МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.516.013.4:534.1
© 2008 г. В. А. ДЕМИН
К ВОПРОСУ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КАПИЛЛЯРНОГО МОСТА
Изучаются свободные колебания капиллярного моста, равновесная форма которого определяется силами поверхностного натяжения и статическим полем тяжести. В соответствии с условиями эксперимента в невязком приближении найдены значения 25 "нижних" уровней спектра собственных частот колебаний капиллярного моста для различных значений управляющих параметров.
Ключевые слова: капиллярный мост, статическое поле тяжести, резонансные частоты, осесим-метричные и пространственные возмущения.
Одной из первых экспериментальных работ по изучению статической формы и устойчивости жидкости, помещенной между двумя твердыми пластинами, была работа Плато. Далее Рэлей теоретически показал, что столб жидкости становится неустойчивым, когда отношение длины к радиусу столба достигает 2п. В настоящее время интерес к геометрии капиллярного моста усилился в связи с новыми возможностями при выращивании полупроводниковых кристаллов по методу жидкой зоны [1].
В работе [2] определены собственные частоты и скорость затухания колебаний поверхности вязкого капиллярного моста относительно нормальных пространственных возмущений в условиях невесомости и с учетом силы тяжести для осесимметричных возмущений. В обоих случаях вычислены только четыре "нижних" уровня собственных частот и декрементов. Для управления процессом выращивания кристаллов в [3, 4] предлагается воздействовать на капиллярный мост высокочастотными вибрациями. Численное моделирование показывает [5, 6], что вибрации оказывают значительное влияние на перемешивание расплава и уменьшают температурные пограничные слои при малых числах Прандтля. Однако при высокочастотном воздействии на расплав необходимо знать значения резонансных частот в достаточно широком диапазоне.
Настоящий расчет с учетом условий, имеющих место в экспериментах, произведен для частот в диапазоне 0-3 кГц, что соответствует 25 "нижним" уровням собственных чисел спектральной амплитудной задачи. Сначала с помощью пакета программ численного интегрирования методом Рунге-Кутта-Фельдберга 4-5-го порядков точности совместно с процедурой пристрелки вычисляется равновесная форма капиллярного моста в статическом поле тяжести. Затем рассматривается задача устойчивости и обсуждается методика ее численного решения. Для расчета резонансных частот используется метод разложения собственных функций в ряды Фурье с последующим применением обобщенной процедуры Галеркина.
1. Исходные уравнения. Рассмотрим столб жидкости, ограниченный двумя твердыми параллельными круглыми пластинами одинакового радиуса. Геометрия капиллярного моста представлена на фиг. 1: Я - радиус торцов капиллярного моста, Ь - длина жидкой зоны. Статическое поле тяжести действует вертикально вниз вдоль оси г. Будем предполагать, что жидкость прилипает к твердым торцам капиллярного моста, а окружающая среда имеет пренебрежимо малые плотность и вязкость, так что она не воздействует на динамику жидкого моста.
Динамические свойства несжимаемой жидкости характеризуются поверхностным натяжением о, плотностью жидкости р и кинематической вязкостью V. Помимо этого устойчивость капиллярного моста зависит от радиуса Я торцов капиллярного моста, длины Ь жидкой зоны и величины ускорения свободного падения g. Как показывают эксперименты, малые возмущения могут инициировать движение жидкости, которое легко обнаруживается при наблюдении за формой поверхности капиллярного моста. При этом движение может носить колебательный характер. Вычислим с достаточной для эксперимента степенью точности высшие уровни собственных частот и соответствующие собственные моды колебаний капиллярного моста.
Далее будем использовать цилиндрическую систему координат (г, 0, г) с началом в центре нижней пластины. Соответствующие компоненты вектора скорости равны и = (иг, и0, иг). Уравнения Навье-Стокса и несжимаемости жидкости имеют вид
^ + («V) и = - УП +-1 VI, Шу и = 0 (1.1)
д 1 Яе
П = Р - Бг, I = + Ук и (1.2)
Здесь П - это модифицированное давление, Б - число Бонда, I - тензор касательных напряжений.
В качестве единиц измерения выбраны следующие величины: Ь/п - для вертикальной координаты, Я - для радиальной координаты, о/Я - для давления, (о/рЯ)1/2 - для скорости и (рЯ3/о)1/2 - для времени. Таким образом, появляется следующий набор безразмерных параметров:
1/2
Б = рgЯЬ Яе = (роя) Л = пЯ
по ' п Ь
Здесь п - динамическая вязкость, Яе - модифицированное число Рейнольдса, Л - масштабный фактор. Безразмерный параметр Яе-1 известен в литературе как число Онезорге.
