между теоретическими Y(x,) и экспериментальными у, значениями функции в пределах измеренных значений аргумента x1v.., xn
X
(Y(x,-) - у,-)2 = min. (1)
Использование настоящего метода для подбора эмпирических зависимостей между техническими параметрами машин и механизмов, отличающихся широким диапазоном изменения, дает неудовлетворительные результаты. Оказывается, что теоретические зависимости адекватны экспериментальным данным только в области наибольших значений зависимых параметров. При соизмеримой величине абсолютных отклонений £; = (У(х) - у) относительная погрешность параметров е/у возрастает в направлении от верхней части диапазона значений у к нижней. При этом влияние аб-
n
Номинальная мощность, кВт Номинальный момент, Нм Теоретическое значение функции У1 = 2,07 + 6,4236 х, Нм Абсолютное отклонение £ , Нм Квадрат абсолютного откло- 2 2 нения £ , (Нм) Относительное отклонение £/у, %
1,1 7,5 9,15 1,65 2,71 21,95
5,5 36,0 37,37 1,37 1,88 3,81
7,5 49,0 50,20 1,20 1,44 2,45
15 99,0 98,31 -0,69 0,47 -0,69
18,5 122,0 120,76 -1,24 1,53 -1,01
30 196,0 194,53 -1,47 2,15 -0,75
37 240,0 239,44 -0,56 0,32 -0,23
55 356,0 354,90 -1,10 1,20 -0,31
75 484,0 483,20 -0,80 0,64 -0,17
110 707,0 707,72 0,72 0,52 0,10
132 848,0 848,84 0,84 0,71 0,10
200 1285,0 1285,05 0,05 0,00 0,00
п Сумма квадратов абсолютных отклонений у £2 1 13,57
солютного отклонения на погрешность измеряемой функции прямо пропорционально ширине диапазона изменения функции утах/ут;п.
В качестве примера рассмотрим задачу подбора линейной эмпирической зависимости номинального крутящего момента у от номинальной мощности х для части модельного ряда серийно выпускаемых асинхронных электродвигателей серий 5А, АИР132-АИР180 при помощи метода наименьших квадратов. Используя известные уравнения, получим теоретическое значение линии регрессии Ух = 2,07 + 6,4236хх.
Анализ сходимости экспериментальной и теоретической регрессии, полученной методом наименьших квадратов, показывает разброс результатов в интервале У1 = = (0,99..... 1,22)у; (табл. 1).
Для минимизации относительных отклонений заменим критерий оптимизации теоретической линии регрессии (1) на условие обеспечения наименьшей суммы квадратов относительных отклонений
п
у
У (х_У-у
у-
тт.
(2)
Тогда аппроксимирующее уравнение прямой линии регрессии находится обычным способом вычисления частных производных и приравнивания их к нулю
д IV ГУ х - (а + Ьх;)-<2
д а
пу
у
о,
п
п
у 1 -(а + Ьх1 У
1 > ^ 1 Решив систему уравнений (3), находим
2 п п ~\г п п 2
у
а
2
у!ух2-ухух2 у1 ух2- ух2
1у 1у
о.
(3)
(4)
■ п п п п —||— п п 2 { п ч 2-1
уIVх"-у*уI у.1ух2-(у
2 у 2 у 2 2 2
1
1
ух 1 у\
1
(5)
2
Ь
Номинальная мощность, кВт Номинальный момент, Нм Теоретическое значение функции У1 = 0,39 + 6,4782 х, Нм Абсолютное отклонение £,-, Нм Квадрат абсолютного откло- 2 2 нения , (Нм) Относительное отклонение e/y,-, %
1,1 7,5 7,52 0,02 0,00 0,21
5,5 36,0 36,02 0,02 0,00 0,06
7,5 49,0 48,98 -0,02 0,00 -0,05
15 99,0 97,56 -1,44 2,06 -1,45
18,5 122,0 120,24 -1,76 3,11 -1,45
30 196,0 194,74 -1,26 1,60 -0,64
37 240,0 240,08 0,08 0,01 0,03
55 356,0 356,69 0,69 0,48 0,19
75 484,0 486,26 2,26 5,09 0,47
110 707,0 712,99 5,99 35,90 0,85
132 848,0 855,51 7,51 56,44 0,89
200 1285,0 1296,03 11,03 121,66 0,86
п Сумма квадратов абсолютных отклонений ^ £2 1 226,34
С учетом (4) и (5) решение задачи, представленной в табл. 1, принимает вид У] = = 0,39 + 6,4782х;.
Из табл. 2 видно, что несмотря на существенно большую сумму квадратов абсолютных отклонений, метод дает значительное сужение разброса результатов экспериментальной и теоретической регрессий во всем диапазоне измеряемых параметров у = (0,99,..., 1,01)у.
Предлагаемый метод подбора постоянных коэффициентов уравнения регрессии пригоден для широкого спектра функций при условии их предварительной линеаризации. В этом случае известными способами проводят соответствующую замену независимых х и зависимых у переменных с целью приведения экспериментальной статистической зависимости к линейному виду.
Эффективность метода подтверждена в ходе научно-исследовательских работ по автоматизированному проектированию механизмов строительных кранов, проводимых на кафедре строительных и подъемно-транспортных машин Московского государственного строительного университета.
Метод можно рекомендовать к использованию в системах автоматизированного проектирования машин и механизмов для определения рациональных значений технических параметров изделий, формирования чертежей общего вида и оценки технико-экономических показателей новой техники на этапе предварительного проектирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крутое В.И., Грушко И.М., Попов ВВ. и др. Основы научных исследований. М.: Высшая школа, 1989. 400 с.
Москва Поступила в редакцию 12.XI.2003
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.