Учтем малость вязкости жидких полупроводников. В соответствии с условиями эксперимента для V = 3 ■ 10-3 см2/с, р = 2.53 г/см3, Я = 0.4 см, о = 720 г/с3 значение модифицированного числа Рейнольдса Яе ~ 3500. Упрощая первое уравнение в (1.1) с учетом Яе ^ ^ будем в дальнейшем решать "невязкую" задачу. В цилиндрической системе координат оператор градиента скалярного поля имеет форму
— _ Э 1 э Л э
— = ег д~г + е° 7эё + егЛ дг
На твердых границах поставим условия прилипания и непротекания жидкости
г = 0,п: и = 0 (1.3)
Если рассматриваются осесимметричные возмущения, то на оси симметрии азимутальная скорость равна нулю. Из этого следует, что радиальная скорость и ее производная по г равны нулю. Из (1.2) следует условие на аксиальную компоненту скорости
диг
0: иг =
г дг
0
(1.4)
В случае неосесимметричных возмущений радиальная и азимутальная компоненты скорости на оси зависят от волнового числа к в азимутальном направлении [7]
к
1: и + ие
0; к > 2: иг
иг = 0 (г = 0)
(1.5)
В дополнение на поверхности раздела жидкость-газ должны быть равны нулю касательные напряжения, а нормальное напряжение должно быть скомпенсировано капиллярными силами:
-По = хг =0, -П1 • N + 2Н • N = 0, г = /(е, г, г)
(1.6)
Здесь 1;е, 1;г - единичные векторы, направленные по касательной к поверхности, N -вектор нормали. Положение точки на поверхности раздела определяется вектором:
Г(0, г, г) = /(е, г, г)ег + г^
]Ч = / е г --- /е е ее - Л//ге г
(/ 2+/ е+л2 /2 л)1/2
Здесь индексы г и о означают частные производные по соответствующим координатам. Тангенциальные векторы будут определены в следующем разделе. Кривизна поверхности имеет вид
2 Н
22
/(1+Л7г) _±( /Г) - Л2А
В
1/2
д01. В1/2
д
2
- I г
в 1/2
В = /2 + -2 + Л2/2 /\
Напишем кинематическое условие на движущейся границе раздела: тд Г
г = /(0, г, г): N
дг
N и
Согласно анализу, проведенному в [2], предположим, что линия контакта жидкость-газ с краем твердого торца фиксирована во время движения границы, т.е. г = 0, п: /(г) = 1.
г
Объем жидкости, помещенной между твердыми пластинами, должен оставаться постоянным во время движения, т.е. должен быть равен объему цилиндра между торцами
2 п п
v =2п J d9Jf 2dz = п
(1.7)
2. Равновесная форма капиллярного моста. Для нахождения статической формы капиллярного моста положим скорость и тензор напряжений равными нулю: Vb = 0, 1Ь = 0.
Индекс Ь обозначает равновесное состояние. В результате получаем "условие гидростатики" с граничными условиями на торцах
- Pb + B z + 2 Hb = 0, fb( 0) = fb (п) = 1
(2.1)
Здесь Рь и/ь - соответственно равновесное значение давления и функция, характеризующая статическую форму капиллярного моста. В силу (1.7) объем жидкости капиллярного моста должен оставаться постоянным:
Jf bdz
(2.2)
Основное состояние не зависит от 0, поэтому
/ь д /ь
2H
1
fb
„1/2 , 2 д Di - Лэ-
Dm dz Db
D
1 + Л
I £)2
(2.3)
В невесомости (гравитационное число Бонда равно нулю) Рь = 1 и /ь = 1. В присутствии статического поля тяжести Рь ф 1, а /ь - функция аксиальной координаты. В этом случае равновесная форма капиллярного моста определяется задачей (2.1)-(2.2) с учетом кривизны поверхности (2.3).
3. Задача устойчивости. Для изучения устойчивости статической формы введем возмущенные поля скорости, давления и формы поверхности
u = u
V
P = Pb + Pp, f = fb + fp
(3.1)
Индекср соответствует возмущенному состоянию. Подставляя (3.1) в уравнения (1.1) и (1.2), после линеаризации получим в невязком приближении систему уравнений для возмущений:
^ + V Рр = 0, Ну и р = 0 (3.2)
д 1 р р
Возмущения скорости на торцах капиллярного моста и на оси г при к = 0, к > 2 удовлетворяют условиям
г = 0,п: ир = 0; г = 0: ир = 0 (3.3)
Граничное условие на свободной поверхности капиллярного моста преобразуется к виду
0
fb(z): -PpI • Nb + 2HpNb
д fp
r = fb( z): Nb er -jf
Nbup
(3.4)
(3.5)
0
0
п
п
0
В уравнения (3.4), (3.5) входит единичный вектор нормали и касательные к поверхности капиллярного моста векторы:
ег - Л(д Д/дг) ег Л(дД/дг) ег + ег
N - f 4 " " ~" 4 t - e t - _
Nb - 1 /2 ' Ч b - ee> lz, b - 1/2
Db Db
Предположим, что возмущения поверхности на краях торцов равны нулю: z = 0, п: fp = 0. Условие постоянства объема жидкости в первом приближении дает
п
jfbfpdz - 0
0
Будем искать решение уравнений для возмущений (3.2) в виде нормальных мод
п / ike -Xt / ike -Xt j- / ike -Xt
Pp(г, z, tе е , up(г, z, t)~ е е , fp(z, tе е
где k - азимутальное волновое число, X - собственное число спектральной амплитудной задачи.
4. Методика численного решения. Расчет равновесной формы. Для вычисления равновесной формы капиллярного моста уравнение (2.1) с учетом (2.3) сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В переменных y1 = fb,
У2 = fb это уравнение приводится к виду
yi - У2
1 /п л W1 А 2 2ч3/2 1 ,2 2Ч (4.1)
УУ2 - — (Bz - Pb)(1 + Л У2) + -2(1 + Л У2)
Л У1Л
Статическая форма капиллярного моста зависит от двух безразмерных параметров: масштабного фактора Л и числа Бонда B.
Для решения системы уравнений (4.1) применялся метод численного пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Фельдберга 4-5-го порядков точности в комбинации с процедурой двумерной пристрелки. Давление в жидкости Pb и условие неизменности объема (2.2) находились в процессе пристрелки. В соответствии с экспериментом размерные параметры задачи выбирались: р = 2.53 г/см3, R = 0.4, 0.5, 0.6 см, L = 0.8, 1.0, 1.2 с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.